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应用题是高考数学考查的重要内容，也是同学们失分较多的一种题型.高考应用题既考查同学们分析问题、解决问题的能力，又考查同学们对已学知识灵活运用的情况.所以在平时学习中，我们要注重分析应用题解决的办法，培养解题能力.其实，解决应用题的关键是深刻理解题意，学会文字语言向数学符号语言的翻译转化，找到数量关系，建立恰当的数学模型.
应用题解题的一般步骤分为四步，即审题、建模、求解、评价.
审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、分析、综合等.通过审题，抓住关键点，弄清问题的变换过程，找出主要关系.
建模：在理解题意的基础上，将题中的非数学语言转化为数学语言，建立数学模型，将文字语言转化为数学符号语言，建立数学关系式.
求解：选用适当的数学知识和方法对数学模型进行分析、化归，使问题得到解决.
评价：应用问题既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对解出的结果要进行验证或评估.
近年来高考数学应用题模型，主要有以下一些类型：函数模型、三角模型、数列模型等.本文就这几种常见模型进行剖析，给同学们以参考.
一、函数模型
函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
例1（2012年高考江苏卷17）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1+k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx-120（1+k2）x2（k>0）与x轴交点的横坐标，求出后应用基本不等式求解.
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.
解析：在y=kx-120（1+k2）x2（k>0）中，令y=0，得kx-120（1+k2）x2=0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
∴x=20k1+k2=201k+k≤10，当且仅当k=1时取等号.
∴炮的最大射程是10千米.
（2）∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka-120（1+k2）a2=3.2成立，
即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根.
由Δ=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6.
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.
点评：本题主要考查函数、方程和基本不等式等知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力.
例2（2011年高考江苏卷17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
分析：（1）包装盒的侧面积就是四个全等的矩形的面积之和，其长（即包装盒的底面边长）为2x，宽（即包装盒的高）为60-2x2，这样包装盒的侧面积S就用x表示出来了，是关于x的一元二次函数（注：要根据x的实际意义求出其取值范围）.
（包装盒的体积V=a2h=22（-x3+30x2），只需求导就能解决问题.
解析：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得
a=2x，h=60-2x2=2（30-x），0 S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800，所以当x=15时，S取得最大值.
（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x（20-x），
由V′=0得x=0（舍）或x=20.当x∈（0，20）时，V′>0；当x∈（20，30）时，V′<0.
所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值.
此时ha=12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
点评：本小题主要考查函数的概念与性质、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.
二、三角函数模型
三角函数是中学数学的重要内容之一，三角函数与我们日常生活和生产实践密切相关，常见问题有以下几种模式：在建筑学方面的应用，在测量方面的应用，在气象学中的应用，在天文学方面的应用.
例3（2010年高考江苏卷17）某兴趣小组测量电视塔AH的高度H（单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4cm，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？
分析：（1）在直角三角形中利用三角函数的定义，求出H的值.（2）求出α-β的正切值，利用基本不等式解决问题. 解析：（1）由AB=Htanα，BD=htanβ，AD=Htanβ及AB+BD=AD，得Htanα+htanβ=Htanβ，
解得：H=htanαtanα-tanβ=4×1.241.24-1.20=124.
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
（2）由题设知d=AB，得tanα=Hd，
由AB=AD-BD=Htanβ-htanβ，得tanβ=H-hd，
所以tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=hd+H（H-h）d≤h2H（H-h），
当且仅当d=H（H-h）d，
即d=H（H-h）=125×（125-4）=555时，上式取等号，
所以当d=555时，tan（α-β）最大.
因为0<β<α<π2，则0<α-β<π2，所以当d=555时，α-β最大.
故所求的d是555m.
点评：本小题主要考查解三角形、两角差的正切、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.
例4（2013年高考江苏卷18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=1213，cosC=35.
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
分析：（1）利用正弦定理求出索道AB的长.
（2）利用余弦定理求出PQ的长，再利用二次函数性质，求出PQ最小值.
（3）先求出甲所用的时间，再利用相互等待不超过3分钟，求出乙所用时间的范围，从而求出乙步行的速度范围.
解析：（1）在△ABC中，cosA=1213，cosC=35，
∴sinA=513，sinC=45，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=6365，∵ABsinC=ACsinB，∴5AB4=65×126063，
∴AB=1040.答：索道AB的长为1040m.
（2）设乙出发tmin到点P，则甲出发（t+2）min到点Q，
AP=130t，AQ=50（t+2），在△APQ中，
PQ2=AP2+AQ2-2APAQcosA=（130t）2+502（t+2）2-2×130t×50（t+2）×1213，
∴PQ2=100[（13t）2+52（t+2）2-120t（t+2）]=100[169t2+25（t+2）2-120（t2+2t）]，
∴PQ2=100（74t2-140t+100），当且仅当t=3537min时，PQ最小.
答：乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短.
（3）甲走完长为1260m的山路AC，共需126050=25.2分钟，设乙总用时为tmin，乙步行的速度为vm/min，则22.2≤t≤28.2，由题t=2+1040130+1+BCv，
在△ABC中，由正弦定理求得BC=500，
∴t=11+500v∈[22.2，28.2]，∴500v∈[11.2，17.2]，∴v500∈[117.2，111.2]，∴v∈[50017.2，50011.2]，∴v∈[29343，44914].
答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制29343m/min到44914m/min内.
点评：着重考查了同角三角函数的基本关系、正余弦定理解三角形和解三角形的实际应用等知识，本节主要帮助同学们深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
三、数列模型
数列模型主要在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题.
例5某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整顿，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14.
（1）设n个月内的总投入为an万元，总收入为bn万元，写出an，bn；
（2）问经过几个月后商场开始扭亏为盈.
分析：（1）根据计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15，可知投入组成以80为首项，45为公比的等比数列；第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14，可知收入组成以40为首项，54为公比的等比数列，从而可求；
（2）根据（1）中的数列，可得bn>an，从而可解.
解析：（1）由题意得：
an=80+80×（45）+80×（45）2+…+80×（45）n-1=80×1-（45）n-11-45=400×[1-（45）n-1]，
bn=40+40×（54）+40×（54）2+…+40×（54）n-1=40×1-（54）n-11-54=160×[（54）n-1-1].
（2）由题意：bn>an，即400×[1-（45）n-1]<160×[（54）n-1-1]，
令（54）n-1=t，t≥1，上式等价于2（t-1）>5（1-1t），
解得t>52或t<1（舍），即（54）n-1>52，（n-1）lg54>lg52，n-1>lg52lg54，n>5.
故经过6个月后商场开始扭亏为盈.
点评：本题以实际问题为载体，考查等比数列，等比数列的求和公式，解不等式，有一定的综合性.
总之，在高考试题中，好题不胜枚举，俯拾皆是，它们像一颗颗璀璨的珍珠在数学题海中闪闪发光.江苏省近年来高考数学应用题以函数模型和三角模型为主要考查内容，试题来源于生活，服务于生活；源于教材，高于教材又有所创新，体现了数学学以致用的宗旨.对于未来高考中的应用题，我们应该立足于已学知识，平时重视对应用题的分析与归纳，这样才能在高考中做到迁移应用、游刃有余.
（作者：贾学如，江苏省江安高级中学）
应用题解题的一般步骤分为四步，即审题、建模、求解、评价.
审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、分析、综合等.通过审题，抓住关键点，弄清问题的变换过程，找出主要关系.
建模：在理解题意的基础上，将题中的非数学语言转化为数学语言，建立数学模型，将文字语言转化为数学符号语言，建立数学关系式.
求解：选用适当的数学知识和方法对数学模型进行分析、化归，使问题得到解决.
评价：应用问题既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对解出的结果要进行验证或评估.
近年来高考数学应用题模型，主要有以下一些类型：函数模型、三角模型、数列模型等.本文就这几种常见模型进行剖析，给同学们以参考.
一、函数模型
函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
例1（2012年高考江苏卷17）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1+k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx-120（1+k2）x2（k>0）与x轴交点的横坐标，求出后应用基本不等式求解.
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.
解析：在y=kx-120（1+k2）x2（k>0）中，令y=0，得kx-120（1+k2）x2=0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
∴x=20k1+k2=201k+k≤10，当且仅当k=1时取等号.
∴炮的最大射程是10千米.
（2）∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka-120（1+k2）a2=3.2成立，
即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根.
由Δ=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6.
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.
点评：本题主要考查函数、方程和基本不等式等知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力.
例2（2011年高考江苏卷17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
分析：（1）包装盒的侧面积就是四个全等的矩形的面积之和，其长（即包装盒的底面边长）为2x，宽（即包装盒的高）为60-2x2，这样包装盒的侧面积S就用x表示出来了，是关于x的一元二次函数（注：要根据x的实际意义求出其取值范围）.
（包装盒的体积V=a2h=22（-x3+30x2），只需求导就能解决问题.
解析：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得
a=2x，h=60-2x2=2（30-x），0
（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x（20-x），
由V′=0得x=0（舍）或x=20.当x∈（0，20）时，V′>0；当x∈（20，30）时，V′<0.
所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值.
此时ha=12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
点评：本小题主要考查函数的概念与性质、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.
二、三角函数模型
三角函数是中学数学的重要内容之一，三角函数与我们日常生活和生产实践密切相关，常见问题有以下几种模式：在建筑学方面的应用，在测量方面的应用，在气象学中的应用，在天文学方面的应用.
例3（2010年高考江苏卷17）某兴趣小组测量电视塔AH的高度H（单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4cm，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？
分析：（1）在直角三角形中利用三角函数的定义，求出H的值.（2）求出α-β的正切值，利用基本不等式解决问题. 解析：（1）由AB=Htanα，BD=htanβ，AD=Htanβ及AB+BD=AD，得Htanα+htanβ=Htanβ，
解得：H=htanαtanα-tanβ=4×1.241.24-1.20=124.
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
（2）由题设知d=AB，得tanα=Hd，
由AB=AD-BD=Htanβ-htanβ，得tanβ=H-hd，
所以tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=hd+H（H-h）d≤h2H（H-h），
当且仅当d=H（H-h）d，
即d=H（H-h）=125×（125-4）=555时，上式取等号，
所以当d=555时，tan（α-β）最大.
因为0<β<α<π2，则0<α-β<π2，所以当d=555时，α-β最大.
故所求的d是555m.
点评：本小题主要考查解三角形、两角差的正切、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.
例4（2013年高考江苏卷18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=1213，cosC=35.
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
分析：（1）利用正弦定理求出索道AB的长.
（2）利用余弦定理求出PQ的长，再利用二次函数性质，求出PQ最小值.
（3）先求出甲所用的时间，再利用相互等待不超过3分钟，求出乙所用时间的范围，从而求出乙步行的速度范围.
解析：（1）在△ABC中，cosA=1213，cosC=35，
∴sinA=513，sinC=45，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=6365，∵ABsinC=ACsinB，∴5AB4=65×126063，
∴AB=1040.答：索道AB的长为1040m.
（2）设乙出发tmin到点P，则甲出发（t+2）min到点Q，
AP=130t，AQ=50（t+2），在△APQ中，
PQ2=AP2+AQ2-2APAQcosA=（130t）2+502（t+2）2-2×130t×50（t+2）×1213，
∴PQ2=100[（13t）2+52（t+2）2-120t（t+2）]=100[169t2+25（t+2）2-120（t2+2t）]，
∴PQ2=100（74t2-140t+100），当且仅当t=3537min时，PQ最小.
答：乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短.
（3）甲走完长为1260m的山路AC，共需126050=25.2分钟，设乙总用时为tmin，乙步行的速度为vm/min，则22.2≤t≤28.2，由题t=2+1040130+1+BCv，
在△ABC中，由正弦定理求得BC=500，
∴t=11+500v∈[22.2，28.2]，∴500v∈[11.2，17.2]，∴v500∈[117.2，111.2]，∴v∈[50017.2，50011.2]，∴v∈[29343，44914].
答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制29343m/min到44914m/min内.
点评：着重考查了同角三角函数的基本关系、正余弦定理解三角形和解三角形的实际应用等知识，本节主要帮助同学们深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
三、数列模型
数列模型主要在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题.
例5某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整顿，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14.
（1）设n个月内的总投入为an万元，总收入为bn万元，写出an，bn；
（2）问经过几个月后商场开始扭亏为盈.
分析：（1）根据计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15，可知投入组成以80为首项，45为公比的等比数列；第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14，可知收入组成以40为首项，54为公比的等比数列，从而可求；
（2）根据（1）中的数列，可得bn>an，从而可解.
解析：（1）由题意得：
an=80+80×（45）+80×（45）2+…+80×（45）n-1=80×1-（45）n-11-45=400×[1-（45）n-1]，
bn=40+40×（54）+40×（54）2+…+40×（54）n-1=40×1-（54）n-11-54=160×[（54）n-1-1].
（2）由题意：bn>an，即400×[1-（45）n-1]<160×[（54）n-1-1]，
令（54）n-1=t，t≥1，上式等价于2（t-1）>5（1-1t），
解得t>52或t<1（舍），即（54）n-1>52，（n-1）lg54>lg52，n-1>lg52lg54，n>5.
故经过6个月后商场开始扭亏为盈.
点评：本题以实际问题为载体，考查等比数列，等比数列的求和公式，解不等式，有一定的综合性.
总之，在高考试题中，好题不胜枚举，俯拾皆是，它们像一颗颗璀璨的珍珠在数学题海中闪闪发光.江苏省近年来高考数学应用题以函数模型和三角模型为主要考查内容，试题来源于生活，服务于生活；源于教材，高于教材又有所创新，体现了数学学以致用的宗旨.对于未来高考中的应用题，我们应该立足于已学知识，平时重视对应用题的分析与归纳，这样才能在高考中做到迁移应用、游刃有余.
（作者：贾学如，江苏省江安高级中学）