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一元二次方程是中考的一个重点内容，中考的热点知识主要有：（1）一元二次方程基本概念、解法；（2）一元二次方程的根的判别式；（3）一元二次方程的根与系数的关系（又称韦达定理）；（4）一元二次方程的根的判别式与根与系数关系综合应用；（5）一元二次方程的应用.
对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.考试题型多以填空、选择、解答题为主.下面就其常见的如下考点，举例剖析.
考点一、一元一次方程基本概念
例1（08年云南省考题）关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（）.
A.1B.-1C.1或-1D.
分析：因为方程的一个根为0，
所以a2-1=0，a=±1，
当a=1时，二次项系数a-1=0，舍去，
故a=-1，答案选B.
评注：在一元二次方程ax2+bx+c=0的定义中，要特别注意a≠0的条件.
考点预测：已知二次方程的一个根，求方程中待定字母的值，综合考查方程的概念和方程解的概念，是二次方程的重要考点之一.
考点二、一元二次方程的解法
例2（08年江西省考题）一元二次方程x（x-1）=x的解是 ．
分析：运用因式分解法解方程.
解：原方程变形得x（x-1）-x=0，
分解得x（x-2）=0，
解得x1=0，x2=2，
评注：本题容易导致误解的是，方程两边同除以x，产生失根.
考点预测：解关于二次项系数含有字母的一元二次方程．
考点三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
例3（08年长沙市考题）当m为何值时，关于x的一元二次方程x2-4x+m-=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
分析：方程有两个相等的实数根，其判别式等于0.
解：由题意得，Δ=（-4）2-4（m-）=0，
即16-4m+2=0，m=，
当m=时，方程有两个相等的实数根x1=x2=2．
评注：掌握方程的根的判别式是解题的关键.
考点预测：由二次方程根的判别式并综合根与系数的关系求二次方程中的参数字母的值，是二次方程的重要考点.
考点四、分式方程的解法
例4（08年泸州市考题）方程+=2的解x=.
分析：本题最简公分母是x2-1，根据等式的性质，两边同乘以最简公分母转化为整式方程，求出的解必须代入最简公分母检验，使最简公分母为0的根是增根.
解：去分母，得：
x+1+2x（x-1）=2（x2-1），
即-x=-3，
解得x=3，
经检验x=3是方程的根，
∴原方程的根是x=3.
评注：解分式方程一般用去分母的方法，方程两边同乘以最简公分母，转化为整式方程，将求得的根代入最简公分母检验，验根是必不可少的步骤，因为在去分母的过程中，扩大了未知数的取值范围.
考点预测：一类可化为一元二次方程的分式方程的解法是中考中的常见题型，这类题在历年的中考中屡见不鲜，分值一般在3~6分.
考点五、方程与函数的综合
例5（08年北京市考题）已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m>0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1 （3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．
分析：（1）方程有两个不相等的实数根，即证明方程根的判别式大于0
解：（1）证明： mx2-（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，
∴Δ=[-（3m+2）]2-4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2，
当m>0时，（m+2）2>0，即Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由求根公式，得x=，
∴x=或x=1，
m>0，∴=>1，
x1 ∴y=x2-2x1=-2×1=，
即y=（m>0）为所求；
（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出y=（m>0）与y=2m（m>0）的图象．
由图象可得，当m≥1时，y≤2m．
评注：本题中的第（1）问是常规性问题；（2）求出方程的两个根，建立y与m之间的关系，即反比例函数关系；（3）根据函数的图象，数形结合考虑问题.
考点预测：一次函数可以转化为二元一次方程；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）当y=0时即为一元二次方程，以此方程与函数图象之间往往可以实施转化.
考点六、一元二次方程的应用
例5（08年广东省肇庆市考题）在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达．已知两车队的行驶速度相同，求车队走西线所用的时间.
分析：本题的等量关系是“走南线的车队与走西线的车队行进的速度相同”.
解：设车队走西线所用的时间为x小时，依题意得：
=，
解这个方程，得：
x=20，
经检验，x是原方程的解．
答：车队走西线所用的时间为20小时．
评注：解分式方程的一般步骤是分析题意，列方程、解方程、检验，作答；其中检验是必不可少的步骤.
考点预测：列方程解应用题，能较为全面考查同学们分析问题和解决问题的能力.命题者常常以关注的社会焦点热点问题为背景，赋有时代气息，是中考的导向.
对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.考试题型多以填空、选择、解答题为主.下面就其常见的如下考点，举例剖析.
考点一、一元一次方程基本概念
例1（08年云南省考题）关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（）.
A.1B.-1C.1或-1D.
分析：因为方程的一个根为0，
所以a2-1=0，a=±1，
当a=1时，二次项系数a-1=0，舍去，
故a=-1，答案选B.
评注：在一元二次方程ax2+bx+c=0的定义中，要特别注意a≠0的条件.
考点预测：已知二次方程的一个根，求方程中待定字母的值，综合考查方程的概念和方程解的概念，是二次方程的重要考点之一.
考点二、一元二次方程的解法
例2（08年江西省考题）一元二次方程x（x-1）=x的解是 ．
分析：运用因式分解法解方程.
解：原方程变形得x（x-1）-x=0，
分解得x（x-2）=0，
解得x1=0，x2=2，
评注：本题容易导致误解的是，方程两边同除以x，产生失根.
考点预测：解关于二次项系数含有字母的一元二次方程．
考点三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
例3（08年长沙市考题）当m为何值时，关于x的一元二次方程x2-4x+m-=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
分析：方程有两个相等的实数根，其判别式等于0.
解：由题意得，Δ=（-4）2-4（m-）=0，
即16-4m+2=0，m=，
当m=时，方程有两个相等的实数根x1=x2=2．
评注：掌握方程的根的判别式是解题的关键.
考点预测：由二次方程根的判别式并综合根与系数的关系求二次方程中的参数字母的值，是二次方程的重要考点.
考点四、分式方程的解法
例4（08年泸州市考题）方程+=2的解x=.
分析：本题最简公分母是x2-1，根据等式的性质，两边同乘以最简公分母转化为整式方程，求出的解必须代入最简公分母检验，使最简公分母为0的根是增根.
解：去分母，得：
x+1+2x（x-1）=2（x2-1），
即-x=-3，
解得x=3，
经检验x=3是方程的根，
∴原方程的根是x=3.
评注：解分式方程一般用去分母的方法，方程两边同乘以最简公分母，转化为整式方程，将求得的根代入最简公分母检验，验根是必不可少的步骤，因为在去分母的过程中，扩大了未知数的取值范围.
考点预测：一类可化为一元二次方程的分式方程的解法是中考中的常见题型，这类题在历年的中考中屡见不鲜，分值一般在3~6分.
考点五、方程与函数的综合
例5（08年北京市考题）已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m>0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1
分析：（1）方程有两个不相等的实数根，即证明方程根的判别式大于0
解：（1）证明： mx2-（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，
∴Δ=[-（3m+2）]2-4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2，
当m>0时，（m+2）2>0，即Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由求根公式，得x=，
∴x=或x=1，
m>0，∴=>1，
x1
即y=（m>0）为所求；
（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出y=（m>0）与y=2m（m>0）的图象．
由图象可得，当m≥1时，y≤2m．
评注：本题中的第（1）问是常规性问题；（2）求出方程的两个根，建立y与m之间的关系，即反比例函数关系；（3）根据函数的图象，数形结合考虑问题.
考点预测：一次函数可以转化为二元一次方程；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）当y=0时即为一元二次方程，以此方程与函数图象之间往往可以实施转化.
考点六、一元二次方程的应用
例5（08年广东省肇庆市考题）在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达．已知两车队的行驶速度相同，求车队走西线所用的时间.
分析：本题的等量关系是“走南线的车队与走西线的车队行进的速度相同”.
解：设车队走西线所用的时间为x小时，依题意得：
=，
解这个方程，得：
x=20，
经检验，x是原方程的解．
答：车队走西线所用的时间为20小时．
评注：解分式方程的一般步骤是分析题意，列方程、解方程、检验，作答；其中检验是必不可少的步骤.
考点预测：列方程解应用题，能较为全面考查同学们分析问题和解决问题的能力.命题者常常以关注的社会焦点热点问题为背景，赋有时代气息，是中考的导向.