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（2010年山东卷）已知函数f(x)=lnx－ax+1－ax－1，a∈R．(Ⅰ)当a≤12时讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=x2－2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．
解：(Ⅰ) 略．
(Ⅱ) f(x)=lnx－ax+1－ax－1的定义域(0,+∞)，
f′(x)=1x－a－1－ax2=－ax2+x+a－1x2，当a=14时，
f′(x)=－14x2+x－34x2=－(x－1)(x－3)4x2
显然f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)单调递增，f(x)min=f(1)=－12，
对任意x1∈(0,2)，存在x2∈，使f(x1)≥g(x2)，
即f(x)min≥g(x)min，∴g(x)min≤－12，x2－2bx+4≤－12，2bx≥x2+92，即2b≥x+92x，令h(x)=x+92x，对勾函数h(x)在单调递减，h(x)max=h(1)=112，∴2b≥112，即b≥114∴b的取值范围是114,+∞)．
单变量与双变量的不等式恒成立与能成立、存在与任意，一直是学生学习的困惑，是教师教学的盲点，也是历年高考的亮点，下面就此问题总结如下．
1．单变量的恒成立、有解、无解．
（1）对任意的x∈，a>f(x)恒成立a≥f(x)max；
若存在x∈，a>f(x)有解a>f(x)min；
若对任意x∈，a>f(x)无解a≤f(x)min．
（2）对任意的x∈，a 若存在x∈，a 若对任意x∈，a 2．双变量的恒成立、有解、无解．
（1）对任意的x∈，不等式f(x)>g(x)恒成立，只须min>0；
（2）存在x0∈，不等式f(x0)>g(x0)成立，只须max>0；
（3）对任意x1∈、x2∈，不等式f(x1)>g(x2)恒成立，只须f(x)min>g(x)max；
（4）存在x1∈、x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，即f(x)max>g(x)min；
（5）对任意x1∈，存在x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，即f(x)min>g(x)min；
练习：设函数f(x)=p(x－1x）－2lnx，g(x)=2px（p是实数，e是自然对数的底数）．
（1）若对任意x∈，不等式f(x)>g(x)恒成立，求p的取值范围；
（2）若存在x0∈，不等式f(x0)>g(x0)成立，求p的取值范围；
（3）若p>1，且对任意x1∈，x2∈，不等式f(x1)>g(x2)恒成立，求p的取值范围；
（4）若p>1，且存在x1∈，x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，求p的取值范围；
（5）若p>1，且对任意x1∈，存在x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，求p的取值范围；
解：（1）由已知不等式f(x)－g(x)=p(x－1x)－2lnx－2ex>0对x∈恒成立，即p>2xlnx+2ex2－1对x∈恒成立，构造函数h(x)=2xlnx+2ex2－1，当x∈，求h(x)的最大值，
∵h′(x)=－2（1+x2)lnx－2x(2e－x)－2(x2－1)2<0，∴h(x)在x∈上是减函数，h(x)max=h(2)=4ln2+2e3，∴p>4ln2+2e3．
（2）若存在x0∈，不等式f(x0)>g(x0)成立，即p>2xlnx+2ex2－1在x∈有解，令h(x)=2xlnx+2ex2－1，∴p>h(x)min，由（1）知h(x)在x∈上是减函数，
∴h(x)min=h(e)=4ee2－1，∴p>4ee2－1．
（3）若p>1，且对任意x1∈，x2∈，不等式f(x1)>g(x2)恒成立，只须f(x)min>g(x)max，f′(x)=p+px2－2x>0，f(x)在上单调递增，g′(x)=－2ex2<0，
g(x)在上单调递减，∴f(2)>g(2)，解得p>4ln2+2e3 ．
（4）若p>1，且存在x1∈，x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，即f(x)max>g(x)min，由（3）知f(e)>g(e)， ∴p>4ee2－1．
（5）若p>1，且对任意x1∈，存在x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，即f(x)min>g(x)min，由（3）知f(2)>g(e)，∴p>4ln2+43．
解：(Ⅰ) 略．
(Ⅱ) f(x)=lnx－ax+1－ax－1的定义域(0,+∞)，
f′(x)=1x－a－1－ax2=－ax2+x+a－1x2，当a=14时，
f′(x)=－14x2+x－34x2=－(x－1)(x－3)4x2
显然f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)单调递增，f(x)min=f(1)=－12，
对任意x1∈(0,2)，存在x2∈，使f(x1)≥g(x2)，
即f(x)min≥g(x)min，∴g(x)min≤－12，x2－2bx+4≤－12，2bx≥x2+92，即2b≥x+92x，令h(x)=x+92x，对勾函数h(x)在单调递减，h(x)max=h(1)=112，∴2b≥112，即b≥114∴b的取值范围是114,+∞)．
单变量与双变量的不等式恒成立与能成立、存在与任意，一直是学生学习的困惑，是教师教学的盲点，也是历年高考的亮点，下面就此问题总结如下．
1．单变量的恒成立、有解、无解．
（1）对任意的x∈，a>f(x)恒成立a≥f(x)max；
若存在x∈，a>f(x)有解a>f(x)min；
若对任意x∈，a>f(x)无解a≤f(x)min．
（2）对任意的x∈，a
（1）对任意的x∈，不等式f(x)>g(x)恒成立，只须min>0；
（2）存在x0∈，不等式f(x0)>g(x0)成立，只须max>0；
（3）对任意x1∈、x2∈，不等式f(x1)>g(x2)恒成立，只须f(x)min>g(x)max；
（4）存在x1∈、x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，即f(x)max>g(x)min；
（5）对任意x1∈，存在x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，即f(x)min>g(x)min；
练习：设函数f(x)=p(x－1x）－2lnx，g(x)=2px（p是实数，e是自然对数的底数）．
（1）若对任意x∈，不等式f(x)>g(x)恒成立，求p的取值范围；
（2）若存在x0∈，不等式f(x0)>g(x0)成立，求p的取值范围；
（3）若p>1，且对任意x1∈，x2∈，不等式f(x1)>g(x2)恒成立，求p的取值范围；
（4）若p>1，且存在x1∈，x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，求p的取值范围；
（5）若p>1，且对任意x1∈，存在x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，求p的取值范围；
解：（1）由已知不等式f(x)－g(x)=p(x－1x)－2lnx－2ex>0对x∈恒成立，即p>2xlnx+2ex2－1对x∈恒成立，构造函数h(x)=2xlnx+2ex2－1，当x∈，求h(x)的最大值，
∵h′(x)=－2（1+x2)lnx－2x(2e－x)－2(x2－1)2<0，∴h(x)在x∈上是减函数，h(x)max=h(2)=4ln2+2e3，∴p>4ln2+2e3．
（2）若存在x0∈，不等式f(x0)>g(x0)成立，即p>2xlnx+2ex2－1在x∈有解，令h(x)=2xlnx+2ex2－1，∴p>h(x)min，由（1）知h(x)在x∈上是减函数，
∴h(x)min=h(e)=4ee2－1，∴p>4ee2－1．
（3）若p>1，且对任意x1∈，x2∈，不等式f(x1)>g(x2)恒成立，只须f(x)min>g(x)max，f′(x)=p+px2－2x>0，f(x)在上单调递增，g′(x)=－2ex2<0，
g(x)在上单调递减，∴f(2)>g(2)，解得p>4ln2+2e3 ．
（4）若p>1，且存在x1∈，x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，即f(x)max>g(x)min，由（3）知f(e)>g(e)， ∴p>4ee2－1．
（5）若p>1，且对任意x1∈，存在x2∈，不等式f(x1)>g(x2)成立，即f(x)min>g(x)min，由（3）知f(2)>g(e)，∴p>4ln2+43．