在七年级数学期未复习时，往往会出现平时教学中没有向学生讲解过的题目，特别是一些综合试题，运用常规的解题方法难以解决，应根据题目自身特点寻找合适的解题方法。本文就三角形复习出现的“8字形”特征几何题，谈谈如何求解。
　　一、初步认识图形中出现的“8字形”
　　例 如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”。如图2，在图1的条件下，∠DAB、∠BCD的平分线相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
　　（1）在图1中，若∠A+∠D=80°，则∠B+∠C=______；仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个；
　　（2）在图2中，若∠DAO=50°，∠OCB=40°，∠P=35°，试求∠D的度数；
　　（3）在图2中，若设∠D=x°，∠B=y°，其它条件不变，试求∠P的度数。
　　分析：（1）由△AOD，△BOC内角和都为180°，且对顶角∠AOD =∠BOC可得∠B+∠C=∠A+∠D=80°。从图1的图形知道了“8字形”的特征：它是由两个三角形所组成的，有一对对顶角，其它两个角的和相等。依据这些特征不难发现在图2中“8字形”的个数有6个。在观察寻找时，应从一对对顶角开始，再观察由哪两个三角形含有它们，有的可能出现有几个三角形含有同一对对顶角，如△AOD，△AOM，与△CON，△CON同时含有∠AOD与∠BOC，这样就组成4个“8字形”。
　　（2）由∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP，且∠DAO=50°，∠OCB=40°，可得∠1=25°，∠3=20°，再△ADM与△CPM组成一个“8字形”则∠1+∠D=∠3+∠P可求出∠D=30°.
　　（3）由△AMD，△CPM组成的“8字形”可知∠1+∠D=∠3+∠P （1），由△ANP，△CNB组成的“8字形可得∠4+∠B=∠2+∠P （2），再由（1）+（2）得∠1+∠D+∠4+∠B=∠3+∠P+∠2+∠P，又因为∠1=∠2，∠3=∠4，可得∠P=■（∠D+∠B）=■（x°+ y°）.
　　二、在图形中构造“8字形”
　　在图3中，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_____°.请说明你猜想的理由。
　　分析：在图3中，把AE连结起来，如图4，构造出一个“8字形”则∠C+∠D=∠CAE+∠AED从而将问题转化为求四边形ABFE的内角和，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
　　三、图形中变异的“8字形”
　　如果把图3称为2环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，图5称为2环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H，则2环四边形的内角和为______°；2环五边形的内角和为______°；2环n边形的内角和为______°.
　　分析：方法1，按上面的做法，如图6连接HF，ED构造一个“8字形”，则∠DEF+∠HDE=∠DHF+∠HFE，先求出△GHF和五边形ABCDE的内角和，再将这两个内角和相加，就能求出2环四边形的内角和为720°.
　　方法2，如图7，延长AE，CD交于点O，这样也出现了一个“8字形”，只是这个“8字形”和最初认识的不一样，它是由两个四边形构成的，我们把它看成是一个变异的“8字形”，但也有一对对顶角。除对顶角外，这两个四边形的其它三个内角和也会相等，即∠OEF+∠HDO+∠O=∠H+∠G+∠F，只要求出四边形ABCO的内角和，再加上两个补角∠AEO和∠ODC的度数，就得到2环四边形的内角和为720°.由图3称为2环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.图5称为2环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=720°可得：它们的内角和都是各多边形的内角和的两倍。因此2环五边形的内角和为五边形的内角和的两倍，2环n边形的内角和为n边形的内角和两倍，它们分别是1080°，2（n-2）180°.