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【摘 要】 创新教育成为当今教育教学改革和实验的一个重要课题。就数学科教学来说，其最主要教学内容是习题教学，探讨在习题教学中促进学生创新思维能力的发展这个课题，对达成新课程的教学目标具有深刻的意义。
【关键词】 数学教学 创新思维
中图分类号：G633.6
新课程要求学科教学要重视培养学生的创新思维能力。就数学科教学来说，其最主要教学内容是习题教学，探讨在习题教学中促进学生创新思维能力的发展这个课题，对达成新课程的教学目标具有深刻的意义。
毋庸讳言，目前仍然有相当一部分数学教师在习题教学中固守传统窠臼：教师重讲解，学生重模仿，然后解题训练；教师对学生的解题批评多、鼓励少。这种教学方式与行为显然不利于提高学生解决数学习题，更不利于创新能力的培养。本文将结合自己的教学实践，探讨如何在数学习题教学中的促進学生创新思维能力的发展。
一、教师进行习题教学的不良现状及其对策
由于深受传统习题教学方式的惯性影响，新课改虽然已经实施多年，但目前的习题教学仍然在一定程度与范围内存在下列现象：
教师只是进行一般性的讲解，重解题技巧的传授，目标指向应试教育，没有充分顾及习题教学应有典型示范的作用，没有关注到在习题教学过程中所蕴藏的促进学生创新思维能力发展的功能，不重视数学思想的培养和数学方法的历练，从而大大削落了数学科培养学生创新思维能力的强大功效。
如何改变这种现象？
我以为最要紧的是教师要切实改进教学观念，树立新课程理念，尤其要转化传统的“课堂主宰者”的角色意识，根据新课程的要求重新进行角色定位。
系统论告诉我们，任何学科教学活动的矛盾都是一个受多种因素制约的复杂矛盾，纵使学生是学习的主体，但在各种因素中，教师因素始终处于矛盾的主导地位。数学教学要实现培养学生创新思维能力的目标，首先要思考的是教师因素，教师是矛盾的主要方面。但是，“习惯成自然”，任何角色意识都具有很大的惯性力，因此角色转换绝不是一蹴而就的事，它要求老师具备强烈的自新意识和自省能力，要时刻提醒自己不要回到老路子上，要坚持将新的角色理念贯穿到整个教学行为中，从教学设计到教学实施过程，都必须渗透全新的角色意识。只有教师角色转变到位，数学习题教学才能充分发挥其培养学生创新思维能力的功能。
其次，要重视积极地鼓励学生培养学生敢想、敢说、敢问的精神。
勇于探索是展开创造性思维的前提，为学生创设良好的民主气氛，热忱鼓励学生展开探索精神，允许学生提出与教师相反问题和想法。通过设置师生之间、生生之间的多边活动，形成和谐愉悦、互助合作的人际关系和教学环境，充分发挥学生的主体作用，不仅让学生动口、动手、动脑，而且鼓励学生敢想、敢说、敢问，尽量让每一个学生对所学的知识产生浓厚的兴趣，主动地参与探究和尝试的数学活动中去，从而最大限度地挖掘并释放出全体学生的创新潜能。
二、夯实基础，加强发散性思维的训练，促进创新思维能力发展
教师要改变习题教学中以讲解为主的教学方法，引导学生投入到动手实践、自主探索与合作交流活动中，利用一题多解、多解归一、多题归一，鼓励学生大胆设想，勇于探索，培养发散性思维，充分挖掘学生创新思维的潜能，让学生在自主合作、探索中学会创新。
下面是一个成功的教学案例。
原题：某农户需要利用一面墙再砌三面墙，围成一块矩形菜地，他已备足可以砌12米长的墙的材料，设与已有的一面墙相邻的每一面墙的长度为X米。
（1）求矩形的面积S与X的关系式，写出X的取值范围。
（2）求X等于多少时矩形面积S最大？最大的面积是多少？
（3）画出S关于X的函数图象。
（4）当X等于多少时，矩形的面积为15 m2？
（5）结合图象，为了使矩形的面积大于或等于15 m2，X的取值范围应当怎样？
（6）当X等于多少时，矩形的面积为12 m2？
（7）结合图象，当X的取值范围怎样时，矩形的面积将小于12 m2？
这是一道蕴涵了方程、函数及数学建模思想的综合应用题。若从题目所给的条件、求解的结论、实际的情景、不同的方案等方面去归纳总结，可改编或设计出不同的问题，做到一题多变，既培养了学生运用方程思想、函数思想、数形结合思想、建模思想等思想方法来解题的能力，又沟通了知识之间的联系，有利于激发学生的兴趣和勇于探索的个性品质，有利于培养学生创新能力。以该原题为基础可作如下再探索：
探索①：墙面有无限制：
例1：如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用为10 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x m，面积为S m2，
（1）求S与X的函数关系式。
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能请求出最大的面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
探索②：面积是否变化：
例2：如图2，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
（1）设矩形的一边为 （m），面积为 （m2），求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
探索③：形状发生改变：
例3：某学校在绿化校园时，计划利用矩形场地的一角的边缘30m，建一个三角形花圃（如图3），怎样利用边缘两边（不考虑第三边AB）才能使所建花圃的面积最大？并求出最大面积（精确到1 m2）
探索④： 容积能否最大：
例4：某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图4所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗。他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm。（不考虑墙的厚度） （1）若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？
（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？
以上几种探索，有效地培养了学生的发散性思维，让学生在原题的基础上进行了一题多变的训练，促进了创新思维能力的发展。
三、在习题教学中重视解题的思想方法和解题引申，加强求异思维训练，促进创新思维能力发展
什么是解题？前苏联数学家C .A雅诺夫斯卡娅认为：“解题就是把题归结为已经解过的题。”而美国数学教育家G.波利亚得出了解数学题的四个程序：一审；二想；三解；四查。这样，就把解题过程加以程序化，给出一种思维展开的框架，但它并不妨碍发散思维的培养。教师在解题教学中可以借用这些思想方法，指导学生解题时应遵循“定势—发散—定势”这一循环往复的规律。
在解题中要重视思想和方法的开拓思考，通过题目引申中发散思维。题目引申有以下几种方式：
1.把题目条件开拓引申：（1）把特殊条件一般化；（2）把一般条件特殊化。
2.把题目结论开拓引申。
3.把题型开拓引申。
请看下列案例：
操作：如图5，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（CP与CD不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终过点B，另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E。
探究：
（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；
（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？
分析：（1）考察学生思维发散能力，由于点P的运动导致点E位置不确定，可分为点E 在边AD上和点E 在边BC的延长线上两种类型（图6、图7），由图6可得△PDE∽△BCP，由图7可得△PCE∽△BCP。
这个问题通过操作创设情境，引发学生探究问题的兴趣，题目的各个问题之间有一定梯度，有利于于培养学生创新求异能力，灵活求解能力。
四、重视开放习题的设计，培养解决新问题的能力，促进创新思维能力发展
教材的习题、例题、定理，一般都是直截了当的给出结论。如果习题本身提出的问题是具体而且明确的，教师不应以得到习题的解答为满足，而应进一步加以探索，挖掘其中值得深思的问题，及时加以引导，使学生在原题基础上产生联想，从而获得解决新问题的方法。
已知：如图8，四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以结合，能否得出ABCD是平行四边形的结论？
① AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD
分析：上述四个条件两两结合，可知有6种结合方式，就每一种结合进行分析归纳，可得如下结论：
（1）两组对边分别平等（①②）；
（2）两组对边分别相等（②④）；
（3）一组对边平行且相等（①③）（②④）；
以上三种情况都可判定ABCD为平行四边形。
（4）一组对边平行，另一组对边相等（①④，②③）；
此种情况不能判定ABCD为平行四边形。
在深入探讨以后，教师进一步抛出下列问题：
若将题中条件增加两个：⑤∠A=∠C，⑥∠B=∠D，则原题的结论又如何？
通過上一个习题的引路，大部分学生能迁移上题思维与方法，正确的解决这个新问题。
总之，培养学生的创新思维能力，是新课程改革的核心目标，在数学习题教学中促进学生创新思维能力的发展是我们当仁不让的的任务，这需要广大数学教师在实际教学中不断加以探索和实践，努力开拓出新的思路与新方法。
【参考文献】
[1]魏祖成，沈斌，丁大梁.变一变，更精彩[J].中学数学教学参考（下半月·初中），2007，11
[2]刘兆明.中学数学解题的一般方法[M].北京：学苑出版社，1989：234-254.
[3]徐斌艳.数学课程与教学论[M].浙江：浙江教育出版社，2003：61-68.
作者简介：庄建生 男 1969年 福建霞浦人 本科学历 中学高级
研究方向：初中数学教学
【关键词】 数学教学 创新思维
中图分类号：G633.6
新课程要求学科教学要重视培养学生的创新思维能力。就数学科教学来说，其最主要教学内容是习题教学，探讨在习题教学中促进学生创新思维能力的发展这个课题，对达成新课程的教学目标具有深刻的意义。
毋庸讳言，目前仍然有相当一部分数学教师在习题教学中固守传统窠臼：教师重讲解，学生重模仿，然后解题训练；教师对学生的解题批评多、鼓励少。这种教学方式与行为显然不利于提高学生解决数学习题，更不利于创新能力的培养。本文将结合自己的教学实践，探讨如何在数学习题教学中的促進学生创新思维能力的发展。
一、教师进行习题教学的不良现状及其对策
由于深受传统习题教学方式的惯性影响，新课改虽然已经实施多年，但目前的习题教学仍然在一定程度与范围内存在下列现象：
教师只是进行一般性的讲解，重解题技巧的传授，目标指向应试教育，没有充分顾及习题教学应有典型示范的作用，没有关注到在习题教学过程中所蕴藏的促进学生创新思维能力发展的功能，不重视数学思想的培养和数学方法的历练，从而大大削落了数学科培养学生创新思维能力的强大功效。
如何改变这种现象？
我以为最要紧的是教师要切实改进教学观念，树立新课程理念，尤其要转化传统的“课堂主宰者”的角色意识，根据新课程的要求重新进行角色定位。
系统论告诉我们，任何学科教学活动的矛盾都是一个受多种因素制约的复杂矛盾，纵使学生是学习的主体，但在各种因素中，教师因素始终处于矛盾的主导地位。数学教学要实现培养学生创新思维能力的目标，首先要思考的是教师因素，教师是矛盾的主要方面。但是，“习惯成自然”，任何角色意识都具有很大的惯性力，因此角色转换绝不是一蹴而就的事，它要求老师具备强烈的自新意识和自省能力，要时刻提醒自己不要回到老路子上，要坚持将新的角色理念贯穿到整个教学行为中，从教学设计到教学实施过程，都必须渗透全新的角色意识。只有教师角色转变到位，数学习题教学才能充分发挥其培养学生创新思维能力的功能。
其次，要重视积极地鼓励学生培养学生敢想、敢说、敢问的精神。
勇于探索是展开创造性思维的前提，为学生创设良好的民主气氛，热忱鼓励学生展开探索精神，允许学生提出与教师相反问题和想法。通过设置师生之间、生生之间的多边活动，形成和谐愉悦、互助合作的人际关系和教学环境，充分发挥学生的主体作用，不仅让学生动口、动手、动脑，而且鼓励学生敢想、敢说、敢问，尽量让每一个学生对所学的知识产生浓厚的兴趣，主动地参与探究和尝试的数学活动中去，从而最大限度地挖掘并释放出全体学生的创新潜能。
二、夯实基础，加强发散性思维的训练，促进创新思维能力发展
教师要改变习题教学中以讲解为主的教学方法，引导学生投入到动手实践、自主探索与合作交流活动中，利用一题多解、多解归一、多题归一，鼓励学生大胆设想，勇于探索，培养发散性思维，充分挖掘学生创新思维的潜能，让学生在自主合作、探索中学会创新。
下面是一个成功的教学案例。
原题：某农户需要利用一面墙再砌三面墙，围成一块矩形菜地，他已备足可以砌12米长的墙的材料，设与已有的一面墙相邻的每一面墙的长度为X米。
（1）求矩形的面积S与X的关系式，写出X的取值范围。
（2）求X等于多少时矩形面积S最大？最大的面积是多少？
（3）画出S关于X的函数图象。
（4）当X等于多少时，矩形的面积为15 m2？
（5）结合图象，为了使矩形的面积大于或等于15 m2，X的取值范围应当怎样？
（6）当X等于多少时，矩形的面积为12 m2？
（7）结合图象，当X的取值范围怎样时，矩形的面积将小于12 m2？
这是一道蕴涵了方程、函数及数学建模思想的综合应用题。若从题目所给的条件、求解的结论、实际的情景、不同的方案等方面去归纳总结，可改编或设计出不同的问题，做到一题多变，既培养了学生运用方程思想、函数思想、数形结合思想、建模思想等思想方法来解题的能力，又沟通了知识之间的联系，有利于激发学生的兴趣和勇于探索的个性品质，有利于培养学生创新能力。以该原题为基础可作如下再探索：
探索①：墙面有无限制：
例1：如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用为10 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x m，面积为S m2，
（1）求S与X的函数关系式。
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能请求出最大的面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
探索②：面积是否变化：
例2：如图2，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
（1）设矩形的一边为 （m），面积为 （m2），求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
探索③：形状发生改变：
例3：某学校在绿化校园时，计划利用矩形场地的一角的边缘30m，建一个三角形花圃（如图3），怎样利用边缘两边（不考虑第三边AB）才能使所建花圃的面积最大？并求出最大面积（精确到1 m2）
探索④： 容积能否最大：
例4：某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图4所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗。他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm。（不考虑墙的厚度） （1）若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？
（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？
以上几种探索，有效地培养了学生的发散性思维，让学生在原题的基础上进行了一题多变的训练，促进了创新思维能力的发展。
三、在习题教学中重视解题的思想方法和解题引申，加强求异思维训练，促进创新思维能力发展
什么是解题？前苏联数学家C .A雅诺夫斯卡娅认为：“解题就是把题归结为已经解过的题。”而美国数学教育家G.波利亚得出了解数学题的四个程序：一审；二想；三解；四查。这样，就把解题过程加以程序化，给出一种思维展开的框架，但它并不妨碍发散思维的培养。教师在解题教学中可以借用这些思想方法，指导学生解题时应遵循“定势—发散—定势”这一循环往复的规律。
在解题中要重视思想和方法的开拓思考，通过题目引申中发散思维。题目引申有以下几种方式：
1.把题目条件开拓引申：（1）把特殊条件一般化；（2）把一般条件特殊化。
2.把题目结论开拓引申。
3.把题型开拓引申。
请看下列案例：
操作：如图5，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（CP与CD不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终过点B，另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E。
探究：
（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；
（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？
分析：（1）考察学生思维发散能力，由于点P的运动导致点E位置不确定，可分为点E 在边AD上和点E 在边BC的延长线上两种类型（图6、图7），由图6可得△PDE∽△BCP，由图7可得△PCE∽△BCP。
这个问题通过操作创设情境，引发学生探究问题的兴趣，题目的各个问题之间有一定梯度，有利于于培养学生创新求异能力，灵活求解能力。
四、重视开放习题的设计，培养解决新问题的能力，促进创新思维能力发展
教材的习题、例题、定理，一般都是直截了当的给出结论。如果习题本身提出的问题是具体而且明确的，教师不应以得到习题的解答为满足，而应进一步加以探索，挖掘其中值得深思的问题，及时加以引导，使学生在原题基础上产生联想，从而获得解决新问题的方法。
已知：如图8，四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以结合，能否得出ABCD是平行四边形的结论？
① AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD
分析：上述四个条件两两结合，可知有6种结合方式，就每一种结合进行分析归纳，可得如下结论：
（1）两组对边分别平等（①②）；
（2）两组对边分别相等（②④）；
（3）一组对边平行且相等（①③）（②④）；
以上三种情况都可判定ABCD为平行四边形。
（4）一组对边平行，另一组对边相等（①④，②③）；
此种情况不能判定ABCD为平行四边形。
在深入探讨以后，教师进一步抛出下列问题：
若将题中条件增加两个：⑤∠A=∠C，⑥∠B=∠D，则原题的结论又如何？
通過上一个习题的引路，大部分学生能迁移上题思维与方法，正确的解决这个新问题。
总之，培养学生的创新思维能力，是新课程改革的核心目标，在数学习题教学中促进学生创新思维能力的发展是我们当仁不让的的任务，这需要广大数学教师在实际教学中不断加以探索和实践，努力开拓出新的思路与新方法。
【参考文献】
[1]魏祖成，沈斌，丁大梁.变一变，更精彩[J].中学数学教学参考（下半月·初中），2007，11
[2]刘兆明.中学数学解题的一般方法[M].北京：学苑出版社，1989：234-254.
[3]徐斌艳.数学课程与教学论[M].浙江：浙江教育出版社，2003：61-68.
作者简介：庄建生 男 1969年 福建霞浦人 本科学历 中学高级
研究方向：初中数学教学