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【摘要】平行四边形的面积是小学数学图形与几何内容中的一个非常重要内容，通过对两个版本教材的比较，给出教学时注重方格纸的使用，体现“等积变换”思想;注重“割补法”推导，渗透“转化”思想，注重课后习题的使用，积累学生的“基本活动经验”，从HPM视角下穿插数学史，增强学生的情感体验，从而高效获取数学知识.
【关键词】平行四边形的面积;HPM视角;启示
【基金项目】云南省教育厅科学研究基金项目（2019J0857）——HPM视角下的小学数学教学对云南边疆民族地区学生数学学习的影响研究.
数学史如何融入中小学数学教育教学中，是许多中小学数学教师关注的话题，它也是数学史与数学教育（HPM）领域的重要内容，教师要深刻认识数学史的教育价值.平行四边形的面積是小学数学图形与几何内容中的一个非常重要内容，平行四边形面积的计算方法是从长方形的面积计算方法通过“转化”思想推导得出;而这种“转化”思想方法又为后续内容三角形、梯形、圆等面积及立体图形的体积计算方法打下基础.本文通过比较人教版和沪教版两个版本的数学教科书，发现它们的教学内容素材选取、内容编排存在差别，因此，探究推导平行四边形的面积公式，理清平行四边形面积的算理，从HPM的视角下设计本节课，将有助于落实本节课的教学目标.
一、“人教版”和“沪教版”教材中“平行四边形的面积”的内容编排结构
（一）人教版的内容编排结构
“平行四边形的面积”是单元“多边形的面积”教学时的第一课，是从主题图中一个长方形花坛和一个平行四边形花坛的面积大小引出了怎么样计算平行四边形的面积，突出平行四边形与长方形的内在联系，从而达到从原有的知识中探索新知识的学习.教材接着给出用数方格的方法求出平行四边形和长方形的面积.在数方格环节，教材给出表格，让学生数出图形的面积并填写，并且要求学生先单独操作，再全班讨论和交流.接着教师提出不数方格，能不能计算平行四边形的面积呢？从而引出研究割补法推导平行四边形的面积这一重要内容，教材最后给出一道例题.
（二）沪教版的内容编排结构
“平行四边形的面积”这节课是安排在刚刚学习了平行四边形的概念、底、高及它的不稳定性后来学习的.教材先给出一个平行四边形的图形，在图形中标出底和高这两个数据，并在此基础上引导学生思考这个平行四边形的面积是多少？接下来，教材给出了两种方法：一种是通过数格子的方法，数出这个平行四边形的面积;另一种是通过“剪与拼”的数学活动，让学生探究出将平行四边形转化为长方形.随后，教材呈现出观察平行四边形与长方形面积的变化情况，再推导出平行四边形的面积计算公式.最后教材安排计算出该平行四边形的面积.
二、导入方式的不同
通过阅读不同版本的数学教材，发现在“平行四边形的面积”导入方式通常有两种.第一种是通过创设现实生活情境来导入新知的;第二种是直接从平面图形导入新知的.人教版的导入方式属于第一种，创设学生的现实生活情境：学校门口的长方形花坛和平行四边形花坛中，哪个面积大？这样的现实生活情境来导入新课.沪教版采用的方式是第二种，开门见山，给出底为6厘米、高为4厘米的平行四边形的图形直接从图形引入，并追问它的面积是多少.
三、推导“平行四边形的面积”计算公式的异同
《义务教育数学课程标准（2011版）》提出“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积计算公式”.两套教材均采用“利用方格纸和割补方法”两种方法来推导平行四边形的面积计算公式，但在方格纸的呈现方式上有所不同.
对数方格方法，人教版教材利用方格纸把平行四边形、长方形两种图形呈现在方格纸上，并且在采用数方格方法计算面积时，强调一个方格代表1平方米，不满一格的都按半格计算，通过数方格的方法把平行四边形的底、高和面积及长方形的长、宽和面积填写在表格中.教材的编写意图就是要让学生在数的过程中找出长方形长、宽和平行四边形底、高之间的联系.沪教版教材把一个平行四边形图形放在方格纸上，教材中并没有像人教版教材一样指出一个方格代表1平方米，不满一格的都按半格计算这句话.教材的编写意图是让学生通过数方格的方法求平行四边形的面积，但在数的过程中出现不完整的方格时，则需要两个不完整的方格拼成一个完整的方格，这样的编排无形中已渗透了“割补”的思想.
对割补法求面积，人教版教材通过学生动手剪一剪，拼一拼，通过剪、移、拼的过程把一个平行四边形转化为一个长方形，在这个过程中并没使用方格纸.而沪教版教材中剪、移、拼这个过程是在方格纸上呈现的.
虽然方格纸在两个版本的教材中，推导公式的编排方式不同，却都渗透了“割补法”的思想.
两个版本的教材在平行四边形面积公式的探究过程中，都是利用割补法来呈现的，都把一个平行四边形分割成直角三角形和直角梯形或者两个直角梯形的两种方法.两套教材都呈现了把平行四边形分割成直角三角形和直角梯形的推演过程，而分割成两个直角梯形的推演过程并没有给出.不管是把平行四边形分割成直角三角形和直角梯形，还是两个直角梯形，在推导过程中学生可以感受到平移、旋转和转化等重要的数学思想与方法，这都有利于发展学生的空间几何直观和积累学生的活动经验.
四、两套教材的比较研究对平行四边形的面积的教学启示
（一）教学时注重方格纸的使用，体现“等积变换”思想
在古代，两河流域测量土地面积时，就用单位面积的方法度量物体，现在我们通常借用边长为1厘米的小正方形的方格纸来度量面积的大小.人教版教材在三年级时推导长方形、正方形面积计算公式就安排了用数方格的方法.到了五年级学习“平行四边形的面积”时，教材同样也安排方格纸推导平行四边形面积.所以，在进行教学时要突出两点，首先在判断平行四边形的面积计算是不是邻边相乘时，方格纸的量化作用就体现出来;其次借助方格纸探究平行四边形的面积时，通过对比数的结果与底乘高计算的结果，可能猜想底乘高是计算平行四边形面积的方法，再通过数面积单位来验证.渗透“等积变换”的割补法，为学生积累活动经验，同时通过数方格的过程加深了平行四边形与长方形数法上的联系.并且，在学生利用方格纸“数面积”的过程（不足一格）无形中渗透了“转化”的思想，为后续学习做好铺垫[1]. （二）教学时注重“割补法”推导，渗透“转化”思想
《上海市中小学数学课程标准》在内容与要求中提出，通过割补等方法归纳平行四边形面积计算公式，渗透运动的观点[2].
“割补法”蕴涵着重要的数学思想“转化”，在后继内容三角形的面积、梯形的面积计算公式都可利用“割补”原理推导而得.两个版本的教材在平行四边形面积的计算公式推导过程，都是将原来的图形（平行四边形）转化为已经学过的图形（长方形）来求面积.在教学时应着重考虑怎么样让学生自然地想到利用割補法推导计算公式，将“转化”思想渗透到推导过程中.
（三）教学时注重课后习题的使用，积累学生的“基本活动经验”
习题的设置是数学教科书的重要组成部分，是把知识运用于实际的初步实践，是促进学生思维、智力、兴趣、意志等方面健康发展的重要手段，教材编写者往往通过习题的设计来传达教材的编写意图，明确需要达到的教学目标，即学生通过本节课的学习应该掌握哪些数学知识与技能，获得哪些数学思想与活动经验及训练哪些数学能力.教材习题的数量、题型、素材、深度与难度要求等方面的特征直接关系到学生对数学的体验及数学能力的培养[3].
从两套教材编排来看，推导平行四边形的面积所提供的都是较为常规的平行四边形，但在课后练习又涉及平行四边形的高已在底边的延长线上，因此，在教学设计时可提供特殊“斜而长”的平行四边形，让学生理解平行四边形的面积计算公式是底乘对应的高，初步渗透一一对应的思想，让学生不断经历、体验数学活动，在“做”的过程和“思考”的过程中积累数学活动经验.
（四）从HPM视角下穿插数学史，增强学生的情感体验
在新课导入部分，教师可以微视频的形式，展示古代埃及尼罗河泛滥，需要测量和分配土地的问题情境，引导学生思考“怎样分配土地才公平？”，从而揭示课题.这样设计巧妙地将古埃及的数学史融入教学中，不仅激发了学生的学习兴趣，还让学生感受到古埃及人对几何问题的研究并不是凭空想象，而是源于生产和生活的实际需要的特点，体现了HPM的教育价值.
周晓辉在论文《平行四边形面积教学的认知起点调查与分析》中指出学生在探索面积公式时有一部分学生给出邻边相乘的计算方法，其实在古埃及纸草书以及两河流域泥版书上所记载四边形（边长依次设为a，b，c，d）的面积公式为A=a c2×b d2，即两组对边平均长度的乘积.事实上，该公式只对长方形成立，而对其他四边形并不成立[4].而学生在推导平行四边形面积计算公式时往往会发生与古人相似的错误计算方法，因此，教学时教师可给出相应的数学史，让学生明白正确的知识发展是需要一个过程，部分学生采用邻边相乘求平行四边形的面积不足为奇，从HPM视角看这恰恰是他们的思想与古人的思想出现了历史相似性，学生经历这个过程，就能自然而然地得出平行四边形面积的正确计算方法.
在巩固新知时，可设计问题“如图所示，两个平行四边形的面积相等，为什么”？让学生探讨其中的道理.借此机会给出在公元六世纪左右，著名数学家欧几里得就在《几何原本》中写道：同底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等[5].介绍欧几里得的事迹，欧几里得是位温良敦厚的教育家，也是一位治学严谨的学者，他反对在做学问时不肯刻苦钻研、投机取巧、追求名利和急功近利的作风.正是由于他们治学严谨才有了伟大著作《几何原本》的产生.学生的判断结果可能和大数学家欧几里得是一样，让学生在情感上得到共鸣，增强学生热爱数学学习的信心.
【参考文献】
[1]毛亚峰.运用方格，调正相异构想——“平行四边形面积”教学实践与思考[J].小学数学教学参考，2016（8）：22-24.
[2]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准[M].上海：上海教育出版社，2004.
[3]单燕.小学数学教材习题比较研究[J].考试周刊，2013（43）：26-27.
[4]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017（11）.
[5][古希腊]欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.南京：江苏人民出版社，2011.
【关键词】平行四边形的面积;HPM视角;启示
【基金项目】云南省教育厅科学研究基金项目（2019J0857）——HPM视角下的小学数学教学对云南边疆民族地区学生数学学习的影响研究.
数学史如何融入中小学数学教育教学中，是许多中小学数学教师关注的话题，它也是数学史与数学教育（HPM）领域的重要内容，教师要深刻认识数学史的教育价值.平行四边形的面積是小学数学图形与几何内容中的一个非常重要内容，平行四边形面积的计算方法是从长方形的面积计算方法通过“转化”思想推导得出;而这种“转化”思想方法又为后续内容三角形、梯形、圆等面积及立体图形的体积计算方法打下基础.本文通过比较人教版和沪教版两个版本的数学教科书，发现它们的教学内容素材选取、内容编排存在差别，因此，探究推导平行四边形的面积公式，理清平行四边形面积的算理，从HPM的视角下设计本节课，将有助于落实本节课的教学目标.
一、“人教版”和“沪教版”教材中“平行四边形的面积”的内容编排结构
（一）人教版的内容编排结构
“平行四边形的面积”是单元“多边形的面积”教学时的第一课，是从主题图中一个长方形花坛和一个平行四边形花坛的面积大小引出了怎么样计算平行四边形的面积，突出平行四边形与长方形的内在联系，从而达到从原有的知识中探索新知识的学习.教材接着给出用数方格的方法求出平行四边形和长方形的面积.在数方格环节，教材给出表格，让学生数出图形的面积并填写，并且要求学生先单独操作，再全班讨论和交流.接着教师提出不数方格，能不能计算平行四边形的面积呢？从而引出研究割补法推导平行四边形的面积这一重要内容，教材最后给出一道例题.
（二）沪教版的内容编排结构
“平行四边形的面积”这节课是安排在刚刚学习了平行四边形的概念、底、高及它的不稳定性后来学习的.教材先给出一个平行四边形的图形，在图形中标出底和高这两个数据，并在此基础上引导学生思考这个平行四边形的面积是多少？接下来，教材给出了两种方法：一种是通过数格子的方法，数出这个平行四边形的面积;另一种是通过“剪与拼”的数学活动，让学生探究出将平行四边形转化为长方形.随后，教材呈现出观察平行四边形与长方形面积的变化情况，再推导出平行四边形的面积计算公式.最后教材安排计算出该平行四边形的面积.
二、导入方式的不同
通过阅读不同版本的数学教材，发现在“平行四边形的面积”导入方式通常有两种.第一种是通过创设现实生活情境来导入新知的;第二种是直接从平面图形导入新知的.人教版的导入方式属于第一种，创设学生的现实生活情境：学校门口的长方形花坛和平行四边形花坛中，哪个面积大？这样的现实生活情境来导入新课.沪教版采用的方式是第二种，开门见山，给出底为6厘米、高为4厘米的平行四边形的图形直接从图形引入，并追问它的面积是多少.
三、推导“平行四边形的面积”计算公式的异同
《义务教育数学课程标准（2011版）》提出“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积计算公式”.两套教材均采用“利用方格纸和割补方法”两种方法来推导平行四边形的面积计算公式，但在方格纸的呈现方式上有所不同.
对数方格方法，人教版教材利用方格纸把平行四边形、长方形两种图形呈现在方格纸上，并且在采用数方格方法计算面积时，强调一个方格代表1平方米，不满一格的都按半格计算，通过数方格的方法把平行四边形的底、高和面积及长方形的长、宽和面积填写在表格中.教材的编写意图就是要让学生在数的过程中找出长方形长、宽和平行四边形底、高之间的联系.沪教版教材把一个平行四边形图形放在方格纸上，教材中并没有像人教版教材一样指出一个方格代表1平方米，不满一格的都按半格计算这句话.教材的编写意图是让学生通过数方格的方法求平行四边形的面积，但在数的过程中出现不完整的方格时，则需要两个不完整的方格拼成一个完整的方格，这样的编排无形中已渗透了“割补”的思想.
对割补法求面积，人教版教材通过学生动手剪一剪，拼一拼，通过剪、移、拼的过程把一个平行四边形转化为一个长方形，在这个过程中并没使用方格纸.而沪教版教材中剪、移、拼这个过程是在方格纸上呈现的.
虽然方格纸在两个版本的教材中，推导公式的编排方式不同，却都渗透了“割补法”的思想.
两个版本的教材在平行四边形面积公式的探究过程中，都是利用割补法来呈现的，都把一个平行四边形分割成直角三角形和直角梯形或者两个直角梯形的两种方法.两套教材都呈现了把平行四边形分割成直角三角形和直角梯形的推演过程，而分割成两个直角梯形的推演过程并没有给出.不管是把平行四边形分割成直角三角形和直角梯形，还是两个直角梯形，在推导过程中学生可以感受到平移、旋转和转化等重要的数学思想与方法，这都有利于发展学生的空间几何直观和积累学生的活动经验.
四、两套教材的比较研究对平行四边形的面积的教学启示
（一）教学时注重方格纸的使用，体现“等积变换”思想
在古代，两河流域测量土地面积时，就用单位面积的方法度量物体，现在我们通常借用边长为1厘米的小正方形的方格纸来度量面积的大小.人教版教材在三年级时推导长方形、正方形面积计算公式就安排了用数方格的方法.到了五年级学习“平行四边形的面积”时，教材同样也安排方格纸推导平行四边形面积.所以，在进行教学时要突出两点，首先在判断平行四边形的面积计算是不是邻边相乘时，方格纸的量化作用就体现出来;其次借助方格纸探究平行四边形的面积时，通过对比数的结果与底乘高计算的结果，可能猜想底乘高是计算平行四边形面积的方法，再通过数面积单位来验证.渗透“等积变换”的割补法，为学生积累活动经验，同时通过数方格的过程加深了平行四边形与长方形数法上的联系.并且，在学生利用方格纸“数面积”的过程（不足一格）无形中渗透了“转化”的思想，为后续学习做好铺垫[1]. （二）教学时注重“割补法”推导，渗透“转化”思想
《上海市中小学数学课程标准》在内容与要求中提出，通过割补等方法归纳平行四边形面积计算公式，渗透运动的观点[2].
“割补法”蕴涵着重要的数学思想“转化”，在后继内容三角形的面积、梯形的面积计算公式都可利用“割补”原理推导而得.两个版本的教材在平行四边形面积的计算公式推导过程，都是将原来的图形（平行四边形）转化为已经学过的图形（长方形）来求面积.在教学时应着重考虑怎么样让学生自然地想到利用割補法推导计算公式，将“转化”思想渗透到推导过程中.
（三）教学时注重课后习题的使用，积累学生的“基本活动经验”
习题的设置是数学教科书的重要组成部分，是把知识运用于实际的初步实践，是促进学生思维、智力、兴趣、意志等方面健康发展的重要手段，教材编写者往往通过习题的设计来传达教材的编写意图，明确需要达到的教学目标，即学生通过本节课的学习应该掌握哪些数学知识与技能，获得哪些数学思想与活动经验及训练哪些数学能力.教材习题的数量、题型、素材、深度与难度要求等方面的特征直接关系到学生对数学的体验及数学能力的培养[3].
从两套教材编排来看，推导平行四边形的面积所提供的都是较为常规的平行四边形，但在课后练习又涉及平行四边形的高已在底边的延长线上，因此，在教学设计时可提供特殊“斜而长”的平行四边形，让学生理解平行四边形的面积计算公式是底乘对应的高，初步渗透一一对应的思想，让学生不断经历、体验数学活动，在“做”的过程和“思考”的过程中积累数学活动经验.
（四）从HPM视角下穿插数学史，增强学生的情感体验
在新课导入部分，教师可以微视频的形式，展示古代埃及尼罗河泛滥，需要测量和分配土地的问题情境，引导学生思考“怎样分配土地才公平？”，从而揭示课题.这样设计巧妙地将古埃及的数学史融入教学中，不仅激发了学生的学习兴趣，还让学生感受到古埃及人对几何问题的研究并不是凭空想象，而是源于生产和生活的实际需要的特点，体现了HPM的教育价值.
周晓辉在论文《平行四边形面积教学的认知起点调查与分析》中指出学生在探索面积公式时有一部分学生给出邻边相乘的计算方法，其实在古埃及纸草书以及两河流域泥版书上所记载四边形（边长依次设为a，b，c，d）的面积公式为A=a c2×b d2，即两组对边平均长度的乘积.事实上，该公式只对长方形成立，而对其他四边形并不成立[4].而学生在推导平行四边形面积计算公式时往往会发生与古人相似的错误计算方法，因此，教学时教师可给出相应的数学史，让学生明白正确的知识发展是需要一个过程，部分学生采用邻边相乘求平行四边形的面积不足为奇，从HPM视角看这恰恰是他们的思想与古人的思想出现了历史相似性，学生经历这个过程，就能自然而然地得出平行四边形面积的正确计算方法.
在巩固新知时，可设计问题“如图所示，两个平行四边形的面积相等，为什么”？让学生探讨其中的道理.借此机会给出在公元六世纪左右，著名数学家欧几里得就在《几何原本》中写道：同底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等[5].介绍欧几里得的事迹，欧几里得是位温良敦厚的教育家，也是一位治学严谨的学者，他反对在做学问时不肯刻苦钻研、投机取巧、追求名利和急功近利的作风.正是由于他们治学严谨才有了伟大著作《几何原本》的产生.学生的判断结果可能和大数学家欧几里得是一样，让学生在情感上得到共鸣，增强学生热爱数学学习的信心.
【参考文献】
[1]毛亚峰.运用方格，调正相异构想——“平行四边形面积”教学实践与思考[J].小学数学教学参考，2016（8）：22-24.
[2]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准[M].上海：上海教育出版社，2004.
[3]单燕.小学数学教材习题比较研究[J].考试周刊，2013（43）：26-27.
[4]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017（11）.
[5][古希腊]欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.南京：江苏人民出版社，2011.