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【摘要】本文以《角的认识》教学为例，论述数学概念的教学必须凸显知识的本质特征，引领学生深度破析，科学解读，让角在多位状态中呈现出来，展露角的核心本质。
【关键词】《角的认识》 数学概念 知识本质
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）10A-0065-02
“学习者并不是把知识从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用来建构新的理解。”为此，教师在数学教学中应顺应学生知识经验的生长规律，创设合适的情境、提供适宜的土壤，让学生在吃透知识本质的过程中感知知识的来胧去脉、把握概念的形成过程，形成有效的学习方法，促进科学的建构。《角的认识》内容分布较为零散，学生在四年级之前就已经有了较多的感性积累，形成了较为丰富的表象，但这些记忆的碎片、认知，都是零散、不全面的，特别是对知识的本质概念凸显不唯真切。基于此，强化角的本质感悟引领，就成为这一概念建构的基本着落点。充分利用学生的知识、经验等方面的积累，在此基础上学习数学建模，从而实现将粗浅的外部语言逐步凝练为数学语言，凸显角的本质。
一、激活与思考相融
课件出示：①一组线的判断（射线、直线、线段），并总结每一种线的特征。
②认识这些图形吗？（出示一组角的案例，有剪刀的夹角、有三角板中的角、有钟面中指针的夹角等）
学生自主观察，分析交流自己的思考。
师：看了这些线和角，你能创造出一个角吗？并说说自己创造的方法。
生1：我用2根铅笔摆成了一个角。
生2：我用吸管折成了一个角。
生3：我用一个点和两条线段画出了一个角。
……
师：不错！画一个角、折角、摆角，在这些活动中你有什么收获？
生4：我知道了角都有一个顶点，两条边。
生5：我认为边是线段，是直的。
生6：我认为边是直线。
生7：我认为边是射线。
……
师：边到底是什么呢？你能拿出最具说服力的理由來吗？
生8：我认为是直线，它是可以延伸的。我们在二年级的时候就知道了角的边是可以延长的。
生9：不对！你看，角的两边都是从顶点引出来的，所以边是射线。
……
师：经过讨论、思考，大家一致认为角的边都是从顶点引出来的，所以角的边是射线。那你能根据这个结论，想一想角是怎么来的吗？
……
数学是一门探究性的学科。的确如此，无论多么高深的数学问题，其必定有着对应的起点，这就要求数学教学依托这些积累，通过合适的方法、策略等运用知识、思想和方法去分析问题、解决问题，从而让学生在充分探究的过程中促进知识之间的连接，加速知识的内化。案例中以线的分类复习、角的认识回顾等环节，促进学生对新知建构的思考，并在角的构成解读中逐步明晰角的静态定义，使知识的本质在争辩中逐步清晰化。同时，组织对角的边的构成进行科学解剖，让教学更加贴近学习的实际，有利于学生运用知识技能等进行分析、思考。这一设计符合“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索”等基本理念，真实的案例、具体的活动，就是让学生在数学活动引领下的探索过程，这个过程不仅促进了知识的联系，更有利于学生充分经历由观察分析到自然语言描述，再到数学表征的过程，让角的静态定义在理解中提升，在辨析中升华，概念的形成既立足于学生已有的认知基础，又充分凸显了角的本质属性。
二、操作与反思相佐
课件展播：钟面上时针的转动图，当原来的阴影指针和现在正式的指针不断变化时，引导学生观察与思考。“时针在转动过程中你看到了什么？”
学生汇报自己看到的和想到的。
生1：原来的时针和现在的时针构成了一个角。
生2：角在逐渐变大。
……
师：你能用自己的方式揭示这个角的构成吗？
学生自主活动，有的用活动角演示，有的用铅笔转动……
师：如果老师请大家把自己的活动，用一句话概括出来，你能试试吗？
生3：当一支笔绕着一个端点转动时可以得到一个角。
生4：把吸管看成线段，绕一个端点旋转，可以得到一个角。
生5：不对！我们应该把它看成射线，这样绕端点旋转可以得到一个角。
师：这么多思考，你能结合前面的研究做出判断吗？这些分析中哪个更科学呢？
生6：我们刚才得到角的边是射线，那么“角是由射线绕端点旋转得到的”更符合要求。
……
“学生不是容器，学习不是被动地接受”这一理论要求数学教学首先要尊重学生的人性，充分依赖学生的认知积累、学习经验储备等，其次要善于激活学生的知识经验，利用操作情境、活动情境引领学生学习思考，让学生在反思中把握知识的本质，并在反思中提升知识的领悟水平。同时，教师要引导学生去接受一个新观点，掌握一个新知识，就应该让他们在学习思考中学会解剖知识的价值，逐步领悟知识的本质，从而实现积极思考、主动学习。
本环节以钟面上时针的旋转为原型，引导学生在观察中学会分析、学会联想，从而实现数学学习向纵深推进。通过铅笔、吸管等材料的模仿操作，让学生在具体详实的活动中感悟角的构成，从而使角的动态定义也逐渐显现出来，并在比较中感悟动态角构成的本质，形成科学的认知。
三、运用与领悟相促
师：同学们，接下来我们一起去探寻角的奇妙世界吧！
课件展示：根据图中的角去实践，创造一个和图中一样大的角，说说自己是怎样判断这两个角是一样大的？
学生活动，摆角、转角等，并说明自己的思考。总结结论：顶点重合、两边重合，角就是一样大。 师：能得到一个比图中角大一点的角吗？
学生实践，并讨论角的构成。总结得出：一边不动，另一边旋转后超过图中角的位置，这样得到的角就会大一些。
……
师：几次活动，你真实的感触是什么？
生1：比较角的大小，要做到两个重合，一是顶点重合，二是一条边的重合。
生2：角的大小不能看边的长短，因为边是射线，要学会根据需要把它们适当延长或缩短。
师：请在纸上画出一个角，在角的内部从顶点引出一条射线，数一数图中一共有几个角？
学生自主画角，数角，交流自己的思考，获得必要的感知。
师：再画一条射线呢？两条呢？
学生根据提示，不断延伸学习，感受不同角的构成方式。
这一环节的设计，不仅是训练，更重要的是让学生在自主认知架构中进一步领悟角的构成，把握准角的本质，从而准确判断，科学使用。本片段中以创造角、比较角的大小、画角、数角等活动为载体，让学生在真实的情境中理解角的构成，领悟角的本质，让学生在多元化的学习反思中有效地刻画出角的基本模型，从而为后续的量角、画角提供厚实的知识积累。以做数学为着力点，引领学生深度解析，科学解读，让角在多维状态中呈现出来，达成异中有同，同中有异的神奇境地，展现数学知识的无尽魅力。
【教学思考】
什么是角呢？从一年级开始学生就初步建立角的印象，但直到四年级学生都还不能很科学地把握角的本质。在数学上它通常具有两种定义：①角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。这些定义对小学生来说是较为抽象的，也是难以消化的，但这不是教师回避渗透角的本质的借口。反之，教师更应将科学的定义融合在学生的感知与探索之中，让学生在活动中感知角的本质，在运用、消化中感悟角的本质，从而促进科学认知的有效建构。准确地把握角的本质是进行角的认识灵活设计、科学施教的必要基础，也是课堂教学的灵魂所在。
1.角的教学应尊重学生的积累。从表面来看，一年级的小朋友就能够指出角、找到角，但要让他们说说“什么是角”，却可能心欲言而口难开，哪怕到四年级也不一定能完整地、科学地讲清楚、说明白。为此，教师要利用学生的生活积累、学习经验储备等优势，引导学生在观察、操作等数学活动中感知角的两种定义，从而让学生在真实的背景中学会思考、学会提炼，使角的本质特性在反思中升华，在不断领悟中建构。简单地画一个角很容易，但把它与“角的大小是不是与边的长短有关系”联系起来，学生的理解就会显得很肤浅，很多时候学生会被表象所迷惑，很直观地以角的边的长短来判断。如果能够引领学生把握角的本质，让学生明白角是由射线绕一个端点旋转而得到的，使射线这一属性根植于学生的脑海中，那么学习就会多一份理性。
2.角的认识应着重于学生的感悟。数学教学是一种引领，是学生自悟、提升的过程，更是学生经历自主探索、发现知识、发现规律的过程，这就需要我们的数学教学不只是盯住概念的形成，而应着力于概念的演变过程，让学生在真实的情境中感悟，在具体的活动中领悟，从而把握概念的前世今生，理解概念的本质。同时，在解决问题的过程中深化理解，并加深對数学思想的体验，彰显数学思想方法的价值，让数学学习变得有趣、有哲理。案例中画角，在角内引出1条、2条、3条射线，不仅能丰富学习感知，促进学习思考的递进，更有利于学生学习和领悟对应的数学思想方法，进而凸显数学思考的价值，展露角的核心本质。
3.角的应用应着眼于学生的领悟。数学学习不是被动接受，而是一个自悟建构、不断递进的发展过程，所以数学教学要走出背概念、记概念的怪圈，而应在理解的基础上领悟，在实际运用中领悟，从而形成可靠的认知建构。片段中角的应用就是采取丰富多彩的方式，让学生仿、说、议，并把思维因素积极地融入其中，实现以思促悟，以用促悟，实现角的本质的升华。特别是数角的应用，不追求速度，而是追求思考的质量，采取稳步推进的策略，在不断的递进中促使学习领悟升级，进而彰显角的本质。
当然，数学概念的教学并没有捷径可循，但只要我们紧扣概念的本质去组织教学环节，引领学生探索与思考，那么我们的教学就会摆脱重结论轻感悟、重形式轻本质的桎梏，让概念教学更加贴近学生的需求，促进学生的思维发展。
作者简介：李琴（1975— ），女，广西玉林人，大学本科学历，一级教师，主要研究方向：小学数学教学。
（责编 林 剑）
【关键词】《角的认识》 数学概念 知识本质
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）10A-0065-02
“学习者并不是把知识从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用来建构新的理解。”为此，教师在数学教学中应顺应学生知识经验的生长规律，创设合适的情境、提供适宜的土壤，让学生在吃透知识本质的过程中感知知识的来胧去脉、把握概念的形成过程，形成有效的学习方法，促进科学的建构。《角的认识》内容分布较为零散，学生在四年级之前就已经有了较多的感性积累，形成了较为丰富的表象，但这些记忆的碎片、认知，都是零散、不全面的，特别是对知识的本质概念凸显不唯真切。基于此，强化角的本质感悟引领，就成为这一概念建构的基本着落点。充分利用学生的知识、经验等方面的积累，在此基础上学习数学建模，从而实现将粗浅的外部语言逐步凝练为数学语言，凸显角的本质。
一、激活与思考相融
课件出示：①一组线的判断（射线、直线、线段），并总结每一种线的特征。
②认识这些图形吗？（出示一组角的案例，有剪刀的夹角、有三角板中的角、有钟面中指针的夹角等）
学生自主观察，分析交流自己的思考。
师：看了这些线和角，你能创造出一个角吗？并说说自己创造的方法。
生1：我用2根铅笔摆成了一个角。
生2：我用吸管折成了一个角。
生3：我用一个点和两条线段画出了一个角。
……
师：不错！画一个角、折角、摆角，在这些活动中你有什么收获？
生4：我知道了角都有一个顶点，两条边。
生5：我认为边是线段，是直的。
生6：我认为边是直线。
生7：我认为边是射线。
……
师：边到底是什么呢？你能拿出最具说服力的理由來吗？
生8：我认为是直线，它是可以延伸的。我们在二年级的时候就知道了角的边是可以延长的。
生9：不对！你看，角的两边都是从顶点引出来的，所以边是射线。
……
师：经过讨论、思考，大家一致认为角的边都是从顶点引出来的，所以角的边是射线。那你能根据这个结论，想一想角是怎么来的吗？
……
数学是一门探究性的学科。的确如此，无论多么高深的数学问题，其必定有着对应的起点，这就要求数学教学依托这些积累，通过合适的方法、策略等运用知识、思想和方法去分析问题、解决问题，从而让学生在充分探究的过程中促进知识之间的连接，加速知识的内化。案例中以线的分类复习、角的认识回顾等环节，促进学生对新知建构的思考，并在角的构成解读中逐步明晰角的静态定义，使知识的本质在争辩中逐步清晰化。同时，组织对角的边的构成进行科学解剖，让教学更加贴近学习的实际，有利于学生运用知识技能等进行分析、思考。这一设计符合“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索”等基本理念，真实的案例、具体的活动，就是让学生在数学活动引领下的探索过程，这个过程不仅促进了知识的联系，更有利于学生充分经历由观察分析到自然语言描述，再到数学表征的过程，让角的静态定义在理解中提升，在辨析中升华，概念的形成既立足于学生已有的认知基础，又充分凸显了角的本质属性。
二、操作与反思相佐
课件展播：钟面上时针的转动图，当原来的阴影指针和现在正式的指针不断变化时，引导学生观察与思考。“时针在转动过程中你看到了什么？”
学生汇报自己看到的和想到的。
生1：原来的时针和现在的时针构成了一个角。
生2：角在逐渐变大。
……
师：你能用自己的方式揭示这个角的构成吗？
学生自主活动，有的用活动角演示，有的用铅笔转动……
师：如果老师请大家把自己的活动，用一句话概括出来，你能试试吗？
生3：当一支笔绕着一个端点转动时可以得到一个角。
生4：把吸管看成线段，绕一个端点旋转，可以得到一个角。
生5：不对！我们应该把它看成射线，这样绕端点旋转可以得到一个角。
师：这么多思考，你能结合前面的研究做出判断吗？这些分析中哪个更科学呢？
生6：我们刚才得到角的边是射线，那么“角是由射线绕端点旋转得到的”更符合要求。
……
“学生不是容器，学习不是被动地接受”这一理论要求数学教学首先要尊重学生的人性，充分依赖学生的认知积累、学习经验储备等，其次要善于激活学生的知识经验，利用操作情境、活动情境引领学生学习思考，让学生在反思中把握知识的本质，并在反思中提升知识的领悟水平。同时，教师要引导学生去接受一个新观点，掌握一个新知识，就应该让他们在学习思考中学会解剖知识的价值，逐步领悟知识的本质，从而实现积极思考、主动学习。
本环节以钟面上时针的旋转为原型，引导学生在观察中学会分析、学会联想，从而实现数学学习向纵深推进。通过铅笔、吸管等材料的模仿操作，让学生在具体详实的活动中感悟角的构成，从而使角的动态定义也逐渐显现出来，并在比较中感悟动态角构成的本质，形成科学的认知。
三、运用与领悟相促
师：同学们，接下来我们一起去探寻角的奇妙世界吧！
课件展示：根据图中的角去实践，创造一个和图中一样大的角，说说自己是怎样判断这两个角是一样大的？
学生活动，摆角、转角等，并说明自己的思考。总结结论：顶点重合、两边重合，角就是一样大。 师：能得到一个比图中角大一点的角吗？
学生实践，并讨论角的构成。总结得出：一边不动，另一边旋转后超过图中角的位置，这样得到的角就会大一些。
……
师：几次活动，你真实的感触是什么？
生1：比较角的大小，要做到两个重合，一是顶点重合，二是一条边的重合。
生2：角的大小不能看边的长短，因为边是射线，要学会根据需要把它们适当延长或缩短。
师：请在纸上画出一个角，在角的内部从顶点引出一条射线，数一数图中一共有几个角？
学生自主画角，数角，交流自己的思考，获得必要的感知。
师：再画一条射线呢？两条呢？
学生根据提示，不断延伸学习，感受不同角的构成方式。
这一环节的设计，不仅是训练，更重要的是让学生在自主认知架构中进一步领悟角的构成，把握准角的本质，从而准确判断，科学使用。本片段中以创造角、比较角的大小、画角、数角等活动为载体，让学生在真实的情境中理解角的构成，领悟角的本质，让学生在多元化的学习反思中有效地刻画出角的基本模型，从而为后续的量角、画角提供厚实的知识积累。以做数学为着力点，引领学生深度解析，科学解读，让角在多维状态中呈现出来，达成异中有同，同中有异的神奇境地，展现数学知识的无尽魅力。
【教学思考】
什么是角呢？从一年级开始学生就初步建立角的印象，但直到四年级学生都还不能很科学地把握角的本质。在数学上它通常具有两种定义：①角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。这些定义对小学生来说是较为抽象的，也是难以消化的，但这不是教师回避渗透角的本质的借口。反之，教师更应将科学的定义融合在学生的感知与探索之中，让学生在活动中感知角的本质，在运用、消化中感悟角的本质，从而促进科学认知的有效建构。准确地把握角的本质是进行角的认识灵活设计、科学施教的必要基础，也是课堂教学的灵魂所在。
1.角的教学应尊重学生的积累。从表面来看，一年级的小朋友就能够指出角、找到角，但要让他们说说“什么是角”，却可能心欲言而口难开，哪怕到四年级也不一定能完整地、科学地讲清楚、说明白。为此，教师要利用学生的生活积累、学习经验储备等优势，引导学生在观察、操作等数学活动中感知角的两种定义，从而让学生在真实的背景中学会思考、学会提炼，使角的本质特性在反思中升华，在不断领悟中建构。简单地画一个角很容易，但把它与“角的大小是不是与边的长短有关系”联系起来，学生的理解就会显得很肤浅，很多时候学生会被表象所迷惑，很直观地以角的边的长短来判断。如果能够引领学生把握角的本质，让学生明白角是由射线绕一个端点旋转而得到的，使射线这一属性根植于学生的脑海中，那么学习就会多一份理性。
2.角的认识应着重于学生的感悟。数学教学是一种引领，是学生自悟、提升的过程，更是学生经历自主探索、发现知识、发现规律的过程，这就需要我们的数学教学不只是盯住概念的形成，而应着力于概念的演变过程，让学生在真实的情境中感悟，在具体的活动中领悟，从而把握概念的前世今生，理解概念的本质。同时，在解决问题的过程中深化理解，并加深對数学思想的体验，彰显数学思想方法的价值，让数学学习变得有趣、有哲理。案例中画角，在角内引出1条、2条、3条射线，不仅能丰富学习感知，促进学习思考的递进，更有利于学生学习和领悟对应的数学思想方法，进而凸显数学思考的价值，展露角的核心本质。
3.角的应用应着眼于学生的领悟。数学学习不是被动接受，而是一个自悟建构、不断递进的发展过程，所以数学教学要走出背概念、记概念的怪圈，而应在理解的基础上领悟，在实际运用中领悟，从而形成可靠的认知建构。片段中角的应用就是采取丰富多彩的方式，让学生仿、说、议，并把思维因素积极地融入其中，实现以思促悟，以用促悟，实现角的本质的升华。特别是数角的应用，不追求速度，而是追求思考的质量，采取稳步推进的策略，在不断的递进中促使学习领悟升级，进而彰显角的本质。
当然，数学概念的教学并没有捷径可循，但只要我们紧扣概念的本质去组织教学环节，引领学生探索与思考，那么我们的教学就会摆脱重结论轻感悟、重形式轻本质的桎梏，让概念教学更加贴近学生的需求，促进学生的思维发展。
作者简介：李琴（1975— ），女，广西玉林人，大学本科学历，一级教师，主要研究方向：小学数学教学。
（责编 林 剑）