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[摘要]近年来我国铁路集装箱运输发展迅速，但是由于白然资源分布差异以及地区发展不平衡等原凶，导致我国集装箱运输中空箱调运较为频繁，铁路运营企业蒙受巨大损失。凶此如何制定合理的定价策略以及优化空箱调运方案来提高运营企业整体收益成为亟需解决的问题。以铁路运营企业效益最大化为目标，建立基于空重箱调配的铁路集装箱循环班列定价模型，并采用分支定界法编程求解，最后在算例分析中，以广铁管局内集装箱车站为例进行定价和调运优化，结果验证了模型的可行性。
[关键词]铁路集装箱；空重箱凋配；效益最大化；分支定界法
[中图分类号]F224.0；U292.92+6 [文献标识码]A [文章编号]1005-152X（2018）01-0082-05
1 引言
近些年铁路集装箱运输作为我国铁路货运的重要组成部分，得到了越来越广泛的运用，发展较为迅速。但是由于我国各地区的资源分布与经济发展不平衡，各地区对于不同货物的需求有着很大的差异，而这一点体现在铁路集装箱运输中，就是箱流不平衡，即市场货运需求与空箱资源不匹配。据统计，世界上集装箱的空箱调运量占集装箱运输总量的200%以上，在空箱调运费用方面，早已超过300亿美元，而我国的铁路集装箱空箱调运量和空箱调运费用的比重更高。因此，从源头上對箱流进行平衡对优化铁路集装箱空箱调运显得尤为重要。本文将运用价格杠杆对货源结构进行调整，以低运价鼓励空箱剩余的地区将集装箱运输出来，利用供需关系，平衡两地间的货运需求，使铁路运输企业效益达到最大。
2 研究背景
白20世纪初集装箱开始发展以来，空箱调运问题也随之产生，而空箱调运的效率直接影响到集装箱的周转效率以及货物的正常运输，人们也就发现并了解到空箱调运对于集装箱运输的重要性。随着国际贸易的快速发展，地区之间的经济交流越发频繁，空箱调运对集装箱运输愈发显得重要，因此，众多国内外学者与专家越来越重视研究空箱调运相关问题。
针对空箱调运这一问题，国外学者相比国内研究较早且研究范围较广，大多数是采用定量的研究方法，即在确定空箱调运优化目标后建立相关模型，并对模型进行分析求解。其中最早的是W.W.White和A.M.Bomberault，他们于1969年提出了铁路集装箱空箱调运优化模型，根据该优化模型，设计了诱导式网络流算法，并给出相应的算例分析。该模型虽然很直观，但不足之处是模型较简单、计算规模不大，仅适用于不太复杂的铁路集装箱空箱调运，并且该模型也没有考虑到线路的能力限制。当前，在地区间经济交往日益频繁的环境下，集装箱货物运输越来越频繁，该模型已无法满足现在的集装箱需求问题。
Moon等考虑空箱租赁和购买，建立了港口之间空箱调运优化的混合整数规划模型，实现空箱运输、处理及库存成本之和最小化。Dang等针对具有多个场站的一个港口区域中的空箱调运问题，考虑单位时间内场站空箱需求存在相关关系，建立3种策略下（从其他港口调运空箱、从内陆场站调运空箱、租箱）的空箱调运模型。王斌等运用线性规划方法，建立了海上空箱调运优化模型，以调运费用、装卸箱费用和租箱费用最小为目标，同时考虑了客户需求、供给和运输能力的约束。汪传旭等针对海上集装箱运输网络，在满足空箱物流成本最小化的前提下，提出空箱调运和库存组织问题的混合整数线性规划问题，通过推导对模型简化处理，并应用具体算例进行分析，结果验证了模型的有效性和实用性。
在实际运营中，存在很多随机因素影响集装箱空箱调运问题，例如运输时间、空箱需求量、空箱供给量等，因此一些学者建立了基于随机条件或满足多目标条件下的空箱调运模型。Cao等考虑铁路集装箱运输系统，在集装箱空箱需求随机的情况下，建立了空箱调运优化模型，实现总利润最大化。施亚萍、陈兵分析了铁路集装箱空箱调运所存在的问题，并以运输成本最小和托运人满意度最大为优化目标，建立了铁路集装箱空箱调运最优化模型，运用线性双层规划理论求解，通过具体实例验证该模型的优化效果。段刚等考虑技术站改编时间和运输走行时间对空箱需求站时间窗的影响，以空箱调运过程中产生的各种费用最小为目标，建立空箱调运整数规划模型。刘爽阳、廖丽平按照客户价值将空箱分成不同的优先级，综合考虑客户价值和空箱调运成本，建立了基于“价值一成本”策略的铁路空箱调运模型，以求达到二者整体最优，并通过数值算例验证了该模型的可行性。陈小红根据现有的单一空箱调运模型，建立了重箱协调下的单一空箱调运模型，目标是为了使铁路运输效益最大化，并设计双决策变量遗传算法，运用算例来验证模型的正确性。
上述研究大多数是以空箱调运成本最小化为目标单纯优化空箱调运方案，很少有学者将集装箱重箱与空箱协调优化，并以效益最大化为目标，在满足市场运输需求的基础上，探讨如何将积压的集装箱空箱调运到空箱资源不足的区域/站点。因此本文所优化的目标是，采用合理的价格策略，使铁路集装箱运输车站间箱流接近平衡，缓解空箱调运问题，从而实现铁路运营企业的效益最大化。
3 模型建立及求解
3.1 模型的参数与变量说明
3.1.1 模型基本假设。由于铁路集装箱运输的实际业务比较复杂，并且变动因素很多，会给实际分析带来很多困难，为了方便建立模型，首先对铁路集装箱运输系统进行以下优化假设：
（1）不考虑箱型的约束，所有集装箱均为同一型号（20TEU）；
（2）各站点间的重箱运输价格以及空箱调运成本等均为已知的；
（3）不考虑集装箱的修箱和废弃箱的问题，所有的集装箱均为可用的；
（4）铁路运营企业调运的空箱箱状符合托运人的要求。
3.1.2 模型参数与变量说明。为了更加清晰地进行模型参数描述，在本章模型中以表格的形式进行呈现，详细描述见表1。
3.2 基于空重箱调配的铁路集装箱定价模型 3.2.1 模型建立。基于空重箱调配的铁路集装箱定价模型可写成如下形式：
aij≥0，bn≥0且均为整数 （7）
式（1）为模型的优化目标，用集装箱重箱运输收入减去重箱运输成本和空箱调运成本来表示利润，以优化铁路运输企业的利润最大化为目标得出铁路重箱最优价格以及空重箱调配方案。式（2）为铁路重箱运输需求与运价之间的价格反应函数，采用线性函数表示；式（3）表示铁路重箱的价格区间，每个OD的重箱运输价格介于最低价格和最高价格之间；式（4）为供应站，的约束条件，对于供应站：，应满足空箱供给不小于空箱需求，即该站可向它站提供的空箱总数不小于本站的空箱需求量（发往它站的重箱量）加上运往需求站J（由供给站i所供应的需求站集合）的空集装箱量；式（5）为对空箱需求站.，的约束条件，也就是供应站i运往此站的空箱量加上运往该站的重箱量，应不小于本站的空箱需求量；式（6）为重箱发送量的约束条件，即优化后的计划重箱发送量应不大于该OD的集装箱货运需求；式（7）为非负约束及整数约束，即模型中的所有决策变量均大于等于零且为整数。
3.2.2 模型转化与求解。根据上一小节所建立的定价模型可知，该模型的目标函数为非线性的，而约束条件为线性的，其中存在三个决策变量：重箱运输价格、重箱运输量以及空箱调运量，重箱运输量及空箱运输量均需为非负整数，因此该模型为混合整数非线性规划（MINIP）模型。
由于约束条件中存在重箱运输价格与需求之間的线性关系，因此可将该等式约束放人目标函数中将模型的变量简化，简化过程如下所示：
由于本文模型是建立在供大于需的前提下，可将上述模型简化为：
该模型为非线性整数规划，决策变量为重箱运输量和空箱调运量，运用yalmip工具箱并调用gurobi求解器编程求其全局最优解，所采用的算法是分支定界法。
而非线性规划一分支定界法（ NIP-BB）包括了三个关键步骤：分支、节点选择和剪枝，分支主要是将可行域依次分割为越来越小的子集，剪枝就是当算法满足当前目标函数值大于当前最好上界时，或者当NLP子问题的解恰好是整数等情形，不再需要对当前节点进一步分支时所进行的操作。因此本文的模型求解具体过程如下：
Step1：节点选择。搜索分支定界树，选择某一节点，在此节点处求解该非线性子问题。如果此问题不可行，则删除该节点并重新搜索分支定界树；否则，设得到解（a，b）。
Step2：剪枝。如果在该点处的目标函数值大于当前的上界，则说明在这部分的可行域不包含最优解，则进行剪枝。
Step3：分支。主要对其中的整数约束变量例如a进行检验。若点a不满足整数约束条件，则设ai为小数，此时该问题分支成左右两个子节点，分别添加左分支约束ai≤[ai]和右分支ai≤[ai]+1约束；否则，如果a满足了整数约束条件，并且目标函数值小于当前的最优值，则更新上界，并且剪掉目标函数值大于当前上界的分支。
Step4：检查分支定界树是否为空。如果分支定界树是非空的，则返回第1步；否则，算法终止，并输出当前的最优解。
4 算例分析
本小节为验证模型的可行性以及优化结果，选取广铁管辖区内的7个大型集装箱办理站，其中I={1，2，3，4}，J={1，2，3），对提出的定价优化模型以及常用酌空箱调运方法进行算例分析，并对结果分析比较。铁路集装箱空重箱运输线路如图1所示。
4.1 基于空重箱调配的铁路集装箱定价模型结果分析
根据实际调研所获得的已有数据，各OD的重箱需求与运输价格之间呈负相关关系，即铁路集装箱重箱需求会随着运价的增加而降低直至为0，因此将二者的关系拟合成线性函数，并采用价格反应函数Aij=βij-αijPij来表示，根据实际数据确定出价格反应函数的参数，其中参数α和β的具体取值见表2。
以供应站1与需求站1之间的关系为例，其所运行出的结果如图2所示，铁路运输企业可通过这一关系，并根据自身的运能限制或运量要求，对铁路集装箱的运输价格进行适当调整以满足货主所需。
根据铁路局的定价方案可得到以下数据，包括：各OD的重箱运输价格、重箱运输成本、空箱调运成本，见表3和表4。
由于本文是在市场需求不确定的前提下对铁路集装箱运输中的空重箱进行协同优化，分别设定各空箱供应站所能供应的数量以及各空箱需求站所需求数量，具体见表5和表6。
根据上述实际调研所获得的相关成本等数据，并运用价格反应函数刻画重箱运输价格与市场运输需求之间的线性关系，采用本文模型并应用yalmip工具箱编程求解，可获得铁路运营企业效益最大化时的各OD的重箱运输价格以及相对应的重箱需求量，具体见表7。
根据表7中的数据可求得铁路运输企业的总收益为2 996 291兀。
4.2 空箱调运优化模型结果分析
本小节主要对现有的空箱调运优化模型进行简单介绍和算例分析，即单独优化空箱，目标函数为空箱调运成本最小化，模型如下：
其中式（10）表示所建立模型的目标为空箱调运成本最小化，式（11）表示对于空箱供应站i而言，运往它站的空箱应不大于其空箱供应量xi，式（12）表示对于空箱需求站j而言，运至该站的空箱应等于其需求总数xi，式（13）为非负约束和整数约束。
该模型为简单的整数规划，采用MATLA7.0编程求解，其中空箱调运成本、空箱供应以及需求量均在上一小节已知，因此求解可得各站点的空箱调运量，见表8。此时计算可知空箱调运的成本为659 070兀。两种优化方法的结果对比见表9。
经过比较可得，空重箱调配优化模型相比空箱调运优化模型，可通过适当的价格策略，将空箱需求站所需空箱转化成重箱进行运输，提高了运输收益的同时大大降低了空箱调运成本，该模型是可行的。
5 结语
本文首先介绍了空箱调运问题的相关研究背景，随后阐明了通过价格杠杆调节是从根本上缓解以至解决空箱调运问题的方法；其次提出了基于空重箱调配的铁路集装箱定价优化模型，并对价格反映函数以及其参数做出相关说明；最后以广铁管局内集装箱车站为例，对集装箱空重箱进行协同优化，通过价格策略，提高重箱运输需求量的同时减少空箱的调运量，从而提高铁路运营企业的效益。
但本文中的优化模型仅考虑了单一箱型集装箱、车站间的运输能力无限制等都与实际情况不符，因此如何突破这些限制为铁路集装箱运输制定合理的价格，使空重箱优化方案更符合实际，是我们下一步需要努力的方向。
[关键词]铁路集装箱；空重箱凋配；效益最大化；分支定界法
[中图分类号]F224.0；U292.92+6 [文献标识码]A [文章编号]1005-152X（2018）01-0082-05
1 引言
近些年铁路集装箱运输作为我国铁路货运的重要组成部分，得到了越来越广泛的运用，发展较为迅速。但是由于我国各地区的资源分布与经济发展不平衡，各地区对于不同货物的需求有着很大的差异，而这一点体现在铁路集装箱运输中，就是箱流不平衡，即市场货运需求与空箱资源不匹配。据统计，世界上集装箱的空箱调运量占集装箱运输总量的200%以上，在空箱调运费用方面，早已超过300亿美元，而我国的铁路集装箱空箱调运量和空箱调运费用的比重更高。因此，从源头上對箱流进行平衡对优化铁路集装箱空箱调运显得尤为重要。本文将运用价格杠杆对货源结构进行调整，以低运价鼓励空箱剩余的地区将集装箱运输出来，利用供需关系，平衡两地间的货运需求，使铁路运输企业效益达到最大。
2 研究背景
白20世纪初集装箱开始发展以来，空箱调运问题也随之产生，而空箱调运的效率直接影响到集装箱的周转效率以及货物的正常运输，人们也就发现并了解到空箱调运对于集装箱运输的重要性。随着国际贸易的快速发展，地区之间的经济交流越发频繁，空箱调运对集装箱运输愈发显得重要，因此，众多国内外学者与专家越来越重视研究空箱调运相关问题。
针对空箱调运这一问题，国外学者相比国内研究较早且研究范围较广，大多数是采用定量的研究方法，即在确定空箱调运优化目标后建立相关模型，并对模型进行分析求解。其中最早的是W.W.White和A.M.Bomberault，他们于1969年提出了铁路集装箱空箱调运优化模型，根据该优化模型，设计了诱导式网络流算法，并给出相应的算例分析。该模型虽然很直观，但不足之处是模型较简单、计算规模不大，仅适用于不太复杂的铁路集装箱空箱调运，并且该模型也没有考虑到线路的能力限制。当前，在地区间经济交往日益频繁的环境下，集装箱货物运输越来越频繁，该模型已无法满足现在的集装箱需求问题。
Moon等考虑空箱租赁和购买，建立了港口之间空箱调运优化的混合整数规划模型，实现空箱运输、处理及库存成本之和最小化。Dang等针对具有多个场站的一个港口区域中的空箱调运问题，考虑单位时间内场站空箱需求存在相关关系，建立3种策略下（从其他港口调运空箱、从内陆场站调运空箱、租箱）的空箱调运模型。王斌等运用线性规划方法，建立了海上空箱调运优化模型，以调运费用、装卸箱费用和租箱费用最小为目标，同时考虑了客户需求、供给和运输能力的约束。汪传旭等针对海上集装箱运输网络，在满足空箱物流成本最小化的前提下，提出空箱调运和库存组织问题的混合整数线性规划问题，通过推导对模型简化处理，并应用具体算例进行分析，结果验证了模型的有效性和实用性。
在实际运营中，存在很多随机因素影响集装箱空箱调运问题，例如运输时间、空箱需求量、空箱供给量等，因此一些学者建立了基于随机条件或满足多目标条件下的空箱调运模型。Cao等考虑铁路集装箱运输系统，在集装箱空箱需求随机的情况下，建立了空箱调运优化模型，实现总利润最大化。施亚萍、陈兵分析了铁路集装箱空箱调运所存在的问题，并以运输成本最小和托运人满意度最大为优化目标，建立了铁路集装箱空箱调运最优化模型，运用线性双层规划理论求解，通过具体实例验证该模型的优化效果。段刚等考虑技术站改编时间和运输走行时间对空箱需求站时间窗的影响，以空箱调运过程中产生的各种费用最小为目标，建立空箱调运整数规划模型。刘爽阳、廖丽平按照客户价值将空箱分成不同的优先级，综合考虑客户价值和空箱调运成本，建立了基于“价值一成本”策略的铁路空箱调运模型，以求达到二者整体最优，并通过数值算例验证了该模型的可行性。陈小红根据现有的单一空箱调运模型，建立了重箱协调下的单一空箱调运模型，目标是为了使铁路运输效益最大化，并设计双决策变量遗传算法，运用算例来验证模型的正确性。
上述研究大多数是以空箱调运成本最小化为目标单纯优化空箱调运方案，很少有学者将集装箱重箱与空箱协调优化，并以效益最大化为目标，在满足市场运输需求的基础上，探讨如何将积压的集装箱空箱调运到空箱资源不足的区域/站点。因此本文所优化的目标是，采用合理的价格策略，使铁路集装箱运输车站间箱流接近平衡，缓解空箱调运问题，从而实现铁路运营企业的效益最大化。
3 模型建立及求解
3.1 模型的参数与变量说明
3.1.1 模型基本假设。由于铁路集装箱运输的实际业务比较复杂，并且变动因素很多，会给实际分析带来很多困难，为了方便建立模型，首先对铁路集装箱运输系统进行以下优化假设：
（1）不考虑箱型的约束，所有集装箱均为同一型号（20TEU）；
（2）各站点间的重箱运输价格以及空箱调运成本等均为已知的；
（3）不考虑集装箱的修箱和废弃箱的问题，所有的集装箱均为可用的；
（4）铁路运营企业调运的空箱箱状符合托运人的要求。
3.1.2 模型参数与变量说明。为了更加清晰地进行模型参数描述，在本章模型中以表格的形式进行呈现，详细描述见表1。
3.2 基于空重箱调配的铁路集装箱定价模型 3.2.1 模型建立。基于空重箱调配的铁路集装箱定价模型可写成如下形式：
aij≥0，bn≥0且均为整数 （7）
式（1）为模型的优化目标，用集装箱重箱运输收入减去重箱运输成本和空箱调运成本来表示利润，以优化铁路运输企业的利润最大化为目标得出铁路重箱最优价格以及空重箱调配方案。式（2）为铁路重箱运输需求与运价之间的价格反应函数，采用线性函数表示；式（3）表示铁路重箱的价格区间，每个OD的重箱运输价格介于最低价格和最高价格之间；式（4）为供应站，的约束条件，对于供应站：，应满足空箱供给不小于空箱需求，即该站可向它站提供的空箱总数不小于本站的空箱需求量（发往它站的重箱量）加上运往需求站J（由供给站i所供应的需求站集合）的空集装箱量；式（5）为对空箱需求站.，的约束条件，也就是供应站i运往此站的空箱量加上运往该站的重箱量，应不小于本站的空箱需求量；式（6）为重箱发送量的约束条件，即优化后的计划重箱发送量应不大于该OD的集装箱货运需求；式（7）为非负约束及整数约束，即模型中的所有决策变量均大于等于零且为整数。
3.2.2 模型转化与求解。根据上一小节所建立的定价模型可知，该模型的目标函数为非线性的，而约束条件为线性的，其中存在三个决策变量：重箱运输价格、重箱运输量以及空箱调运量，重箱运输量及空箱运输量均需为非负整数，因此该模型为混合整数非线性规划（MINIP）模型。
由于约束条件中存在重箱运输价格与需求之間的线性关系，因此可将该等式约束放人目标函数中将模型的变量简化，简化过程如下所示：
由于本文模型是建立在供大于需的前提下，可将上述模型简化为：
该模型为非线性整数规划，决策变量为重箱运输量和空箱调运量，运用yalmip工具箱并调用gurobi求解器编程求其全局最优解，所采用的算法是分支定界法。
而非线性规划一分支定界法（ NIP-BB）包括了三个关键步骤：分支、节点选择和剪枝，分支主要是将可行域依次分割为越来越小的子集，剪枝就是当算法满足当前目标函数值大于当前最好上界时，或者当NLP子问题的解恰好是整数等情形，不再需要对当前节点进一步分支时所进行的操作。因此本文的模型求解具体过程如下：
Step1：节点选择。搜索分支定界树，选择某一节点，在此节点处求解该非线性子问题。如果此问题不可行，则删除该节点并重新搜索分支定界树；否则，设得到解（a，b）。
Step2：剪枝。如果在该点处的目标函数值大于当前的上界，则说明在这部分的可行域不包含最优解，则进行剪枝。
Step3：分支。主要对其中的整数约束变量例如a进行检验。若点a不满足整数约束条件，则设ai为小数，此时该问题分支成左右两个子节点，分别添加左分支约束ai≤[ai]和右分支ai≤[ai]+1约束；否则，如果a满足了整数约束条件，并且目标函数值小于当前的最优值，则更新上界，并且剪掉目标函数值大于当前上界的分支。
Step4：检查分支定界树是否为空。如果分支定界树是非空的，则返回第1步；否则，算法终止，并输出当前的最优解。
4 算例分析
本小节为验证模型的可行性以及优化结果，选取广铁管辖区内的7个大型集装箱办理站，其中I={1，2，3，4}，J={1，2，3），对提出的定价优化模型以及常用酌空箱调运方法进行算例分析，并对结果分析比较。铁路集装箱空重箱运输线路如图1所示。
4.1 基于空重箱调配的铁路集装箱定价模型结果分析
根据实际调研所获得的已有数据，各OD的重箱需求与运输价格之间呈负相关关系，即铁路集装箱重箱需求会随着运价的增加而降低直至为0，因此将二者的关系拟合成线性函数，并采用价格反应函数Aij=βij-αijPij来表示，根据实际数据确定出价格反应函数的参数，其中参数α和β的具体取值见表2。
以供应站1与需求站1之间的关系为例，其所运行出的结果如图2所示，铁路运输企业可通过这一关系，并根据自身的运能限制或运量要求，对铁路集装箱的运输价格进行适当调整以满足货主所需。
根据铁路局的定价方案可得到以下数据，包括：各OD的重箱运输价格、重箱运输成本、空箱调运成本，见表3和表4。
由于本文是在市场需求不确定的前提下对铁路集装箱运输中的空重箱进行协同优化，分别设定各空箱供应站所能供应的数量以及各空箱需求站所需求数量，具体见表5和表6。
根据上述实际调研所获得的相关成本等数据，并运用价格反应函数刻画重箱运输价格与市场运输需求之间的线性关系，采用本文模型并应用yalmip工具箱编程求解，可获得铁路运营企业效益最大化时的各OD的重箱运输价格以及相对应的重箱需求量，具体见表7。
根据表7中的数据可求得铁路运输企业的总收益为2 996 291兀。
4.2 空箱调运优化模型结果分析
本小节主要对现有的空箱调运优化模型进行简单介绍和算例分析，即单独优化空箱，目标函数为空箱调运成本最小化，模型如下：
其中式（10）表示所建立模型的目标为空箱调运成本最小化，式（11）表示对于空箱供应站i而言，运往它站的空箱应不大于其空箱供应量xi，式（12）表示对于空箱需求站j而言，运至该站的空箱应等于其需求总数xi，式（13）为非负约束和整数约束。
该模型为简单的整数规划，采用MATLA7.0编程求解，其中空箱调运成本、空箱供应以及需求量均在上一小节已知，因此求解可得各站点的空箱调运量，见表8。此时计算可知空箱调运的成本为659 070兀。两种优化方法的结果对比见表9。
经过比较可得，空重箱调配优化模型相比空箱调运优化模型，可通过适当的价格策略，将空箱需求站所需空箱转化成重箱进行运输，提高了运输收益的同时大大降低了空箱调运成本，该模型是可行的。
5 结语
本文首先介绍了空箱调运问题的相关研究背景，随后阐明了通过价格杠杆调节是从根本上缓解以至解决空箱调运问题的方法；其次提出了基于空重箱调配的铁路集装箱定价优化模型，并对价格反映函数以及其参数做出相关说明；最后以广铁管局内集装箱车站为例，对集装箱空重箱进行协同优化，通过价格策略，提高重箱运输需求量的同时减少空箱的调运量，从而提高铁路运营企业的效益。
但本文中的优化模型仅考虑了单一箱型集装箱、车站间的运输能力无限制等都与实际情况不符，因此如何突破这些限制为铁路集装箱运输制定合理的价格，使空重箱优化方案更符合实际，是我们下一步需要努力的方向。