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一、填空题
1. 若集合A={x||x－1|<2},B={x|2x－13－x<0}.则A∩B=__________ .
2. 已知复数z=3－i(1+i)2,z是z的共轭复数,则z•z=__________ .
3. 在一个袋子中装有4张分别标有数字1,2,3,4的扑克牌.现从中随机取出两张,则取出的两张扑克牌上的数字之和是3的整数倍的概率是__________ .
4. 函数y=sin(2x+π6)－2的图像按向量a=(π4,－5)平移后所得图像的解析式为__________ .
5. 阅读下面的程序框图，则输出的S=__________ .
6. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2144－y2b2=1(b>0)的一条渐近线的距离为513,则b=__________ .
7. 设a,b是平面α内的两条不同直线;m,n是平面β内的两条相交直线,则下列条件中能作为α∥β的充分而不必要条件的是__________ .
(1)a∥β且m∥α；(2)a∥m且b∥n；
(3)a∥β且b∥β；(4)a∥β且b∥n.
8. 已知f(x)是R上的奇函数,且满足f(x－2)=－f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=x2－3,则f(11)=__________ .
9. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为,已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是__________ .
10. 已知数列{an}对于任意正整数r,s,都有ar+s－ar=as,且a1=13,则a99=__________ .
11. 若函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数,偶函数,且f(x)－g(x)=2x.则g(1),f(2),f(3)的大小关系是______________________________.
12. 设命题p:不等式(13)x+4>m>2x－x2(x∈R)恒成立;命题q:函数f(x)=－(7－2m)x是R上的减函数.若命题p或q为真命题,命题p且q为假命题,则实数m的取值范围是__________ .
13. 已知点O在ΔABC所在平面上,且AB=3OB－4OC,则△OAB与△OBC的面积之比为__________ .
14. 如图,已知D是面积为1的ΔABC的边AB的中点,E是边AC上任一点,连接DE,F是线段DE上一点,连接BF,设DFDE=λ1,AEAC=λ2,且λ1+λ2=12,则ΔBDF的面积的最大值是__________ .
二、解答题
15. 已知函数y=f(x)的图像关于直线x=7对称,且f(－3)=2011,cosα－sinα=225.
(1)求u=10sin2αcos(α+π4)的值;
(2)求f(u)的值.
16. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC, ∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将ΔADE沿直线DE翻折成ΔA′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.
(1)求证: BF∥平面A′DE;
(2)求证: EC⊥平面A′DE.
17. 某商场预计2011年1月份起前x个月,顾客对某种商品的需求总量p(x)(单位:件)与x的关系近似地满足p(x)=12x(x+1)(39－2x),x∈N且x≤12.该商品第x月的进货单价q(x)(单位:元)与x的近似关系是
q(x)=150+2x,x∈N且1≤x≤6,185－160x,x∈N且7≤x≤12.
(1)写出今年第x月需求量f(x)件与x的函数关系式;
(2)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满足市场需要,试问商场2011年第几月份销售该商品的月利润最大,最大月利润为多少元?
18. 已知m∈R,直线l:mx－(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2－8x+4y+16=0.
(1)若m≠0,直线l经过离心率为32,中心在原点的椭圆的两个顶点,求椭圆的标准方程;
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段弧?请说明理由.
19. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{Sn}是公差为d的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式(用n,d表示);
(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立,
求证: c的最大值为92.
20. 已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m≠0).设函数f(x)=g(x)x
(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值；
(2) k(k∈R)如何取值时,函数y=f(x)－kx存在零点,并求出零点.
附加题
21. 选做题A.选修4-1:几何证明选讲
如图,AB为圆O的直径,BC切圆O于B,AC交圆O于P,PE切圆O于P，E在BC上.
求证: CE=BE.
B.选修4-2:矩阵与变换
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标伸长到原来的4倍的伸压变换.
(1)求矩阵M的特征值和相应的特征向量;
(2)求逆矩阵M－1以及双曲线x29－y216=1在M－1的作用下的新曲线的方程.
C.在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=2π3(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为x=2sinαy=－1+cos2α, (α为参数),求直线l与曲线C的交点的直角坐标.
D.已知x∈(0,π2),求函数y=133tanx+tanx的最小值及取所对应的tanx的值.
22. 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2)求点B到平面OCD的距离.
23. 用数学归纳法证明不等式: 1n+1n+1+1n+2+…+1n2>1(n>1且n∈N)
参考答案
正卷部分答案
一、填空题
1．{x|－1 2．1
3．13
4．sin(2x－π3)－7
5．30
6．5
7. (2)
8. 2
9. 90
10. 33
11. g(1) 12. ∪(－∞,1〗
13. 4:1
14.132
二、解答题
15. (1) cosα－sinα=225,cos(α+π4)=25,sin2α=－cos(π2+2α)=1－2cos2(α+π4)
=1725,u=10sin2αcos(α+π4)=10×172525=17;(2)因为f(7+x)=f(7－x),所以f(u)=f(17)=f(7+10)=f(7－10)=f(－3)=2011
16. 略
17. (1)当x=1时,f(1)=p(1)=37. 当2≤x≤12,且x∈N时,f(x)=p(x)－p(x－1)=
12x(x+1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x)=－3x2+40x,验证x=1符合f(x)=－3x2+40x,
x∈N且1≤x≤12.
(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为
g(x)=(－3x2+40x)(35－2x),x∈N且1≤x≤6,(－3x2+40x)•160x,x∈N且7≤x≤12,
=6x3－185x2+1400x,x∈N且1≤x≤6,－480x+6400,x∈N且7≤x≤12.
当1≤x≤6,且x∈N时,g′(x)=18x2－370x+1400,令g′(x)=0,得x=5,x=1409(舍)
当1≤x≤5时,g′(x)>0,当5 当7≤x≤12且x∈N时,g(x)=－480x+6400是减函数,当x=7时,g(x)max=g(7)=3040元.
综上,商场2011年第5月份的月利润最大,其值为3125元.
18. (1)当x=0,y=－4mm2+1;当y=0,x=4.
若椭圆焦点在x轴上,则a=4,又ca=32,故c=23,b=2,所以x216+y24=1,
若椭圆焦点在y轴上,则b=4,又ca=32,故a=8,c=43,所以y264+x216=1;
(2)不能.
k=kl=mm2+1∈12,12〗, 直线l可写成y=k(x－4),其中|k|≤12.圆心C(4,-2),r=2
d=21+k2≥45>1=r2,从而,若l与圆C相交,则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角
小于2π3,所以l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段弧.
19. (1)由题设知,Sn=S1+(n－1)d=a1+(n－1)d,当n≥2时,an=Sn－Sn－1=
(Sn－Sn－1)(Sn+Sn－1)=2da1－3d2+2d2n. 由2a2=a1+a3,得
2(2da1+d2)=a1+2da1+3d2,解得a1=d.故当n≥2,an=2nd2－d2,又
a1=d2,所以数列{an}的通项公式是an=2nd2－d2.
(2)由a1=d及Sn=a1+(n－1)d,得d>0,Sn=d2n2.于是,对满足题设的m,n,k,
m≠n,有Sm+Sn=(m2+n2)d2>(m+n)22d2=92d2k2=92Sk.
所以c的最大值cmax≥92. 另一方面,任取实数a>92,设 k为偶数,,令m=32k+1,
n=32k－1,则m,n,k符合条件,且Sm+Sn=d2(m2+n2)=d232k+1)2+(32k－1)2〗
=12d2(9k2+4).于是,只要9k2+4<2ak2,即当k>22a－9时,就有
Sm+Sn<12d2•2ak2=aSk. 所以满足条件的c≤92,从而cmax≤92.因此c的最大值为92.
20. （1）设g(x)=ax2+bx+c，则g′(x)=2ax+b；
又g′(x)的图像与直线y=2x平行∴2a=2 a=1
又g(x)在x=－1取极小值，－b2=－1，b=2.
∴g(－1)=a－b+c=1－2+c=m－1，c=m；
f(x)=g(x)x=x+mx+2，设P(xo,yo),
则|PQ|2=x20+(y0－2)2=x20+(x0+mx0)2=2x20+m2x20+2≥22m2+2.
∴22m2+2=4,m=±22；
（2）由y=f(x)－kx=(1－k)x+mx+2=0，
得(1－k)x2+2x+m=0 (*)
当k=1时，方程(*)有一解x=－m2，函数y=f(x)－kx有一零点x=－m2；
当k≠1时，方程(*)有二解Δ=4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－1m，
函数y=f(x)－kx有两个零点x=－2±4－4m(1－k)2(1－k)=1±1－m(1－k)k－1；若m<0，
k<1－1m，函数y=f(x)－kx有两个零点x=－2±4－4m(1－k)2(1－k)=1±1－m(1－k)k－1；
当k≠1时，方程(*)有一解Δ=4－4m(1－k)=0, k=1－1m, 函数y=f(x)－kx有一零点x=1k－1.
附加题部分答案
21. A 证明 因为EP,EB分别切圆O于P,B两点,所以EP=EB,又AB是直径,故PB⊥AC,从而∠C=90°－∠PBC=90°－∠BPE=∠EPC,所以EC=EP,于是EC=EB.
B (1)依条件得M=3 00 4〗,特征值λ1=3,λ2=4,对应的特征向量α1=10〗,α2=01〗;
(2)M－1=13 00 14〗,双曲线x29－y216=1在M－1的作用下的新曲线的方程为x2－y2=1.
C. 在直角坐标系中，l:x=－3，C:y=－12x2，可求得交点坐标为(0,0). (另一个点(－23,6)不合题意,舍去)
D.当x∈(0,π2)时,tanx>0,
y=133tanx+tanx=1333tanx+1333tanx+1333tanx+tanx
≥441333tanx3×tanx=43，当且仅当1333tanx=tanx，即tanx=13时，等号成立.
这时,ymin=43.
22. 作AP垂直CD于P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),
P(0,22,0),D(－22,22,0),O(0,0,2),M(0,0,1).
(1)设AB与CD所成的角为θ，因为AB=(1,0,0)，MD=(－22,22,－1)，所以cosθ=|AB•MD||AB|•|MD|=12,故θ=π3.
(2)OP=(0,22,－2),OD=(－22,22,－2),设平面OCD的一个法向量是n=(x,y,z)
则n•OP=22y－2z=0
n•OD=－22x+22y－2z=0，取z=2,得n=(0,4,2),又OB=(1,0,－2),所以点B到平面OCD的距离d=|OB•n||n|=23.
23. (1)当n=2时,不等式左=1312>1,不等式成立;
(2)假设当n=k(k>1,k∈N)时,不等式成立,即1k+1k+1+1k+2+…+1k2>1,那么,当n=k+1时,因为k>1,所以
1k+1+1k+2+…+1k2+1k2+1+1k2+2+…+1(k+1)2>1－1k+1k2+1+…+1k2+2k+1>1－1k+1(k+1)2+1(k+1)2+…+1(k+1)2〗=1－1k+2k+1(k+1)2=1+k2－(k+1)k(k+1)2.
可见,当k>1时,k2－k－1>0成立,故当n=k+1时不等式也成立; 依据(1)(2)可知,当n>1且n∈N时不等式都成立.
1. 若集合A={x||x－1|<2},B={x|2x－13－x<0}.则A∩B=__________ .
2. 已知复数z=3－i(1+i)2,z是z的共轭复数,则z•z=__________ .
3. 在一个袋子中装有4张分别标有数字1,2,3,4的扑克牌.现从中随机取出两张,则取出的两张扑克牌上的数字之和是3的整数倍的概率是__________ .
4. 函数y=sin(2x+π6)－2的图像按向量a=(π4,－5)平移后所得图像的解析式为__________ .
5. 阅读下面的程序框图，则输出的S=__________ .
6. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2144－y2b2=1(b>0)的一条渐近线的距离为513,则b=__________ .
7. 设a,b是平面α内的两条不同直线;m,n是平面β内的两条相交直线,则下列条件中能作为α∥β的充分而不必要条件的是__________ .
(1)a∥β且m∥α；(2)a∥m且b∥n；
(3)a∥β且b∥β；(4)a∥β且b∥n.
8. 已知f(x)是R上的奇函数,且满足f(x－2)=－f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=x2－3,则f(11)=__________ .
9. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为,已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是__________ .
10. 已知数列{an}对于任意正整数r,s,都有ar+s－ar=as,且a1=13,则a99=__________ .
11. 若函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数,偶函数,且f(x)－g(x)=2x.则g(1),f(2),f(3)的大小关系是______________________________.
12. 设命题p:不等式(13)x+4>m>2x－x2(x∈R)恒成立;命题q:函数f(x)=－(7－2m)x是R上的减函数.若命题p或q为真命题,命题p且q为假命题,则实数m的取值范围是__________ .
13. 已知点O在ΔABC所在平面上,且AB=3OB－4OC,则△OAB与△OBC的面积之比为__________ .
14. 如图,已知D是面积为1的ΔABC的边AB的中点,E是边AC上任一点,连接DE,F是线段DE上一点,连接BF,设DFDE=λ1,AEAC=λ2,且λ1+λ2=12,则ΔBDF的面积的最大值是__________ .
二、解答题
15. 已知函数y=f(x)的图像关于直线x=7对称,且f(－3)=2011,cosα－sinα=225.
(1)求u=10sin2αcos(α+π4)的值;
(2)求f(u)的值.
16. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC, ∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将ΔADE沿直线DE翻折成ΔA′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.
(1)求证: BF∥平面A′DE;
(2)求证: EC⊥平面A′DE.
17. 某商场预计2011年1月份起前x个月,顾客对某种商品的需求总量p(x)(单位:件)与x的关系近似地满足p(x)=12x(x+1)(39－2x),x∈N且x≤12.该商品第x月的进货单价q(x)(单位:元)与x的近似关系是
q(x)=150+2x,x∈N且1≤x≤6,185－160x,x∈N且7≤x≤12.
(1)写出今年第x月需求量f(x)件与x的函数关系式;
(2)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满足市场需要,试问商场2011年第几月份销售该商品的月利润最大,最大月利润为多少元?
18. 已知m∈R,直线l:mx－(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2－8x+4y+16=0.
(1)若m≠0,直线l经过离心率为32,中心在原点的椭圆的两个顶点,求椭圆的标准方程;
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段弧?请说明理由.
19. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{Sn}是公差为d的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式(用n,d表示);
(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立,
求证: c的最大值为92.
20. 已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m≠0).设函数f(x)=g(x)x
(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值；
(2) k(k∈R)如何取值时,函数y=f(x)－kx存在零点,并求出零点.
附加题
21. 选做题A.选修4-1:几何证明选讲
如图,AB为圆O的直径,BC切圆O于B,AC交圆O于P,PE切圆O于P，E在BC上.
求证: CE=BE.
B.选修4-2:矩阵与变换
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标伸长到原来的4倍的伸压变换.
(1)求矩阵M的特征值和相应的特征向量;
(2)求逆矩阵M－1以及双曲线x29－y216=1在M－1的作用下的新曲线的方程.
C.在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=2π3(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为x=2sinαy=－1+cos2α, (α为参数),求直线l与曲线C的交点的直角坐标.
D.已知x∈(0,π2),求函数y=133tanx+tanx的最小值及取所对应的tanx的值.
22. 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2)求点B到平面OCD的距离.
23. 用数学归纳法证明不等式: 1n+1n+1+1n+2+…+1n2>1(n>1且n∈N)
参考答案
正卷部分答案
一、填空题
1．{x|－1
3．13
4．sin(2x－π3)－7
5．30
6．5
7. (2)
8. 2
9. 90
10. 33
11. g(1)
13. 4:1
14.132
二、解答题
15. (1) cosα－sinα=225,cos(α+π4)=25,sin2α=－cos(π2+2α)=1－2cos2(α+π4)
=1725,u=10sin2αcos(α+π4)=10×172525=17;(2)因为f(7+x)=f(7－x),所以f(u)=f(17)=f(7+10)=f(7－10)=f(－3)=2011
16. 略
17. (1)当x=1时,f(1)=p(1)=37. 当2≤x≤12,且x∈N时,f(x)=p(x)－p(x－1)=
12x(x+1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x)=－3x2+40x,验证x=1符合f(x)=－3x2+40x,
x∈N且1≤x≤12.
(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为
g(x)=(－3x2+40x)(35－2x),x∈N且1≤x≤6,(－3x2+40x)•160x,x∈N且7≤x≤12,
=6x3－185x2+1400x,x∈N且1≤x≤6,－480x+6400,x∈N且7≤x≤12.
当1≤x≤6,且x∈N时,g′(x)=18x2－370x+1400,令g′(x)=0,得x=5,x=1409(舍)
当1≤x≤5时,g′(x)>0,当5
综上,商场2011年第5月份的月利润最大,其值为3125元.
18. (1)当x=0,y=－4mm2+1;当y=0,x=4.
若椭圆焦点在x轴上,则a=4,又ca=32,故c=23,b=2,所以x216+y24=1,
若椭圆焦点在y轴上,则b=4,又ca=32,故a=8,c=43,所以y264+x216=1;
(2)不能.
k=kl=mm2+1∈12,12〗, 直线l可写成y=k(x－4),其中|k|≤12.圆心C(4,-2),r=2
d=21+k2≥45>1=r2,从而,若l与圆C相交,则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角
小于2π3,所以l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段弧.
19. (1)由题设知,Sn=S1+(n－1)d=a1+(n－1)d,当n≥2时,an=Sn－Sn－1=
(Sn－Sn－1)(Sn+Sn－1)=2da1－3d2+2d2n. 由2a2=a1+a3,得
2(2da1+d2)=a1+2da1+3d2,解得a1=d.故当n≥2,an=2nd2－d2,又
a1=d2,所以数列{an}的通项公式是an=2nd2－d2.
(2)由a1=d及Sn=a1+(n－1)d,得d>0,Sn=d2n2.于是,对满足题设的m,n,k,
m≠n,有Sm+Sn=(m2+n2)d2>(m+n)22d2=92d2k2=92Sk.
所以c的最大值cmax≥92. 另一方面,任取实数a>92,设 k为偶数,,令m=32k+1,
n=32k－1,则m,n,k符合条件,且Sm+Sn=d2(m2+n2)=d232k+1)2+(32k－1)2〗
=12d2(9k2+4).于是,只要9k2+4<2ak2,即当k>22a－9时,就有
Sm+Sn<12d2•2ak2=aSk. 所以满足条件的c≤92,从而cmax≤92.因此c的最大值为92.
20. （1）设g(x)=ax2+bx+c，则g′(x)=2ax+b；
又g′(x)的图像与直线y=2x平行∴2a=2 a=1
又g(x)在x=－1取极小值，－b2=－1，b=2.
∴g(－1)=a－b+c=1－2+c=m－1，c=m；
f(x)=g(x)x=x+mx+2，设P(xo,yo),
则|PQ|2=x20+(y0－2)2=x20+(x0+mx0)2=2x20+m2x20+2≥22m2+2.
∴22m2+2=4,m=±22；
（2）由y=f(x)－kx=(1－k)x+mx+2=0，
得(1－k)x2+2x+m=0 (*)
当k=1时，方程(*)有一解x=－m2，函数y=f(x)－kx有一零点x=－m2；
当k≠1时，方程(*)有二解Δ=4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－1m，
函数y=f(x)－kx有两个零点x=－2±4－4m(1－k)2(1－k)=1±1－m(1－k)k－1；若m<0，
k<1－1m，函数y=f(x)－kx有两个零点x=－2±4－4m(1－k)2(1－k)=1±1－m(1－k)k－1；
当k≠1时，方程(*)有一解Δ=4－4m(1－k)=0, k=1－1m, 函数y=f(x)－kx有一零点x=1k－1.
附加题部分答案
21. A 证明 因为EP,EB分别切圆O于P,B两点,所以EP=EB,又AB是直径,故PB⊥AC,从而∠C=90°－∠PBC=90°－∠BPE=∠EPC,所以EC=EP,于是EC=EB.
B (1)依条件得M=3 00 4〗,特征值λ1=3,λ2=4,对应的特征向量α1=10〗,α2=01〗;
(2)M－1=13 00 14〗,双曲线x29－y216=1在M－1的作用下的新曲线的方程为x2－y2=1.
C. 在直角坐标系中，l:x=－3，C:y=－12x2，可求得交点坐标为(0,0). (另一个点(－23,6)不合题意,舍去)
D.当x∈(0,π2)时,tanx>0,
y=133tanx+tanx=1333tanx+1333tanx+1333tanx+tanx
≥441333tanx3×tanx=43，当且仅当1333tanx=tanx，即tanx=13时，等号成立.
这时,ymin=43.
22. 作AP垂直CD于P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),
P(0,22,0),D(－22,22,0),O(0,0,2),M(0,0,1).
(1)设AB与CD所成的角为θ，因为AB=(1,0,0)，MD=(－22,22,－1)，所以cosθ=|AB•MD||AB|•|MD|=12,故θ=π3.
(2)OP=(0,22,－2),OD=(－22,22,－2),设平面OCD的一个法向量是n=(x,y,z)
则n•OP=22y－2z=0
n•OD=－22x+22y－2z=0，取z=2,得n=(0,4,2),又OB=(1,0,－2),所以点B到平面OCD的距离d=|OB•n||n|=23.
23. (1)当n=2时,不等式左=1312>1,不等式成立;
(2)假设当n=k(k>1,k∈N)时,不等式成立,即1k+1k+1+1k+2+…+1k2>1,那么,当n=k+1时,因为k>1,所以
1k+1+1k+2+…+1k2+1k2+1+1k2+2+…+1(k+1)2>1－1k+1k2+1+…+1k2+2k+1>1－1k+1(k+1)2+1(k+1)2+…+1(k+1)2〗=1－1k+2k+1(k+1)2=1+k2－(k+1)k(k+1)2.
可见,当k>1时,k2－k－1>0成立,故当n=k+1时不等式也成立; 依据(1)(2)可知,当n>1且n∈N时不等式都成立.