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[摘 要]在一年级刚接触应用题时，学生分析数量关系往往缺乏逻辑性，习惯于顺着问题情境中事件的发展顺序写出算式，然后在算式中想加做减或想减做加，因此有时就会出现“因果颠倒”的算式，这样有争议的算式引发了教师的不同教学策略。
[关键词]辩论;教学策略;因果颠倒
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）23-0033-02
有这样一道应用题：池塘里有一些青蛙，有5只跳上岸，还剩23只青蛙，问：池塘里原来有多少只青蛙？学生列式：28-5=23。这样的列式，让教师犯难——说它错，可明明已经算出青蛙的总数是28，而且成功地用青蛙总数减去跳上岸的青蛙数等于池塘中剩下的青蛙数，无论是给出的总数还是算式推导过程，都符合实情;但是，说它对，又好像说不过去，因为无论过程多么完美，结果多么正确，总归是答非所问，因为题目问的是池塘里原来有多少只青蛙，计算的结果却是池塘中剩下的青蛙数。此为其一，其二是犯下“因果颠倒”的错误，青蛙总数由未知变成已知，而池塘中剩下的青蛙数明明是已知，却莫名其妙变成未知，因果颠倒，本末倒置。这就是不可宽纵姑息的错误，判对很难服众。那么，究竟如何决断呢？教师间展开了激烈的辩论。
一、正方观点
正方的论据有三：一是根据答题情况反馈，学生已经掌握了加减法数量关系的推导和整理，并会运用加减法的运算意义来对照分析实际问题中的各项条件，并且掌握了“总数-减少数量=剩下数量”的公式，而且学生已经解决了问题。因为当问学生池塘里的青蛙总数是多少时，学生能够快速准确地说出“28”。二是根据等式的性质1（等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍相等）可知，28-5=23和28=5 23等价，再根据等式左右两边的对等性，28=5 23和5 23=28等价，于是推理出28-5=23这个算式也可行，唯一的区别就是将运算结果放到了算式的左边，这只是一个习惯问题，因为等号没有方向性，也就意味着等号左右两边是平等的，所以从右边看向左边也未尝不可。三是如此表达，更符合用方程解决问题的解题思路。假设池塘里原有的青蛙总数是x只，那么依据题意列方程就得到x-5=23，运用“想加做减”可以得出方程的解为x=28，而根据方程的解的定义——能使方程成立的未知数的值是原方程的解，那么将x=28代入原方程检验，就得到28-5=23，正好这个检验式就是学生所列算式，这恰好证明了学生的列式暗合了方程解法的检验式。
以上教师的争论和新奇观点给笔者带来了启示，顺着他们的指引，笔者展开新的研究，并另辟蹊径，借助方程思想来解析这个问题。例如这一题中，分析问题时不直接用方程，而是用小括号来代替未知数x，如：（ ）-5=23，这种形式的作业在想加做减（或想减做加）时经常碰到，因为这种算术法有一个好处，那就是可以完全按照题目陈述事情的发展顺序来写出算式。
“（ ）-5=23”这样的题目，学生司空见惯，在没有学习等式的性质和移项之前，这种填空式的题目，不仅有利于学生掌握加减法之间的逆运算关系，还避免了分析数量关系时复杂的逆推，可按照事情发展顺序将算式写下来，便于学生理解、接受和应用。特别值得指出的是，如果将算式里的括号替换成“x”，就变成一个标准的方程式。方程思想的早期萌芽就此产生。
二、反方论调
反方则给出了这样的理由：学生列出这种算式，表面看是表达式的问题，往深里说，其实深刻揭露学生对加减法意义理解出现偏差。在一年级，这样的习题屡见不鲜，这样的式子再也正常不过。例如画图表示“3 5”，学生经常会这样表示（如图1）：
虽然教师一再强调“加法表示合并起来”，图中要表示出3个和5个合并起来的意义，而不是将8个分成3个和5个，但是学生置若罔闻，仍然在图上先画出8个圆圈，然后再画分隔号。对此题，笔者有一次在黑板上示范画图，画完图之后，事有凑巧，正好黑板写满了，为了与黑板上的其他内容隔开，笔者将这部分板书“圈”起来（渗透集合思想）。打那以后，让学生图示加法算式时，许多学生就会有样学样地给图示画一个圈，而且固执地认为如果不加圆圈就是不规范的。笔者深究原因时，他们却说不出个所以然。综合分析学生上述反常表现，可以看出一些端倪，因为知识储量、认知经验、逻辑素养等多方面的缺失，一年级学生还不善于从数学视角看待和分析问题。相对而言，他们分析数学问题时更多依赖的是生活经验和惯性思维，非数学因素的影响占了上风。教师经常在课堂上追问学生采用加（减）法的原因，学生的回答质朴天真：“因为是跳走了，所以用减法。”“因为跑来了，所以用加法。”这些说明学生是按照生活事理来理解问题的，而不是从严密的算术逻辑上来考量的。换言之，学生对于解答方法的选择，是基于对生活事件和情境的直观认知，而不是从加减法的意义去思考的。
三、求同存异
这样的心理走向，折射出学生的学习短板，在这道题中，已知跳走的青蛙只数和剩下的青蛙只数，求原有的青蛙总数，自然是按照加法的意义来推导，将“跳走的”和“剩下的”两个部分合起来，就得到总数。在实际的调查中发现，部分学生的确是凭直觉心算出23 5=28，而后受到“跳走了”这样的动词暗示，习惯性地按照事情的发展顺序来写算式，不由自主地将解答算式写成“28-5=23”。由此可见，学生对加减法运算意义的理解不够牢固，尤其是加法中的“被加数 加数=和”，可以在不同情境中赋予三个元素不同的物理含义，以及对算式的不同算术表达，如“被加数 加数=和”可以转换成“一堆 一堆=总数”，也可以转换成“拿走的 剩下的=原数”……不一而足。这些都说明学生在加减法模型构建上的不足。
那么，如何引导学生深入理解加减法意义，学会从算术的运行原理上分析问题，而尽量减少非数学因素的影响呢？一方面，要完善分析数量关系过程的训练，坚持让学生圈画出数学信息，厘清哪些是已知，哪些是未知，选用合适的衍生公式计算，保证结果指向未知;另一方面，可激活学生的“画图”的经验。运用画图策略，将题目进行科学图示（如图2），从而指导学生进一步领会加法的意义，构建加法模型。
至此，正反双方达成共识，求同存异，对于学生的列式，支持的教师可以趁机渗透方程思想，反对的教师则以此为反例，加强对加减法意义的讲解和算术模型的构建，至于孰是孰非已经不重要，一场纷争转化为对教学规律与方法的争鸣与研讨。不同的教师，面对同样的问题，因为思考的角度不同，运用的数学思想不同，指导方向取向不同，于是，教學策略就有了差异，于是教学才会百花齐放、五彩缤纷。
（责编 黄春香）
[关键词]辩论;教学策略;因果颠倒
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）23-0033-02
有这样一道应用题：池塘里有一些青蛙，有5只跳上岸，还剩23只青蛙，问：池塘里原来有多少只青蛙？学生列式：28-5=23。这样的列式，让教师犯难——说它错，可明明已经算出青蛙的总数是28，而且成功地用青蛙总数减去跳上岸的青蛙数等于池塘中剩下的青蛙数，无论是给出的总数还是算式推导过程，都符合实情;但是，说它对，又好像说不过去，因为无论过程多么完美，结果多么正确，总归是答非所问，因为题目问的是池塘里原来有多少只青蛙，计算的结果却是池塘中剩下的青蛙数。此为其一，其二是犯下“因果颠倒”的错误，青蛙总数由未知变成已知，而池塘中剩下的青蛙数明明是已知，却莫名其妙变成未知，因果颠倒，本末倒置。这就是不可宽纵姑息的错误，判对很难服众。那么，究竟如何决断呢？教师间展开了激烈的辩论。
一、正方观点
正方的论据有三：一是根据答题情况反馈，学生已经掌握了加减法数量关系的推导和整理，并会运用加减法的运算意义来对照分析实际问题中的各项条件，并且掌握了“总数-减少数量=剩下数量”的公式，而且学生已经解决了问题。因为当问学生池塘里的青蛙总数是多少时，学生能够快速准确地说出“28”。二是根据等式的性质1（等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍相等）可知，28-5=23和28=5 23等价，再根据等式左右两边的对等性，28=5 23和5 23=28等价，于是推理出28-5=23这个算式也可行，唯一的区别就是将运算结果放到了算式的左边，这只是一个习惯问题，因为等号没有方向性，也就意味着等号左右两边是平等的，所以从右边看向左边也未尝不可。三是如此表达，更符合用方程解决问题的解题思路。假设池塘里原有的青蛙总数是x只，那么依据题意列方程就得到x-5=23，运用“想加做减”可以得出方程的解为x=28，而根据方程的解的定义——能使方程成立的未知数的值是原方程的解，那么将x=28代入原方程检验，就得到28-5=23，正好这个检验式就是学生所列算式，这恰好证明了学生的列式暗合了方程解法的检验式。
以上教师的争论和新奇观点给笔者带来了启示，顺着他们的指引，笔者展开新的研究，并另辟蹊径，借助方程思想来解析这个问题。例如这一题中，分析问题时不直接用方程，而是用小括号来代替未知数x，如：（ ）-5=23，这种形式的作业在想加做减（或想减做加）时经常碰到，因为这种算术法有一个好处，那就是可以完全按照题目陈述事情的发展顺序来写出算式。
“（ ）-5=23”这样的题目，学生司空见惯，在没有学习等式的性质和移项之前，这种填空式的题目，不仅有利于学生掌握加减法之间的逆运算关系，还避免了分析数量关系时复杂的逆推，可按照事情发展顺序将算式写下来，便于学生理解、接受和应用。特别值得指出的是，如果将算式里的括号替换成“x”，就变成一个标准的方程式。方程思想的早期萌芽就此产生。
二、反方论调
反方则给出了这样的理由：学生列出这种算式，表面看是表达式的问题，往深里说，其实深刻揭露学生对加减法意义理解出现偏差。在一年级，这样的习题屡见不鲜，这样的式子再也正常不过。例如画图表示“3 5”，学生经常会这样表示（如图1）：
虽然教师一再强调“加法表示合并起来”，图中要表示出3个和5个合并起来的意义，而不是将8个分成3个和5个，但是学生置若罔闻，仍然在图上先画出8个圆圈，然后再画分隔号。对此题，笔者有一次在黑板上示范画图，画完图之后，事有凑巧，正好黑板写满了，为了与黑板上的其他内容隔开，笔者将这部分板书“圈”起来（渗透集合思想）。打那以后，让学生图示加法算式时，许多学生就会有样学样地给图示画一个圈，而且固执地认为如果不加圆圈就是不规范的。笔者深究原因时，他们却说不出个所以然。综合分析学生上述反常表现，可以看出一些端倪，因为知识储量、认知经验、逻辑素养等多方面的缺失，一年级学生还不善于从数学视角看待和分析问题。相对而言，他们分析数学问题时更多依赖的是生活经验和惯性思维，非数学因素的影响占了上风。教师经常在课堂上追问学生采用加（减）法的原因，学生的回答质朴天真：“因为是跳走了，所以用减法。”“因为跑来了，所以用加法。”这些说明学生是按照生活事理来理解问题的，而不是从严密的算术逻辑上来考量的。换言之，学生对于解答方法的选择，是基于对生活事件和情境的直观认知，而不是从加减法的意义去思考的。
三、求同存异
这样的心理走向，折射出学生的学习短板，在这道题中，已知跳走的青蛙只数和剩下的青蛙只数，求原有的青蛙总数，自然是按照加法的意义来推导，将“跳走的”和“剩下的”两个部分合起来，就得到总数。在实际的调查中发现，部分学生的确是凭直觉心算出23 5=28，而后受到“跳走了”这样的动词暗示，习惯性地按照事情的发展顺序来写算式，不由自主地将解答算式写成“28-5=23”。由此可见，学生对加减法运算意义的理解不够牢固，尤其是加法中的“被加数 加数=和”，可以在不同情境中赋予三个元素不同的物理含义，以及对算式的不同算术表达，如“被加数 加数=和”可以转换成“一堆 一堆=总数”，也可以转换成“拿走的 剩下的=原数”……不一而足。这些都说明学生在加减法模型构建上的不足。
那么，如何引导学生深入理解加减法意义，学会从算术的运行原理上分析问题，而尽量减少非数学因素的影响呢？一方面，要完善分析数量关系过程的训练，坚持让学生圈画出数学信息，厘清哪些是已知，哪些是未知，选用合适的衍生公式计算，保证结果指向未知;另一方面，可激活学生的“画图”的经验。运用画图策略，将题目进行科学图示（如图2），从而指导学生进一步领会加法的意义，构建加法模型。
至此，正反双方达成共识，求同存异，对于学生的列式，支持的教师可以趁机渗透方程思想，反对的教师则以此为反例，加强对加减法意义的讲解和算术模型的构建，至于孰是孰非已经不重要，一场纷争转化为对教学规律与方法的争鸣与研讨。不同的教师，面对同样的问题，因为思考的角度不同，运用的数学思想不同，指导方向取向不同，于是，教學策略就有了差异，于是教学才会百花齐放、五彩缤纷。
（责编 黄春香）