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一元二次方程根的判别式不仅是数学中的重要内容，而且是数学中的重要方法.所以，运用判别式求解的问题倍受竞赛题命题者的青睐.下面举例说明根的判别式在解竞赛题中的应用.
一、运用判别式解决明显的一元二次方程、二次函数、一元二次不等式、二次三项式问题
1.一元二次方程的实数根问题或二次函数图象与 x 轴的交点问题.
例1 （第21届江苏省初中数学竞赛初三第二试试题）设关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+14-k=0有两个实数根.则 k 的取值范围为.
解：因为方程 x2+2kx+14-k=0有两个实数根，所以，Δ=4k2-4（14-k）≥0.
解得 k≥2-12或 k≤-2+12.
故填 k≥2-12或 k≤-2+12.
2.一元二次方程的整数根问题
例2 （2007年全国初中数学联赛江西省预赛试题）试求所有的整数 a，使得关于 x 的一元二次方程 x2-5a2-26a-8x-（a2-4a+9）=0的两根皆为整数.
解：设方程的两根为 x1、x2，于是5a2-26a-8=x1+x2=整数，即方程为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式必为完全平方数.
设Δ=（5a2-26a-8）+4（a2-4a+9）=n2，n 是自然数，即（3a-7）2-n2=21.
因此，（3a-7-n）（3a-7+n）=21.
又21=3×7=1×21=（-7）×（-3）=（-21）×（-1），
则3a-7-n=3，
3a-7+n=7；或3a-7-n=1，
3a-7+n=21；
或3a-7-n=-7，
3a-7+n=-3；或3a-7-n=-21，
3a-7+n=-1.
解得 a=4，6，23，-43.
因为 a 为整数，且当 a=4时，5a2-26a-8无意义，所以，只有 a=6.
此时， 原方程变为 x2-4x-21=0.它有整数根7和-3.因此，所求整数 a=6.
3.一元二次不等式的解集问题
例3 如果对于一切实数 x，不等式-x2+2x+k＜0恒成立.求 k 的取值范围.
解：依题意有：Δ=22-4（-1）•k＜0，
解得 k＜-1.故 k 的取值范围是 k＜-1.
4.二次三项式在实数范围内的因式分解问题
例4 （2006年广东省初中数学竞赛初赛试题）若 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，则 k 的值为（ ）
（A） ±1
（B） ±3
（C） -1或3（D） 1或-3
解：因为 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，所以，Δ=［-2（k+1）］2-4×4=0，
即 k2+2k-3=0.
解得 k=-3或 k=1.故选（D）.
二、运用判别式解决可转化为一元二次方程的问题
1.求参数的值或取值范围问题
例5 （2006年全国初中数学联赛试题）关于 x 的方程|x2x-1|=a 仅有两个不等的实根.则实数 a 的取值范围是（ ）
（A） a＞0
（B） a≥4
（C） 2＜a＜4（D） 0＜a＜4
解：当 a＜0时，原方程无解；当 a=0，x=0，不合题意；当 a＞0时，原方程可化为x2x-1=±a.
整理得 x2-ax+a=0，①
或
x2+ax-a=0.②
因为方程②的判别式Δ2=a2-4（-a）＞0，所以方程②有两个不等实根.又因为原方程仅有两个不等实根，因此，必有方程①的判别式Δ1=（-a）2-4a＜0.
从而，0＜a＜4.故选（D）.
2.求参数的最值问题
例6 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）实数 a、b、c 满足 a≤b≤c，且 ab+bc+ca=0，abc=1.求最大实数 k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立.
解：由已知条件知，a、b、c 都不等于0，且 c＞0.
因为 ab=1c＞0，a+b=-1c2＜0，
所以，a≤b＜0.
由一元二次方程根与系数的关系知，a、b 是 x2+1c2x+1c=0的两个实数根.
所以，Δ=1c4-4c≥0.于是，c3≤14.
因此，|a+b|=|-1c2|≥4c=4|c|.
即|a+b|≥4|c|（当 c=322，a=b=-32时取等号）.于是，使得|a+b|≥k|c|恒成立的实数 k≤4.所以，最大实数 k=4.
3.求函数的最值问题
例7 （2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题）代数式113x2+3-110x 的最小值为.
解：令 y=113x2+3-110x（y＞0），则
y2+220xy=3×223x2+3×1132，
即3×223x2-220yx+3×1132-y2=0.
因为 x 为实数，所以，
Δ=（220y）2-4×3×223（3×1132-y2）
=4×1132（y2-32×223）≥0.
所以，y≥3223.当且仅当 x=110223时，y 取最小值3223.故填3223.
4.求不定方程的整数解或实数解问题
例8 求方程 x+y=x2-xy+y2 的整数解.
解：原方程可化为
x2-（y+1）x+y2-y=0.
因为方程有整数解，所以，
Δ=（y+1）2-4（y2-y）≥0，
即-3y2+6y+1≥0.
解得3-233≤y≤3+233.
因为 y 是整数，所以，y=0，1，2.
当 y=0时，原方程化为 x2=x，所以 x1=0，x2=1；当 y=1时，原方程化为 x2-2x=0，所以 x3=0，x4=2；当 y=2时，原方程化为 x2-3x+2=0，所以 x5=1，x6=2.
于是，原方程的整数解（x，y）是（0，0），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2），（2，2）.
5.证明不等式问题
例9 （“祖冲之杯”数学邀请赛试题）如图1，设△ABC的面积为S，作一条直线 l∥BC，且与AB、AC分别交于D、E两点，△BDE的面积记为 k.求证：k≤14S.
证明：设ADAB=x（0＜x＜1）.
因为DE∥BC，
所以SΔABES=AEAC=ADAB=x.
即S△ABE=xS.
又kS△ABE=BDAB=AB-ADAB=1-ADAB
=1-x.
于是， k=xS（1-x）.即Sx2-Sx+k=0.
因为 x 是实数，所以，
Δ=（-S）2-4kS≥0.
又S＞0，因此，k≤14S.
三、运用判别式解决可转化为二次函数的问题
例10 （第七届美国奥赛试题）已知 a、b、c、d、e 是满足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试确定 e 的最大值.
解：设 y=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2，则y=4x2-2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2）.
因为 x2 的系数4＞0，且 y≥0，所以，Δ=［-2（a+b+c+d）］2-4×4（a2+b2+c2+d2）≤0.于是，4（8-e）2-16（16-e2）≤0.
解得0≤e≤165.
当 a=b=c=d=65时，e=165.
所以，e 的最大值为165.
四、运用判别式解决可转化为一元二次不等式的问题
例11 （2007年全国初中数学联赛试题）设 m、n 为正整数，且 m≠2.如果对一切实数 t，二次函数 y=x2+（3-mt）x-3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求 m、n 的值.
解：因为二次函数 y=x2+（3-mt）x-3mt 的图象与 x 轴的交点横坐标分别为 mt、-3，所以，交点间的距离为|mt+3|.
依题意有|mt+3|≥|2t+n|，
即（mt+3）2≥（2t+n）2（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
又 m2-4≠0，且上式对一切实数 t 恒成立，则
m2-4＞0，
Δ=（6m-4n）2-4（m2-4）（9-n2）≤0.
m＞2，
4（mn-6）2≤0.m＞2，
mn=6.
所以，m=3，
n=2；或m=6，
n=1.
注：|mt+3|≥|2t+n|转化为关于 t 的一元二次不等式（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
五、运用判别式解决可转化为二次三项式的问题
例12 （1997年五羊杯初三数学竞赛试题）如果 x2+7xy+ay2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的积，则 a=.
解：原式可化为关于 x 的二次三项式 x2+（7y-5）x+（ay2+43y-24）.
依题意Δx=（7y-5）2-4（ay2+43y-24）=（49-4a）y2-242y+121必为完全平方式.
因此，Δy=（-242）2-4（49-4a）×121=0.故 a=-18.
练习题：
1.已知 a、b、c 是△ABC的三条边.证明抛物线 y=b2x2+（b2+c2-a2）x+c2 与 x 轴无交点.［提示：证明Δ＜0.］
2.（2006年全国数学联赛试题）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（a+2b+3）x+（a2+4b2+99）=0无相异两实根.则满足条件的有序的正整数组（a，b）有多少组？［答案：16组］
3.证明 x2-xy+y2+x+y 不可能分解为两个一次因式之积.［提示：假设能分解，则Δx=-3y2-6y+1必为完全平方式，但Δy=（-6）2-4×（-3）×1≠0.］
4.（2003年全国初中数学联赛试题）已知实数 a、b、c 满足 a+b+c=2，abc=4.（1）求 a、b、c 中的最大者的最小值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值.［答案：（1）4；（2）6.］
5.（1993年全国初中数学联赛试题）当 x 变化时，分式3x2+6x+512x2+x+1的最小值是.［提示：设 y=3x2+6x+512x2+x+1，则（y-6）x2+2（y-6）x+2y-10=0.由 y≠6及Δ≥0可知，分式的最小值为4.］
6.若实数 x、y 满足 x+y=x2-xy+y2+1，则 x=，y=.［提示：方程可化为 x2-（y+1）x+（y2-y+1）=0.由Δ≥0得 x=1，y=1.］
7.（江苏省初中数学竞赛试题）已知，如图2，P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，直线PN交⊙O于点M、N，则（ ）
（A） PM+PN<2PT
(B) PM+PN>2PT
(C) PM+PN=2PT
(D) PM+PN与2PT的大小不定
［提示PM•PN=PT2，故PM、PN是 x2-（PM+PN）x+PT2=0的两个实数根.又PM≠PN，所以，Δ＞0.答案：（B）.］
8.已知实数 a，b，c，d 满足 a4+b4+c4+d4=a2+b2+c2+d2=3.求 d 的取值范围.
［提示：设 y=（x-a2）2+（x-b2）2+（x-c2）2≥0.即 y=3x2-2（3-d2）x+（3-d4）≥0.由Δ≤0得-62≤d≤62.］
（初二）
一、运用判别式解决明显的一元二次方程、二次函数、一元二次不等式、二次三项式问题
1.一元二次方程的实数根问题或二次函数图象与 x 轴的交点问题.
例1 （第21届江苏省初中数学竞赛初三第二试试题）设关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+14-k=0有两个实数根.则 k 的取值范围为.
解：因为方程 x2+2kx+14-k=0有两个实数根，所以，Δ=4k2-4（14-k）≥0.
解得 k≥2-12或 k≤-2+12.
故填 k≥2-12或 k≤-2+12.
2.一元二次方程的整数根问题
例2 （2007年全国初中数学联赛江西省预赛试题）试求所有的整数 a，使得关于 x 的一元二次方程 x2-5a2-26a-8x-（a2-4a+9）=0的两根皆为整数.
解：设方程的两根为 x1、x2，于是5a2-26a-8=x1+x2=整数，即方程为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式必为完全平方数.
设Δ=（5a2-26a-8）+4（a2-4a+9）=n2，n 是自然数，即（3a-7）2-n2=21.
因此，（3a-7-n）（3a-7+n）=21.
又21=3×7=1×21=（-7）×（-3）=（-21）×（-1），
则3a-7-n=3，
3a-7+n=7；或3a-7-n=1，
3a-7+n=21；
或3a-7-n=-7，
3a-7+n=-3；或3a-7-n=-21，
3a-7+n=-1.
解得 a=4，6，23，-43.
因为 a 为整数，且当 a=4时，5a2-26a-8无意义，所以，只有 a=6.
此时， 原方程变为 x2-4x-21=0.它有整数根7和-3.因此，所求整数 a=6.
3.一元二次不等式的解集问题
例3 如果对于一切实数 x，不等式-x2+2x+k＜0恒成立.求 k 的取值范围.
解：依题意有：Δ=22-4（-1）•k＜0，
解得 k＜-1.故 k 的取值范围是 k＜-1.
4.二次三项式在实数范围内的因式分解问题
例4 （2006年广东省初中数学竞赛初赛试题）若 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，则 k 的值为（ ）
（A） ±1
（B） ±3
（C） -1或3（D） 1或-3
解：因为 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，所以，Δ=［-2（k+1）］2-4×4=0，
即 k2+2k-3=0.
解得 k=-3或 k=1.故选（D）.
二、运用判别式解决可转化为一元二次方程的问题
1.求参数的值或取值范围问题
例5 （2006年全国初中数学联赛试题）关于 x 的方程|x2x-1|=a 仅有两个不等的实根.则实数 a 的取值范围是（ ）
（A） a＞0
（B） a≥4
（C） 2＜a＜4（D） 0＜a＜4
解：当 a＜0时，原方程无解；当 a=0，x=0，不合题意；当 a＞0时，原方程可化为x2x-1=±a.
整理得 x2-ax+a=0，①
或
x2+ax-a=0.②
因为方程②的判别式Δ2=a2-4（-a）＞0，所以方程②有两个不等实根.又因为原方程仅有两个不等实根，因此，必有方程①的判别式Δ1=（-a）2-4a＜0.
从而，0＜a＜4.故选（D）.
2.求参数的最值问题
例6 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）实数 a、b、c 满足 a≤b≤c，且 ab+bc+ca=0，abc=1.求最大实数 k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立.
解：由已知条件知，a、b、c 都不等于0，且 c＞0.
因为 ab=1c＞0，a+b=-1c2＜0，
所以，a≤b＜0.
由一元二次方程根与系数的关系知，a、b 是 x2+1c2x+1c=0的两个实数根.
所以，Δ=1c4-4c≥0.于是，c3≤14.
因此，|a+b|=|-1c2|≥4c=4|c|.
即|a+b|≥4|c|（当 c=322，a=b=-32时取等号）.于是，使得|a+b|≥k|c|恒成立的实数 k≤4.所以，最大实数 k=4.
3.求函数的最值问题
例7 （2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题）代数式113x2+3-110x 的最小值为.
解：令 y=113x2+3-110x（y＞0），则
y2+220xy=3×223x2+3×1132，
即3×223x2-220yx+3×1132-y2=0.
因为 x 为实数，所以，
Δ=（220y）2-4×3×223（3×1132-y2）
=4×1132（y2-32×223）≥0.
所以，y≥3223.当且仅当 x=110223时，y 取最小值3223.故填3223.
4.求不定方程的整数解或实数解问题
例8 求方程 x+y=x2-xy+y2 的整数解.
解：原方程可化为
x2-（y+1）x+y2-y=0.
因为方程有整数解，所以，
Δ=（y+1）2-4（y2-y）≥0，
即-3y2+6y+1≥0.
解得3-233≤y≤3+233.
因为 y 是整数，所以，y=0，1，2.
当 y=0时，原方程化为 x2=x，所以 x1=0，x2=1；当 y=1时，原方程化为 x2-2x=0，所以 x3=0，x4=2；当 y=2时，原方程化为 x2-3x+2=0，所以 x5=1，x6=2.
于是，原方程的整数解（x，y）是（0，0），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2），（2，2）.
5.证明不等式问题
例9 （“祖冲之杯”数学邀请赛试题）如图1，设△ABC的面积为S，作一条直线 l∥BC，且与AB、AC分别交于D、E两点，△BDE的面积记为 k.求证：k≤14S.
证明：设ADAB=x（0＜x＜1）.
因为DE∥BC，
所以SΔABES=AEAC=ADAB=x.
即S△ABE=xS.
又kS△ABE=BDAB=AB-ADAB=1-ADAB
=1-x.
于是， k=xS（1-x）.即Sx2-Sx+k=0.
因为 x 是实数，所以，
Δ=（-S）2-4kS≥0.
又S＞0，因此，k≤14S.
三、运用判别式解决可转化为二次函数的问题
例10 （第七届美国奥赛试题）已知 a、b、c、d、e 是满足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试确定 e 的最大值.
解：设 y=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2，则y=4x2-2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2）.
因为 x2 的系数4＞0，且 y≥0，所以，Δ=［-2（a+b+c+d）］2-4×4（a2+b2+c2+d2）≤0.于是，4（8-e）2-16（16-e2）≤0.
解得0≤e≤165.
当 a=b=c=d=65时，e=165.
所以，e 的最大值为165.
四、运用判别式解决可转化为一元二次不等式的问题
例11 （2007年全国初中数学联赛试题）设 m、n 为正整数，且 m≠2.如果对一切实数 t，二次函数 y=x2+（3-mt）x-3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求 m、n 的值.
解：因为二次函数 y=x2+（3-mt）x-3mt 的图象与 x 轴的交点横坐标分别为 mt、-3，所以，交点间的距离为|mt+3|.
依题意有|mt+3|≥|2t+n|，
即（mt+3）2≥（2t+n）2（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
又 m2-4≠0，且上式对一切实数 t 恒成立，则
m2-4＞0，
Δ=（6m-4n）2-4（m2-4）（9-n2）≤0.
m＞2，
4（mn-6）2≤0.m＞2，
mn=6.
所以，m=3，
n=2；或m=6，
n=1.
注：|mt+3|≥|2t+n|转化为关于 t 的一元二次不等式（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
五、运用判别式解决可转化为二次三项式的问题
例12 （1997年五羊杯初三数学竞赛试题）如果 x2+7xy+ay2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的积，则 a=.
解：原式可化为关于 x 的二次三项式 x2+（7y-5）x+（ay2+43y-24）.
依题意Δx=（7y-5）2-4（ay2+43y-24）=（49-4a）y2-242y+121必为完全平方式.
因此，Δy=（-242）2-4（49-4a）×121=0.故 a=-18.
练习题：
1.已知 a、b、c 是△ABC的三条边.证明抛物线 y=b2x2+（b2+c2-a2）x+c2 与 x 轴无交点.［提示：证明Δ＜0.］
2.（2006年全国数学联赛试题）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（a+2b+3）x+（a2+4b2+99）=0无相异两实根.则满足条件的有序的正整数组（a，b）有多少组？［答案：16组］
3.证明 x2-xy+y2+x+y 不可能分解为两个一次因式之积.［提示：假设能分解，则Δx=-3y2-6y+1必为完全平方式，但Δy=（-6）2-4×（-3）×1≠0.］
4.（2003年全国初中数学联赛试题）已知实数 a、b、c 满足 a+b+c=2，abc=4.（1）求 a、b、c 中的最大者的最小值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值.［答案：（1）4；（2）6.］
5.（1993年全国初中数学联赛试题）当 x 变化时，分式3x2+6x+512x2+x+1的最小值是.［提示：设 y=3x2+6x+512x2+x+1，则（y-6）x2+2（y-6）x+2y-10=0.由 y≠6及Δ≥0可知，分式的最小值为4.］
6.若实数 x、y 满足 x+y=x2-xy+y2+1，则 x=，y=.［提示：方程可化为 x2-（y+1）x+（y2-y+1）=0.由Δ≥0得 x=1，y=1.］
7.（江苏省初中数学竞赛试题）已知，如图2，P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，直线PN交⊙O于点M、N，则（ ）
（A） PM+PN<2PT
(B) PM+PN>2PT
(C) PM+PN=2PT
(D) PM+PN与2PT的大小不定
［提示PM•PN=PT2，故PM、PN是 x2-（PM+PN）x+PT2=0的两个实数根.又PM≠PN，所以，Δ＞0.答案：（B）.］
8.已知实数 a，b，c，d 满足 a4+b4+c4+d4=a2+b2+c2+d2=3.求 d 的取值范围.
［提示：设 y=（x-a2）2+（x-b2）2+（x-c2）2≥0.即 y=3x2-2（3-d2）x+（3-d4）≥0.由Δ≤0得-62≤d≤62.］
（初二）