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摘要：针对大多数数学教师在试卷讲评时独揽大权的现象，本文提出“解剖典例，追查错因；借题发挥，变通求活；删繁就简，优化方法；深化考点，提高能力”的观点，以期变革试卷讲评课的现状，提高试卷讲评课的实效。
关键字：初中数学试卷讲评 方法
试卷讲评是初中数学教学的有机组成部分和重要环节，它是课堂教学的延续。试卷讲评课的成败直接影响着考试的效果和教学质量。然而，在实际操作中，不少老师不重视试卷讲评课。有些老师将讲评课理解为对答案，课堂上出现了讲者无力，听者乏味的状况；有些老师为了提高课堂容量，往往采用一讲到底，忽视了学生的主体地位，因而学生就丧失了思维锻炼的契机，解题能力难以得到有效的提升。那么在试卷讲评课中，教师应如何完善学生的知识结构，优化学生的认知重组，提高学生的思维水平？本人认为在讲评中，做好题目的变化、深化和优化，避免就题讲题，从而提高讲评的实效。实践中，我作了如下的尝试：
一、解剖典例，追查错因
错误是数学学习的必然产物。在讲评课上，对于学生答题过程中出现的常见病和多发病，教师应该归纳出存在的共性问题，记下几道较为典型的错例作为案例分析，多问几个“为什么会在这里犯错”，重视错解中合理成分的提取与激活，经常以探究的心态进行试卷讲评，就能发现学生在思维上的误区和方法上的不足，从而有针对性地加以弥补、纠正。
【案例一】：如图1，在一大片空地上，有一堵墙（线段AB），现有铁栏杆40米，准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃。
（1）如果墙足够长，那么应该如何设计可使矩形花圃的面积最大？
（2）如果墙AB的长为8米，那么又要如何设计可使矩形的花圃的面积最大？
这是我校上学期九年级第一次模拟考试卷上的一道题，第2小题的得分率竟然不到20%。学生错误有三种情况。
错解1：如图2，因为AB=8m，所以与墙垂直的一边长为（40-8）÷2=16（m）
所以矩形的面积S=16×8=128（㎡）
错解2：设与墙平行的一边长为 m，则矩形的面积
所以当 =20时，得矩形的面积最大为200㎡
错解3：同解解2，得矩形的面积
因为 ，所以当 =8时，S有最大值8×16=128㎡。
分析：大多数学生认为，充分利用墙时，花圃的面积最大，这是出现错解1的原因，这部分学生只是凭空想像，而没有考虑到这样一个基本事实，当四边形的周长一定时，正方形的面积最大。另外许多学生受平时惯性思维的影响或类似题目的“负迁移”，根本未注意到条件“墙AB=8m,的使用，只记得老师都是这样讲的。错解3的学生相对好一些，已经注意自变量 的取值范围，并且能够熟练运用二次函数的性质了，可为什么还是错了呢。这仍是由于受平时习惯性思维的束缚。只知道利用二次函数来解，而未认真思考问题的本质。这些难道都是学生的错。
因此在试卷讲评时，我将学生的错误展示出来，让学生分析产生错误的原因，弄清此类问题的本质，当四边形的周长一定时，正方形面积最大。在具体操作时，应打破惯性思维的影响，围绕“充分利用这堵墙建造一个矩形的花圃，进行探究，其解决的方法还是利用函数模型，从中教给学生思考问题的方法。
正解：对于第（2）小题，可以分以下2种情况讨论
（1）如图3
设DE= m,（ ）得矩形的面积
所以当DE=8时，S有最大值8×16=128㎡。
（2）延长AB至点F，作如图4
所示的矩形花圃，设BF=m，则AF= +8，AD=16-
所以矩形的面积
所以当 =4m时，矩形的面积的最大值为144㎡
所以按方案（2）围建的矩形花圃面积最大为144㎡
二、借题发挥，变通求活
数学发展观认为：数学如同其它事物一样, 是不断在运动、变化中发展的,又在不断发展中展现新的活力与生命。如果将每一个数学问题看成是“活生生”的事物而不是“死板”的东西,用数学发展观来认识它、研究它,那么我们不仅仅能很好地解决这个问题,还会最大限度地拓广视野,提高思维的广度、深度。因此在作业讲评教学中不能满足就题论题，要注意一题多解和一题多变。
1、一题多解
对于一题多解的问题，要引导学生从多角度进行展示，可以加深学生对所学知识的理解，使学生对数学方法和数学思想达到娴熟的运用。
【案例二】：如图5，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形EFGO的一个顶点，两个正方形的边长都为a，求两个正方形重叠部分的面积？
展示两种不同解法：
解法一：如图6，过点O作OK⊥AB，OL⊥BC，垂足分别为K、L，证得 ≌ ,从而得四边形OMBN的面积等于正方形OKBL的面积 。
解法二：如图7, 证得 ≌ ,从而得四边形OMBN的面积等于 的面积 。
分析：教师在肯定两种解法的同时进行两种思维方法的对比，总结不同解法的特点，得出两种方法的统一性，从思维策略上都是根据图形的特点把不规则图形通过割补成规则图形；从思想方法上都体现了一般到特殊的思想（两个正方形重叠时考虑特殊情形，重叠部分是正方形、等腰直角三角形，从而引出这两种解法）；从解决问题的悟性上指导了学生解决这类问题要会用运动的眼光看问题。
2、一题多变
在讲评中，对于“剖析”有条件的题目,教师可作进一步的“借题发挥”，通过变式，能更多地挖掘相关知识，形成知识网络，从而帮助学生掌握问题的实质，加深对同类问题的理解，形成规律。
【案例三】：某蔬菜公司收购到某种蔬菜150吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工5吨或粗加工15吨，现计划14天完成这批蔬菜的加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？
从答题情况看，大部分学生是设：安排 天精加工， 天粗加工，列出方程组 解得
讲评时，为了更好地拓展学生的解题思路，培养学生良好的思维品质，我对原题进行变式。
变式一：原题条件不变，求精加工和粗加工的蔬菜各多少吨？
变式二：原题条件不变，如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析：讲评中，不应该满足学生的正确答案，而是要从不同角度对试题进行推广，变式，如变式一是将“该公司应安排几天精加工，几天粗加工”变为“精加工和粗加工的蔬菜各多少吨”体现了问题的多样性。变式二是在变式一的基础上，对问题进行引申，显然由变式一的结论易得变式二的结论。这样就培养学生思维的灵活性和深刻性，让学生感觉数学的变化，从而激发学生的好奇心和求知欲。提高学习数学的兴趣。
三、删繁就简，优化方法
方法是关键，思维是核心，渗透科学方法，培养思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务。试卷讲评，应该使学生的思维能力得到发展，但解题的方法也不可忽视，在掌握常规思路和解法的基础上，启发新思路，探索巧解、速解和一题多解，让学生感到方法内容新颖，学有所思，思有所得。
【案例四】：如图8，AB=AC=AD，∠BAC=50o，则∠BDC= 度。
设计此题的出发点是利用圆的基本性质解决问题，从学生的实际解答来看并没按教师设计的意愿。
学生一：∠BDC=∠ADC－∠ADB，∠ADC与∠ADB分别是等腰、等腰 的底角，所以∠ADC=90o－ ∠DAC，∠ADB=90o－ ∠BAD=90o－ （∠BAC+∠DAC）……
学生二：因为∠BDC+∠ACD=∠ABD+∠BAC，∠BAC=50o已知，∠ACD与∠ABD分别是等腰 、等腰 的底角，所以……
学生三：是猜对的，当时想不出来，我按题目要求重新画出的一个比较准确的图形，然后用量角器量，发现是25o左右，于是我就填了25o。笔者先表扬了这位同学善于动手的习惯，再问道：为什么你不填26o呢？这个学生马上说25o刚好是已知中50o的一半……
学生充分认识几种方法后，师说：若以A为圆心，以AB为半径画一个圆，你能发现什么？（稍停片刻）一学生惊呼——太简单了。从而得出又一种解法（构造圆）：如图9，以A为圆心，AB为半径作⊙A，则C、D在⊙A上，所以∠BDC=∠BAC=25o.
通过比较几种方法，学生认同了学生一、二解法常规实用，容易想到；学生三的做法虽然没有说服力，但他的想法应该得到重视，正如张奠宙教授所说：“任何一次数学的发展，客观上都是直觉、顿悟的结果……”，构造圆的解法虽然简单，但不易想到。教师进而指出构造圆的方法真的很难想到吗？最后，让学生明白是因为条件中有AB=AC=AD。
分析：当问题的多种解法展示于学生面前时，学生必会主动的去评价方法的繁简，通过内化的过程，吸取各种解法之精华，进而揭示最简或最佳的解法。但应让学生明白通性通法，巧法未必就是好法，不能只追求巧妙解法而忽视了基本方法。
四、深化考点，提高能力
试卷讲评，通过对试题考点进行深入的分析，抓住试题的内涵，拓展试题的外延，学生的思维就不会停留在某一层面上，而是会向多层次、多方面去思考问题，从而训练学生研究问题的能力。
【案例五】：如图10，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠A=30º，BC=3，求⊙O的半径.
评析：试卷上的这个题目正确率相当高，但还有深化的必要.
①若AB不是⊙O的直径，其它条件不变，那么⊙O的半径还会是3吗？，学生可能会认为AB不是⊙O的直径，当然不能解直角三角形，故半径不是3，这是思维定势的影响，教师可借机促使学生思考：难道就没有直角三角形了吗……(如图11虚线部分).
②若设∠A=a，BC=b，⊙O的直径是多少？
有了上题的经验，不难得出⊙O的直径为 .教师还能深化，对上述问题进行小结：
(1)通过对试题的变形及解决，你学到了哪些方法？
(2)从这三个问题中，你发现了什么？
分析： 这样设计本题的讲解，能让学生感悟知识生成、发展与变化的过程，训练学生真理理解和掌握数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学经验。
总之，要使试卷讲评更具有针对性，就要在讲评前要做好错解、巧解、优解的统计，课上要做好题目的变化、深化和优化，避免就题讲题，对于优秀题目要精讲，要引导学生善于类比分析，归纳总结，渗透培养学生分析解决问题的能力。简要地说，上好试卷讲评课的关键在于“评”，不但要评“不足”，评“误解”，还要评“进步”，评“亮点”，要评出方向，要把试卷讲评作为提高教学质量的一种调控手段。
参考文献：
(1）张锋摆脱题海困扰提高思维水平[J]中国数学教育 2010(6)
(2)罗拥军 基于数学发展观的解题策略[J] 中学数学杂志2008（1）
(3)黄昌汉 提高数学作业讲评的策略探究[J]中国数学教育 2011(7-8)
关键字：初中数学试卷讲评 方法
试卷讲评是初中数学教学的有机组成部分和重要环节，它是课堂教学的延续。试卷讲评课的成败直接影响着考试的效果和教学质量。然而，在实际操作中，不少老师不重视试卷讲评课。有些老师将讲评课理解为对答案，课堂上出现了讲者无力，听者乏味的状况；有些老师为了提高课堂容量，往往采用一讲到底，忽视了学生的主体地位，因而学生就丧失了思维锻炼的契机，解题能力难以得到有效的提升。那么在试卷讲评课中，教师应如何完善学生的知识结构，优化学生的认知重组，提高学生的思维水平？本人认为在讲评中，做好题目的变化、深化和优化，避免就题讲题，从而提高讲评的实效。实践中，我作了如下的尝试：
一、解剖典例，追查错因
错误是数学学习的必然产物。在讲评课上，对于学生答题过程中出现的常见病和多发病，教师应该归纳出存在的共性问题，记下几道较为典型的错例作为案例分析，多问几个“为什么会在这里犯错”，重视错解中合理成分的提取与激活，经常以探究的心态进行试卷讲评，就能发现学生在思维上的误区和方法上的不足，从而有针对性地加以弥补、纠正。
【案例一】：如图1，在一大片空地上，有一堵墙（线段AB），现有铁栏杆40米，准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃。
（1）如果墙足够长，那么应该如何设计可使矩形花圃的面积最大？
（2）如果墙AB的长为8米，那么又要如何设计可使矩形的花圃的面积最大？
这是我校上学期九年级第一次模拟考试卷上的一道题，第2小题的得分率竟然不到20%。学生错误有三种情况。
错解1：如图2，因为AB=8m，所以与墙垂直的一边长为（40-8）÷2=16（m）
所以矩形的面积S=16×8=128（㎡）
错解2：设与墙平行的一边长为 m，则矩形的面积
所以当 =20时，得矩形的面积最大为200㎡
错解3：同解解2，得矩形的面积
因为 ，所以当 =8时，S有最大值8×16=128㎡。
分析：大多数学生认为，充分利用墙时，花圃的面积最大，这是出现错解1的原因，这部分学生只是凭空想像，而没有考虑到这样一个基本事实，当四边形的周长一定时，正方形的面积最大。另外许多学生受平时惯性思维的影响或类似题目的“负迁移”，根本未注意到条件“墙AB=8m,的使用，只记得老师都是这样讲的。错解3的学生相对好一些，已经注意自变量 的取值范围，并且能够熟练运用二次函数的性质了，可为什么还是错了呢。这仍是由于受平时习惯性思维的束缚。只知道利用二次函数来解，而未认真思考问题的本质。这些难道都是学生的错。
因此在试卷讲评时，我将学生的错误展示出来，让学生分析产生错误的原因，弄清此类问题的本质，当四边形的周长一定时，正方形面积最大。在具体操作时，应打破惯性思维的影响，围绕“充分利用这堵墙建造一个矩形的花圃，进行探究，其解决的方法还是利用函数模型，从中教给学生思考问题的方法。
正解：对于第（2）小题，可以分以下2种情况讨论
（1）如图3
设DE= m,（ ）得矩形的面积
所以当DE=8时，S有最大值8×16=128㎡。
（2）延长AB至点F，作如图4
所示的矩形花圃，设BF=m，则AF= +8，AD=16-
所以矩形的面积
所以当 =4m时，矩形的面积的最大值为144㎡
所以按方案（2）围建的矩形花圃面积最大为144㎡
二、借题发挥，变通求活
数学发展观认为：数学如同其它事物一样, 是不断在运动、变化中发展的,又在不断发展中展现新的活力与生命。如果将每一个数学问题看成是“活生生”的事物而不是“死板”的东西,用数学发展观来认识它、研究它,那么我们不仅仅能很好地解决这个问题,还会最大限度地拓广视野,提高思维的广度、深度。因此在作业讲评教学中不能满足就题论题，要注意一题多解和一题多变。
1、一题多解
对于一题多解的问题，要引导学生从多角度进行展示，可以加深学生对所学知识的理解，使学生对数学方法和数学思想达到娴熟的运用。
【案例二】：如图5，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形EFGO的一个顶点，两个正方形的边长都为a，求两个正方形重叠部分的面积？
展示两种不同解法：
解法一：如图6，过点O作OK⊥AB，OL⊥BC，垂足分别为K、L，证得 ≌ ,从而得四边形OMBN的面积等于正方形OKBL的面积 。
解法二：如图7, 证得 ≌ ,从而得四边形OMBN的面积等于 的面积 。
分析：教师在肯定两种解法的同时进行两种思维方法的对比，总结不同解法的特点，得出两种方法的统一性，从思维策略上都是根据图形的特点把不规则图形通过割补成规则图形；从思想方法上都体现了一般到特殊的思想（两个正方形重叠时考虑特殊情形，重叠部分是正方形、等腰直角三角形，从而引出这两种解法）；从解决问题的悟性上指导了学生解决这类问题要会用运动的眼光看问题。
2、一题多变
在讲评中，对于“剖析”有条件的题目,教师可作进一步的“借题发挥”，通过变式，能更多地挖掘相关知识，形成知识网络，从而帮助学生掌握问题的实质，加深对同类问题的理解，形成规律。
【案例三】：某蔬菜公司收购到某种蔬菜150吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工5吨或粗加工15吨，现计划14天完成这批蔬菜的加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？
从答题情况看，大部分学生是设：安排 天精加工， 天粗加工，列出方程组 解得
讲评时，为了更好地拓展学生的解题思路，培养学生良好的思维品质，我对原题进行变式。
变式一：原题条件不变，求精加工和粗加工的蔬菜各多少吨？
变式二：原题条件不变，如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析：讲评中，不应该满足学生的正确答案，而是要从不同角度对试题进行推广，变式，如变式一是将“该公司应安排几天精加工，几天粗加工”变为“精加工和粗加工的蔬菜各多少吨”体现了问题的多样性。变式二是在变式一的基础上，对问题进行引申，显然由变式一的结论易得变式二的结论。这样就培养学生思维的灵活性和深刻性，让学生感觉数学的变化，从而激发学生的好奇心和求知欲。提高学习数学的兴趣。
三、删繁就简，优化方法
方法是关键，思维是核心，渗透科学方法，培养思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务。试卷讲评，应该使学生的思维能力得到发展，但解题的方法也不可忽视，在掌握常规思路和解法的基础上，启发新思路，探索巧解、速解和一题多解，让学生感到方法内容新颖，学有所思，思有所得。
【案例四】：如图8，AB=AC=AD，∠BAC=50o，则∠BDC= 度。
设计此题的出发点是利用圆的基本性质解决问题，从学生的实际解答来看并没按教师设计的意愿。
学生一：∠BDC=∠ADC－∠ADB，∠ADC与∠ADB分别是等腰、等腰 的底角，所以∠ADC=90o－ ∠DAC，∠ADB=90o－ ∠BAD=90o－ （∠BAC+∠DAC）……
学生二：因为∠BDC+∠ACD=∠ABD+∠BAC，∠BAC=50o已知，∠ACD与∠ABD分别是等腰 、等腰 的底角，所以……
学生三：是猜对的，当时想不出来，我按题目要求重新画出的一个比较准确的图形，然后用量角器量，发现是25o左右，于是我就填了25o。笔者先表扬了这位同学善于动手的习惯，再问道：为什么你不填26o呢？这个学生马上说25o刚好是已知中50o的一半……
学生充分认识几种方法后，师说：若以A为圆心，以AB为半径画一个圆，你能发现什么？（稍停片刻）一学生惊呼——太简单了。从而得出又一种解法（构造圆）：如图9，以A为圆心，AB为半径作⊙A，则C、D在⊙A上，所以∠BDC=∠BAC=25o.
通过比较几种方法，学生认同了学生一、二解法常规实用，容易想到；学生三的做法虽然没有说服力，但他的想法应该得到重视，正如张奠宙教授所说：“任何一次数学的发展，客观上都是直觉、顿悟的结果……”，构造圆的解法虽然简单，但不易想到。教师进而指出构造圆的方法真的很难想到吗？最后，让学生明白是因为条件中有AB=AC=AD。
分析：当问题的多种解法展示于学生面前时，学生必会主动的去评价方法的繁简，通过内化的过程，吸取各种解法之精华，进而揭示最简或最佳的解法。但应让学生明白通性通法，巧法未必就是好法，不能只追求巧妙解法而忽视了基本方法。
四、深化考点，提高能力
试卷讲评，通过对试题考点进行深入的分析，抓住试题的内涵，拓展试题的外延，学生的思维就不会停留在某一层面上，而是会向多层次、多方面去思考问题，从而训练学生研究问题的能力。
【案例五】：如图10，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠A=30º，BC=3，求⊙O的半径.
评析：试卷上的这个题目正确率相当高，但还有深化的必要.
①若AB不是⊙O的直径，其它条件不变，那么⊙O的半径还会是3吗？，学生可能会认为AB不是⊙O的直径，当然不能解直角三角形，故半径不是3，这是思维定势的影响，教师可借机促使学生思考：难道就没有直角三角形了吗……(如图11虚线部分).
②若设∠A=a，BC=b，⊙O的直径是多少？
有了上题的经验，不难得出⊙O的直径为 .教师还能深化，对上述问题进行小结：
(1)通过对试题的变形及解决，你学到了哪些方法？
(2)从这三个问题中，你发现了什么？
分析： 这样设计本题的讲解，能让学生感悟知识生成、发展与变化的过程，训练学生真理理解和掌握数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学经验。
总之，要使试卷讲评更具有针对性，就要在讲评前要做好错解、巧解、优解的统计，课上要做好题目的变化、深化和优化，避免就题讲题，对于优秀题目要精讲，要引导学生善于类比分析，归纳总结，渗透培养学生分析解决问题的能力。简要地说，上好试卷讲评课的关键在于“评”，不但要评“不足”，评“误解”，还要评“进步”，评“亮点”，要评出方向，要把试卷讲评作为提高教学质量的一种调控手段。
参考文献：
(1）张锋摆脱题海困扰提高思维水平[J]中国数学教育 2010(6)
(2)罗拥军 基于数学发展观的解题策略[J] 中学数学杂志2008（1）
(3)黄昌汉 提高数学作业讲评的策略探究[J]中国数学教育 2011(7-8)