论文部分内容阅读
摘 要：设<E：＼123456＼速读·下旬201510＼Image＼image153.pdf>为Euler函数，本文探讨了方程[φ（ab）=2（φ（a）+φ（b））]的正整数解问题.我们借助欧拉函数的性质，利用初等方法给出了该不定方程的所有正整数解。
关键词：Euler函数;不定方程;正整数解
1 引言
对于任意的正整数[n≥1]，Euler[1]函数[φ（x）]定义为序列[0，1，2，…，n]中与[m]互素的整数的个数.对于任意的正整数[n]，我们有[φ（x）=npn（1-1p）]， 其中[p]为素数. 对于给定的正整数[n]，求解方程[φ（x）=n]的正整数解目前仍然是一个重要的公开问题. Erdos P在文献[2]中讨论了Euler函数的一些重要性质及与欧拉函数有关的不定方程的正整数解问题. 在所有的算术函数中，欧拉函数是一类重要的积性函数，即对于任意的正整数[m，n]，当[gcd（m，n）=1]时，有[φ（mn）=φ（m）φ（n）]. Guy R K在文献[3]中提出了欧拉函数的加性问题. Makowski Andrzej在文献[4]中研究了不定方程[φ（mn）=φ（m）+φ（n）]的正整数解问题. 本文将研究方程[φ（ab）=2（φ（a）+φ（b））]的可解性问题， 利用初等方法给出了该方程的所有正整数解. 显然当[（a，b）]为方程的解时， [（b，a）]也为方程的解， 故文中只考虑满足[a≥b]的解的情形.
2 预备知识
引理2.1 对任意正整数[m]与[n]，若[mn]，则[φ（m）φ（n）].
引理2.2 对任意正整数[n]与[m]，则[φ（nm）=（n，m）φ（n）φ（m）φ（（n，m））]，其中[（n，m）]为[n]与[m]的最大公因数.
3 主要结果
在本节中，我们给出本文的主要结果
定理3.1 方程[φ（ab）=2（φ（a）+φ（b））]有正整数解
[（a，b）=（5，5）]，[（5，8）]，[（5，10）]，[（5，12）]，[（8，8）]，[（8，10）]，[（8，12）]，[（10，10）]，[（10，12）]，[（12，12）]，[（3，3）]，[（3，4）]，[（3，6）]，[（4，4）]，[（4，6）]，[（6，6）]，[（3，5）]，[（3，8）]，[（3，10）]，[（3，12）]，[（4，5）]，[（4，8）]，[（4，10）]，[（4，12）]，[（6，5）]，[（6，8）]，[（6，10）]，[（6，12）].
证明 设[gcd（a，b）=d]，由引理1，引理2知，
[φ（ab）=dφ（a）φ（b）φ（d）=dq1q2φ（d）]，
从而有
[2q1+2q2=d].
因为[q1，q2]为正整数，故[d∈{1，2，3，4}].下面对[d]的取值进行分情形讨论，
（1）当[d=1]时，（1）式为[2q1+2q2=1]，从而有[q1=3q2=6]，[q1=4q2=4].
又[φ（1）=1]，故[φ（a）=3φ（b）=6，φ（a）=4φ（b）=4]
（i）当[φ（a）=3φ（b）=6]时，方程无正整数解.
（ii）当[φ（a）=4φ（b）=4]时，有[a=5，8，10，12b=5，8，10，12].
（2）当[d=2]时，（1）式为[2q1+2q2=2]，从而有[q1=2q2=2].
又[φ（2）=1]，故[φ（a）=2φ（b）=2]，从而有[a=3，4，6b=3，4，6]
（3）当[d=3]时，（1）式为[2q1+2q2=3].从而有[q1=1q2=2].
又[φ（3）=2]，故[φ（a）=2φ（b）=4]，从而有[a=3，4，6b=5，8，10，12]
（4）当[d=4]时，（1）式为[2q1+2q2=4]，从而有[q1=1q2=1].
又[φ（4）=2]，故[φ（a）=2φ（b）=2]，从而有[a=3，4，6b=3，4，6]
综合（1）-（4）定理3.1得证.
参考文献：
[1]Melvyn B N. Elementary methods in Number Theory. New york ：Springer-Verlag，1999.
[2] Erdos P. On the normal number of prime factors of p-1 and some related problems concerning Euler function [φ（n）].
[3] Guy R K. Unsolved problems in number theory [M]. Springer Verlag， New York， Berlin，1981.
[4] Makowski Andrzej.On some eqation involving function [φ（n）] and [σ（n）]，Amer.Math.Monthly 1960， 67： 668-670.
关键词：Euler函数;不定方程;正整数解
1 引言
对于任意的正整数[n≥1]，Euler[1]函数[φ（x）]定义为序列[0，1，2，…，n]中与[m]互素的整数的个数.对于任意的正整数[n]，我们有[φ（x）=npn（1-1p）]， 其中[p]为素数. 对于给定的正整数[n]，求解方程[φ（x）=n]的正整数解目前仍然是一个重要的公开问题. Erdos P在文献[2]中讨论了Euler函数的一些重要性质及与欧拉函数有关的不定方程的正整数解问题. 在所有的算术函数中，欧拉函数是一类重要的积性函数，即对于任意的正整数[m，n]，当[gcd（m，n）=1]时，有[φ（mn）=φ（m）φ（n）]. Guy R K在文献[3]中提出了欧拉函数的加性问题. Makowski Andrzej在文献[4]中研究了不定方程[φ（mn）=φ（m）+φ（n）]的正整数解问题. 本文将研究方程[φ（ab）=2（φ（a）+φ（b））]的可解性问题， 利用初等方法给出了该方程的所有正整数解. 显然当[（a，b）]为方程的解时， [（b，a）]也为方程的解， 故文中只考虑满足[a≥b]的解的情形.
2 预备知识
引理2.1 对任意正整数[m]与[n]，若[mn]，则[φ（m）φ（n）].
引理2.2 对任意正整数[n]与[m]，则[φ（nm）=（n，m）φ（n）φ（m）φ（（n，m））]，其中[（n，m）]为[n]与[m]的最大公因数.
3 主要结果
在本节中，我们给出本文的主要结果
定理3.1 方程[φ（ab）=2（φ（a）+φ（b））]有正整数解
[（a，b）=（5，5）]，[（5，8）]，[（5，10）]，[（5，12）]，[（8，8）]，[（8，10）]，[（8，12）]，[（10，10）]，[（10，12）]，[（12，12）]，[（3，3）]，[（3，4）]，[（3，6）]，[（4，4）]，[（4，6）]，[（6，6）]，[（3，5）]，[（3，8）]，[（3，10）]，[（3，12）]，[（4，5）]，[（4，8）]，[（4，10）]，[（4，12）]，[（6，5）]，[（6，8）]，[（6，10）]，[（6，12）].
证明 设[gcd（a，b）=d]，由引理1，引理2知，
[φ（ab）=dφ（a）φ（b）φ（d）=dq1q2φ（d）]，
从而有
[2q1+2q2=d].
因为[q1，q2]为正整数，故[d∈{1，2，3，4}].下面对[d]的取值进行分情形讨论，
（1）当[d=1]时，（1）式为[2q1+2q2=1]，从而有[q1=3q2=6]，[q1=4q2=4].
又[φ（1）=1]，故[φ（a）=3φ（b）=6，φ（a）=4φ（b）=4]
（i）当[φ（a）=3φ（b）=6]时，方程无正整数解.
（ii）当[φ（a）=4φ（b）=4]时，有[a=5，8，10，12b=5，8，10，12].
（2）当[d=2]时，（1）式为[2q1+2q2=2]，从而有[q1=2q2=2].
又[φ（2）=1]，故[φ（a）=2φ（b）=2]，从而有[a=3，4，6b=3，4，6]
（3）当[d=3]时，（1）式为[2q1+2q2=3].从而有[q1=1q2=2].
又[φ（3）=2]，故[φ（a）=2φ（b）=4]，从而有[a=3，4，6b=5，8，10，12]
（4）当[d=4]时，（1）式为[2q1+2q2=4]，从而有[q1=1q2=1].
又[φ（4）=2]，故[φ（a）=2φ（b）=2]，从而有[a=3，4，6b=3，4，6]
综合（1）-（4）定理3.1得证.
参考文献：
[1]Melvyn B N. Elementary methods in Number Theory. New york ：Springer-Verlag，1999.
[2] Erdos P. On the normal number of prime factors of p-1 and some related problems concerning Euler function [φ（n）].
[3] Guy R K. Unsolved problems in number theory [M]. Springer Verlag， New York， Berlin，1981.
[4] Makowski Andrzej.On some eqation involving function [φ（n）] and [σ（n）]，Amer.Math.Monthly 1960， 67： 668-670.