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函数和反函数是中学数学中不可或缺、又相互关联的两个重要概念，对中学所有函数知识的学习起着至关重要的作用，并直接影响着后续三角、不等式、解析几何、导数等知识的学习，涉及高中数学的全部内容. 虽然教材中采用了由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想方法，力求使学生由感性认识过渡到理性思维，并适度地降低了在概念表述理论上的严密性，调整了反函数的教学要求，但由于这两个概念的高度抽象以及高一学生的认知水平和已有知识的程度都较低，导致学生常常对这两个概念理解不透，这严重影响了他们对后续知识的学习和对所学知识的应用. 因此，笔者通过思考和探索，实验了一种从映射入手的方法来进行反函数概念的教学，教学效果很好，在此阐述出来，大家共同探讨.
一、常规方法
关于反函数概念的教学，课本上和很多资料上都是采用由具体到抽象、由特殊到一般的思想方法，即举二到三个具体的函数，如物理中的位移ｓ，速度ｖ（暂定为常量），时间ｔ的关系：ｓ＝ｖｔ，表示位移ｓ是时间ｔ 的函数，其中ｔ是自变量，ｓ是函数值；反过来，也可以用位移和速度来表示时间，即ｔ ＝，其中ｓ是自变量，ｔ是函数值. 再进一步分析这两个函数，明确他们之间的关系，进而根据函数的概念概括出反函数的概念. 因为这种方法是从函数（原函数）到函数（反函数）的教学法，所以学生理解起来还是有一定的困难.
二、探索与发现
由于函数是一种对应关系，这个概念本身就不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，另外，反函数的概念比较抽象，文字叙述又比较长. 所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节. 因此，要让学生对反函数的概念理解透彻，首先就应该给他们一个最直观、最形象的感性认识，让他们充分的熟悉和理解原函数和反函数的“三反”关系，再根据函数的概念来理清反函数的概念. 为了达到上述目的，我在教学中进行了如下的从映射入手的教学方法的尝试.
例如函数ｙ＝２ｘ，通过映射让学生观察从集合Ａ到集合Ｂ的映射ｆ对应的函数ｙ＝２ｘ，表明了ｙ是ｘ的函数，对应法则是“乘以２”，即ｆ（１）＝２，ｆ（２）＝４，ｆ（３）＝６，再让学生进一步思考：ｘ是ｙ的函数吗？让学生观察从集合Ｂ到集合Ａ的对应并思考能否形成函数，如果是，那么这个函数的自变量是什么？函数值是什么？对应法则又是什么？学生通过思考这一系列的问题，发现此时ｘ也是ｙ的函数，其自变量为ｙ，函数值为ｘ，对应法则为“除以２”，与函数ｙ＝２ｘ比较，学生自然发现：这两个函数的自变量和函数值互反，定义域和值域互反，对应法则也是相反的，这就是原函数和反函数之间的“三反”关系. 再通过映射，加深学生对原函数和反函数的“三反”关系的理解，在此基础上，点明函数ｘ＝ （y∈B）就叫做函数ｙ＝２ｘ（x∈A）的反函数，函数ｘ ＝ ｙ－２（y∈D）叫做ｙ ＝ ｘ ＋ ２（x∈C）的反函数.
通过映射让学生认识到，不是所有的函数都存在反函数，并思考清楚什么样的函数才存在反函数. 在此基础上，让学生继续思考：如果一个函数存在反函数，那么它的反函数是怎样产生的 （思考这个问题，不但为反函数的概念作准备，也为后面求反函数的方法作准备）？所有的这一切，为反函数的概念的阐述作好了充分的准备，这时根据函数的概念，联系前面所讨论的这些问题，概括出反函数的概念，就显得顺畅、自然，学生也容易理解，还让学生真正地理解了原函数与反函数之间的“三反”关系，为后面学习原函数与反函数之间的图像关系和利用原、反函数的图像的对称性解决问题都作了很好的铺垫.
三、效果与反思
通过这一部分内容的教学，不但培养了学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点，还让学生体会到了研究数学问题的基本策略、方法和乐趣，提高学生的抽象思维能力，培养学生的主动探索精神与创新意识.
例１ 求函数y = x3 + 1（x∈R）的反函数．
分析 由反函数的概念，学生自然知道，要得到函数y = x3 + 1的反函数，就需要用ｙ来表示ｘ，因此首先必须从y = x3 + 1中解出ｘ；其次，描述函数，需要描述其对应法则和定义域（值域由对应法则和定义域确定），所以还应求出反函数的定义域；第三，根据我们的表达习惯和后续学习中作图的方便，常用ｘ表示自变量，ｙ表示函数值，所以最后还需要将反函数中的字母ｘ，ｙ互换，从而得到反函数的表达式.
解 由y = x3 + 1得：
引导学生思考此题的解题过程，并进行归纳和总结，就可得到求反函数的一般步骤是：一解，二求，三互换（即反解ｘ，求反函数的定义域，互换ｘ和ｙ）.
例２ 已知函数ｆ（ｘ）= x ≥ 及其反函数的图像都过点Ｐ（１，２），求ｆ（ｘ）．
分析 由原函数的自变量是其反函数的函数值，原函数的函数值是其反函数的自变量即可知道： 反函数过点Ｐ（１，２），则原函数一定过点Ｐ１（２，１），所以，只需将点Ｐ（１，２）和点Ｐ１（２，１）的坐标代入函数ｆ（ｘ）的表达式ｆ（ｘ）= ，联立方程组，解出ａ，ｂ的值，反代入函数表达式即可.
由原函数和其反函数的自变量和函数值的互反关系，不但能解决很多关于原函数和反函数的问题，还是后面研究原函数和其反函数的图像的对称性的基本依据.
用这种方式进行教学，通过带着学生从最基本的数学知识出发，一步步地进行探索，一层层地拨开问题的表面，探究问题的实质，最后理解并掌握了新的数学知识，这不但让学生明白了知识的发生和发展过程，帮助他们透彻地理解和掌握了所学的知识，还进一步完善了学生思维的深刻性，培养了学生的逆向思维、抽象和概括的能力，引导和培养了学生用辩证的观点分析问题、解决问题的习惯和意识.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、常规方法
关于反函数概念的教学，课本上和很多资料上都是采用由具体到抽象、由特殊到一般的思想方法，即举二到三个具体的函数，如物理中的位移ｓ，速度ｖ（暂定为常量），时间ｔ的关系：ｓ＝ｖｔ，表示位移ｓ是时间ｔ 的函数，其中ｔ是自变量，ｓ是函数值；反过来，也可以用位移和速度来表示时间，即ｔ ＝，其中ｓ是自变量，ｔ是函数值. 再进一步分析这两个函数，明确他们之间的关系，进而根据函数的概念概括出反函数的概念. 因为这种方法是从函数（原函数）到函数（反函数）的教学法，所以学生理解起来还是有一定的困难.
二、探索与发现
由于函数是一种对应关系，这个概念本身就不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，另外，反函数的概念比较抽象，文字叙述又比较长. 所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节. 因此，要让学生对反函数的概念理解透彻，首先就应该给他们一个最直观、最形象的感性认识，让他们充分的熟悉和理解原函数和反函数的“三反”关系，再根据函数的概念来理清反函数的概念. 为了达到上述目的，我在教学中进行了如下的从映射入手的教学方法的尝试.
例如函数ｙ＝２ｘ，通过映射让学生观察从集合Ａ到集合Ｂ的映射ｆ对应的函数ｙ＝２ｘ，表明了ｙ是ｘ的函数，对应法则是“乘以２”，即ｆ（１）＝２，ｆ（２）＝４，ｆ（３）＝６，再让学生进一步思考：ｘ是ｙ的函数吗？让学生观察从集合Ｂ到集合Ａ的对应并思考能否形成函数，如果是，那么这个函数的自变量是什么？函数值是什么？对应法则又是什么？学生通过思考这一系列的问题，发现此时ｘ也是ｙ的函数，其自变量为ｙ，函数值为ｘ，对应法则为“除以２”，与函数ｙ＝２ｘ比较，学生自然发现：这两个函数的自变量和函数值互反，定义域和值域互反，对应法则也是相反的，这就是原函数和反函数之间的“三反”关系. 再通过映射，加深学生对原函数和反函数的“三反”关系的理解，在此基础上，点明函数ｘ＝ （y∈B）就叫做函数ｙ＝２ｘ（x∈A）的反函数，函数ｘ ＝ ｙ－２（y∈D）叫做ｙ ＝ ｘ ＋ ２（x∈C）的反函数.
通过映射让学生认识到，不是所有的函数都存在反函数，并思考清楚什么样的函数才存在反函数. 在此基础上，让学生继续思考：如果一个函数存在反函数，那么它的反函数是怎样产生的 （思考这个问题，不但为反函数的概念作准备，也为后面求反函数的方法作准备）？所有的这一切，为反函数的概念的阐述作好了充分的准备，这时根据函数的概念，联系前面所讨论的这些问题，概括出反函数的概念，就显得顺畅、自然，学生也容易理解，还让学生真正地理解了原函数与反函数之间的“三反”关系，为后面学习原函数与反函数之间的图像关系和利用原、反函数的图像的对称性解决问题都作了很好的铺垫.
三、效果与反思
通过这一部分内容的教学，不但培养了学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点，还让学生体会到了研究数学问题的基本策略、方法和乐趣，提高学生的抽象思维能力，培养学生的主动探索精神与创新意识.
例１ 求函数y = x3 + 1（x∈R）的反函数．
分析 由反函数的概念，学生自然知道，要得到函数y = x3 + 1的反函数，就需要用ｙ来表示ｘ，因此首先必须从y = x3 + 1中解出ｘ；其次，描述函数，需要描述其对应法则和定义域（值域由对应法则和定义域确定），所以还应求出反函数的定义域；第三，根据我们的表达习惯和后续学习中作图的方便，常用ｘ表示自变量，ｙ表示函数值，所以最后还需要将反函数中的字母ｘ，ｙ互换，从而得到反函数的表达式.
解 由y = x3 + 1得：
引导学生思考此题的解题过程，并进行归纳和总结，就可得到求反函数的一般步骤是：一解，二求，三互换（即反解ｘ，求反函数的定义域，互换ｘ和ｙ）.
例２ 已知函数ｆ（ｘ）= x ≥ 及其反函数的图像都过点Ｐ（１，２），求ｆ（ｘ）．
分析 由原函数的自变量是其反函数的函数值，原函数的函数值是其反函数的自变量即可知道： 反函数过点Ｐ（１，２），则原函数一定过点Ｐ１（２，１），所以，只需将点Ｐ（１，２）和点Ｐ１（２，１）的坐标代入函数ｆ（ｘ）的表达式ｆ（ｘ）= ，联立方程组，解出ａ，ｂ的值，反代入函数表达式即可.
由原函数和其反函数的自变量和函数值的互反关系，不但能解决很多关于原函数和反函数的问题，还是后面研究原函数和其反函数的图像的对称性的基本依据.
用这种方式进行教学，通过带着学生从最基本的数学知识出发，一步步地进行探索，一层层地拨开问题的表面，探究问题的实质，最后理解并掌握了新的数学知识，这不但让学生明白了知识的发生和发展过程，帮助他们透彻地理解和掌握了所学的知识，还进一步完善了学生思维的深刻性，培养了学生的逆向思维、抽象和概括的能力，引导和培养了学生用辩证的观点分析问题、解决问题的习惯和意识.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”