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题：（苏中三市2009届高三数学第一次调研测试第16题）在四棱锥 中，四边形 是梯形， , ,平面 ⊥平面 ,平面 ⊥平面 .
（1）求证：⊥平面 .
（2）设平面 ∩平面 ，问：直线 是否与平面 平行？请说明理由.
这是一道由传统立体几何题编制而成的新题，较好地考查了线线平行与垂直、线面平行与垂直、面面垂直的基础知识，及其空间想象相互转化的基本技能、基本思想和方法.符合考试说明的要求.分析此题的解法和学生答卷中出现的典型问题，对于我们的复习和备考有一定的启示.
1．思路与解答
本题思路宽，解法多.（摘录几例如下）
证明：（1）题设告诉我们两个平面垂直，根据面面垂直的性质定理就是给我们带来了线面垂直的条件，是哪一条直线与哪一个平面垂直？这一点很重要，是解决问题的突破口.
思路（1）因为 ， ，所以 .而平面 ⊥平面 ,且平面 ∩平面 = ,所以 ⊥平面 ,所以 .同理可得 .因为 ,所以 ⊥平面 .
思路（2）在底面 内取一点 ，并且过点 在该平面内作直线 , .因为 ,而平面 ⊥平面 ,且平面 ∩平面 = ,所以 ⊥平面 ,又 平面 ,所以 ，从而 .同理可得 .因为 ,所以 ⊥平面 .
由于这一问的结论很明显，所以还可以用反证法或同一法证明.
思路（3）假设 不垂直于平面 ，在平面 中作 于 ，在平面 中作 于 .因为平面 ⊥平面 ,且平面 ∩平面 = ,所以 ⊥平面 .同理 ⊥平面 .所以 ,矛盾， 即为 .又 平面 , 平面 ,所以 又是 ，故 ⊥平面 .
解：（2）本小问是一个探索性问题，对于空间想象能力与逻辑推理能力有一定的要求.结论是：不平行.理由（证明）如下：
思路（1）（直接法） 因为梯形 中 ，所以直线 与 相交，记 .由 ， 平面 ，得 平面 .同理 平面 .所以 为平面 与平面 的公共点，于是 就是平面 与平面 的交线 .所以 平面 = ， 与平面 不平行.
思路（2） （反证法）假定直线 平面 ，由于 平面 ，且平面 ∩平面 ，所以 .同理可得 ,所以 .这与 和 是直角梯形 的两腰不平行相矛盾，故假设不成立，所以 与平面 不平行.
2．问题与错误
在学生的答卷中，主要有下列突出的问题或错误.
（1）因为平面 ⊥平面 ,所以 ；因为平面 ⊥平面 ，所以 .所以 ⊥平面 .
不少学生这样证，因为他们知道证明线面垂直通常要先转化为证明线线垂直，所以心里想要得到某种位置关系就迫不及待的直接写出了某种关系.错误的原因是不知道面面垂直给我们带来什么？不清楚是哪一个平面内的哪一条直线与另一个平面垂直？
（2）因为平面 ⊥平面 ，所以可过 作 ⊥平面 ， ,所以⊥平面 .同理作 ⊥平面 ， ,所以 ⊥平面 .所以 三点重合， ⊥平面 .
不能说证明一无是处.问题是根据《江苏省高中数学新课程教学要求》，不能直接应用“如果两个平面互相垂直，那么过其中一个平面内一点作另一个平面垂线的直线一定在这个平面内”等作为推理证明的依据.还有 三点重合没有说明理由（要证还要费点事呢）.
（3）还有些学生利用构造法证明：作直线 平面 ， 平面 ， 平面 .因为平面 ⊥平面 ,所以 平面 ，同样 平面 ，所以 ,从而 ⊥平面 .
思路较新，但是同上面的问题一样，用了一些课本上非定理的结论作为依据，严格讲是不行的（只能用教材中的定义、定理为依据推理）.这跟我们老师平时的教学有很大关系：不按教学要求行事，随意根据老教材拓展知识尤其是方法等，结果得不偿失.
（4）在第（2）小问中，不难判断 与平面 不平行.就是在用直接法说明理由时不知道如何作出直线 （ ），有些学生胡乱说一通.不知道通过平面的基本定理公理2再找一个两个平面的公共点 ，或直接解决问题有困难时要想到用间接的方法反证法等，如果有了这样的目标意识，那么理应是不困难的.
3．关注与启示
应该说这道立几大题不难，属容易偏上中等偏下题，然而从得分情况看结果不理想.本题满分14分，两小问各7分，我校均分第（1）问得4.07分、第（2）问得4.06分，得分率只有58％.我们不禁要问，平时做了那么多的习题究竟取得了多少效益？我们从中应得到哪些启示？
（1）正确定位. 要研读《课标》、《教学要求》、《考试说明》，领会其精神，有些内容可以不讲的就不讲，只要简单讲的就简单的讲，严格按要求复习. 如立几解答题必考，近两年为容易题或容易偏上一点的题，主要考查线面平行与垂直的位置关系，平时的训练就要注意引导学生如何从已知条件出发判断与证明，总结通常有哪些策略？如本题的第（1）问和第（2）问的反证法；不要拓宽拔高，否则既增加了学生的负担，又得不偿失，如本题的一些有问题或错误的解法.要科研备考，高效务实.
（2）强化常规方法、基本技能的训练. 常规方法就是基本的思想方法，即使是二轮复习也要重视基础（提升与夯基并举）.二轮复习不能演变为分类讲题目，而且不管是填空题还是解答题讲的大多数为难题，目前的复习教学现状是在大、小难题上耗费了大量的时间，那些需要强化的反而报报答案一带而过，很不到位.课堂上老师讲的太多，而学生练的太少.如本题就是要提炼巩固以线面平行与垂直为中心，掌握线线平行与垂直 线面平行与垂直 面面平行与垂直间的转化思想与方法，以及空间想象能力的训练等.
（3）暴露思维过程，培养思维能力. 数学思维能力是学生分析数学问题和解决数学问题的重要基础.思维灵活、深刻，解决问题就简洁；思维浮浅、僵化，解决问题就复杂.如本题第（1）问的思路（1）和思路（2），第（2）问的两种思路，过程清晰、和谐.教师在平时的复习教学中要常常暴露（展示）自己、尤其是学生的思维过程，通过分析、纠正、优化、完善等不断培养数学思维能力.
（4）注重应试策略及数学语言表述的规范和到位. 如本题第（1）问证不出第（2）问照做；直接处理第（2）问有困难时不要忘了“正难则反”的策略：反证法；不要轻易放弃或丢分！要注意一些不可小视的问题：书写潦草涂涂改改，不用直尺画图；书写不规范，如“ ”；交代不到位，如判定线面垂直前不交代“ ”等.
（1）求证：⊥平面 .
（2）设平面 ∩平面 ，问：直线 是否与平面 平行？请说明理由.
这是一道由传统立体几何题编制而成的新题，较好地考查了线线平行与垂直、线面平行与垂直、面面垂直的基础知识，及其空间想象相互转化的基本技能、基本思想和方法.符合考试说明的要求.分析此题的解法和学生答卷中出现的典型问题，对于我们的复习和备考有一定的启示.
1．思路与解答
本题思路宽，解法多.（摘录几例如下）
证明：（1）题设告诉我们两个平面垂直，根据面面垂直的性质定理就是给我们带来了线面垂直的条件，是哪一条直线与哪一个平面垂直？这一点很重要，是解决问题的突破口.
思路（1）因为 ， ，所以 .而平面 ⊥平面 ,且平面 ∩平面 = ,所以 ⊥平面 ,所以 .同理可得 .因为 ,所以 ⊥平面 .
思路（2）在底面 内取一点 ，并且过点 在该平面内作直线 , .因为 ,而平面 ⊥平面 ,且平面 ∩平面 = ,所以 ⊥平面 ,又 平面 ,所以 ，从而 .同理可得 .因为 ,所以 ⊥平面 .
由于这一问的结论很明显，所以还可以用反证法或同一法证明.
思路（3）假设 不垂直于平面 ，在平面 中作 于 ，在平面 中作 于 .因为平面 ⊥平面 ,且平面 ∩平面 = ,所以 ⊥平面 .同理 ⊥平面 .所以 ,矛盾， 即为 .又 平面 , 平面 ,所以 又是 ，故 ⊥平面 .
解：（2）本小问是一个探索性问题，对于空间想象能力与逻辑推理能力有一定的要求.结论是：不平行.理由（证明）如下：
思路（1）（直接法） 因为梯形 中 ，所以直线 与 相交，记 .由 ， 平面 ，得 平面 .同理 平面 .所以 为平面 与平面 的公共点，于是 就是平面 与平面 的交线 .所以 平面 = ， 与平面 不平行.
思路（2） （反证法）假定直线 平面 ，由于 平面 ，且平面 ∩平面 ，所以 .同理可得 ,所以 .这与 和 是直角梯形 的两腰不平行相矛盾，故假设不成立，所以 与平面 不平行.
2．问题与错误
在学生的答卷中，主要有下列突出的问题或错误.
（1）因为平面 ⊥平面 ,所以 ；因为平面 ⊥平面 ，所以 .所以 ⊥平面 .
不少学生这样证，因为他们知道证明线面垂直通常要先转化为证明线线垂直，所以心里想要得到某种位置关系就迫不及待的直接写出了某种关系.错误的原因是不知道面面垂直给我们带来什么？不清楚是哪一个平面内的哪一条直线与另一个平面垂直？
（2）因为平面 ⊥平面 ，所以可过 作 ⊥平面 ， ,所以⊥平面 .同理作 ⊥平面 ， ,所以 ⊥平面 .所以 三点重合， ⊥平面 .
不能说证明一无是处.问题是根据《江苏省高中数学新课程教学要求》，不能直接应用“如果两个平面互相垂直，那么过其中一个平面内一点作另一个平面垂线的直线一定在这个平面内”等作为推理证明的依据.还有 三点重合没有说明理由（要证还要费点事呢）.
（3）还有些学生利用构造法证明：作直线 平面 ， 平面 ， 平面 .因为平面 ⊥平面 ,所以 平面 ，同样 平面 ，所以 ,从而 ⊥平面 .
思路较新，但是同上面的问题一样，用了一些课本上非定理的结论作为依据，严格讲是不行的（只能用教材中的定义、定理为依据推理）.这跟我们老师平时的教学有很大关系：不按教学要求行事，随意根据老教材拓展知识尤其是方法等，结果得不偿失.
（4）在第（2）小问中，不难判断 与平面 不平行.就是在用直接法说明理由时不知道如何作出直线 （ ），有些学生胡乱说一通.不知道通过平面的基本定理公理2再找一个两个平面的公共点 ，或直接解决问题有困难时要想到用间接的方法反证法等，如果有了这样的目标意识，那么理应是不困难的.
3．关注与启示
应该说这道立几大题不难，属容易偏上中等偏下题，然而从得分情况看结果不理想.本题满分14分，两小问各7分，我校均分第（1）问得4.07分、第（2）问得4.06分，得分率只有58％.我们不禁要问，平时做了那么多的习题究竟取得了多少效益？我们从中应得到哪些启示？
（1）正确定位. 要研读《课标》、《教学要求》、《考试说明》，领会其精神，有些内容可以不讲的就不讲，只要简单讲的就简单的讲，严格按要求复习. 如立几解答题必考，近两年为容易题或容易偏上一点的题，主要考查线面平行与垂直的位置关系，平时的训练就要注意引导学生如何从已知条件出发判断与证明，总结通常有哪些策略？如本题的第（1）问和第（2）问的反证法；不要拓宽拔高，否则既增加了学生的负担，又得不偿失，如本题的一些有问题或错误的解法.要科研备考，高效务实.
（2）强化常规方法、基本技能的训练. 常规方法就是基本的思想方法，即使是二轮复习也要重视基础（提升与夯基并举）.二轮复习不能演变为分类讲题目，而且不管是填空题还是解答题讲的大多数为难题，目前的复习教学现状是在大、小难题上耗费了大量的时间，那些需要强化的反而报报答案一带而过，很不到位.课堂上老师讲的太多，而学生练的太少.如本题就是要提炼巩固以线面平行与垂直为中心，掌握线线平行与垂直 线面平行与垂直 面面平行与垂直间的转化思想与方法，以及空间想象能力的训练等.
（3）暴露思维过程，培养思维能力. 数学思维能力是学生分析数学问题和解决数学问题的重要基础.思维灵活、深刻，解决问题就简洁；思维浮浅、僵化，解决问题就复杂.如本题第（1）问的思路（1）和思路（2），第（2）问的两种思路，过程清晰、和谐.教师在平时的复习教学中要常常暴露（展示）自己、尤其是学生的思维过程，通过分析、纠正、优化、完善等不断培养数学思维能力.
（4）注重应试策略及数学语言表述的规范和到位. 如本题第（1）问证不出第（2）问照做；直接处理第（2）问有困难时不要忘了“正难则反”的策略：反证法；不要轻易放弃或丢分！要注意一些不可小视的问题：书写潦草涂涂改改，不用直尺画图；书写不规范，如“ ”；交代不到位，如判定线面垂直前不交代“ ”等.