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[ 公式不清]
例1 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）
A. 根据公式[v=ωr]，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍
B. 根据公式[F=mv2r]，可知卫星所需的向心力将减小到原来的[12]
C. 根据公式[F=GMmr2]，可知地球提供的向心力将减小到原来的[14]
D. 根据选项B和C给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的[22]
错析 将[2r]代入公式，有[v=2v，F=12F]，[F=14F]，选择A，B，C项.
A，B，C项中的三个公式是正确的，但使用过程中A，B项的公式用错了. A项中的[v=ωr]是在[ω]一定时[ω∝r]，B项中的[F=mv2r]是在[v]一定时[F∝1r]，而[r]的变化将引起[ω]，[v]的变化. 因此就不存丰[3v∝r]和[F∝1r]的结论. A，B项错误.
解析 A选项中线速度与半径成正比是在角速度一定的情况下. 而[r]变化时，角速度也变化. 所以A选项错. 同理对B选项，[F∝1r2]是在[v]一定时，但此时[v]变化，故B选项错. 而C选项中[G]、[M、m]都是恒量，所以[F∝1r2]，即[r=2r]时，[F=14F]，C项正确. 结合B，C项和[mv2r=GMmr2]，可以得出[v2=GMr]，[v∝1r]，故[v=22r]，D项正确.
答案 CD
小结 物理公式反映物理规律，我们同学往往不加理解而死记硬背. 其实在使用中应在理解的基础上加以记忆，不仅要知道使用条件，还要知道来龙去脉.
例2 从地球上发射的两颗人造地球卫星[A]和[B]，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为[RA∶RB]=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比.
错析 卫星绕地球做匀速圆周运动所需的向心力
[F向=mg=mv2R]
设[A，B]两颗卫星的质量分别为[mA，mB]，有
[mAg=mAv2ARA] ①
[mBg=mBv2BRB] ②
由式①②得[vA2vB2=RARB]
因[vAvB=RARB=41=2]
又因[T=2πRv]
故[TATB=RARB×vBvA=4×12=2]
这里错在没有考虑重力加速度与高度有关.
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
对[A]：[FA向=GM地mARA2=mAvA2RA] ③
对[B]：[FB向=GM地mBRB2=mBvB2RB] ④
③÷④得[vA2vB2=RBRA]
故[vAvB=RBRA=12]
根据[TA=2πRAvA]， [TB=2πRBvB]
可知[TATB=vBvA×RARB=21×41=8]
小结 在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看作恒量. 但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，[g]值是改变的.
[ 情景不明]
例3 如图所示，同步卫星离地心距离为[r]，运行速率为[v1]，加速度为[a1]；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为[a2]，第一宇宙速度为[v2]，地球半径为[R]，则下列比值正确的是（ ） [ 同步卫星]
A. [a1a2]=[rR] B. [a1a2]=[（Rr）2]
C. [v1v2]=[rR] D. [v1v2]=[Rr]
错析 解本题容易犯的错误是思维定势，对三物体均由公式[GMmr2=ma=mv2r]分析得出结论. 对卫星，是万有引力提供向心力，而赤道上的物体除受万有引力外，还受到地面对它的支持力，即引力和支持力的合力提供物体做圆周运动的向心力，所以公式[GMmr2=ma]对赤道上的物体不适用.
解析 对于卫星，共同特点是万有引力提供向心力，有[GMmr2=mv2r]，故[v1v2]=[Rr]，D项正确.
对于同步卫星和地球赤道上的物体，共同特点是角速度相等，有[a=ω2r]，故[a1a2]=[rR]，A项正确.
答案 AD
例4 理论证明，取离星球中心无穷远处为引力势能的零势能点时，物体在距离星中心为[r]处的引力势能可表示为：[Ep=-GMmr]，式中G为万有引力常数，M、m表示星与物体的质量，而万有引力做的正功等于引力势能的减少. 已知月球月球质量为M，半径为R，探月飞船的总质量为m，月球表面的重力加速度为g.设飞船从月球表面发送到上述环月轨道的能量至少为W，求此能量W. （不计飞船质量的变化及其他天体的引力）
错析 根据[W=12mv2+mgH]，将求得的绕月速度[v]代入即可. 此种算法不正确，其一该解法将月球表面的重力加速度当作不变，其实只在很靠近月球表面时可以作此处理，如果高度变化大，引力有很大的变化；其二飞船从月球表面发送到环月轨道的能量应是在两处能量的差值，在月球赤道上顺时针旋转方向射出时做功最少，做功值为两处机械能值之差
[W=12mv2+（-GMmR+H）-12mv20+（-GMmR）]
[W=12mv2-GMmR+H-12mv20+GMmR]
解析 由飞船绕月球运动的万有引力提供向心力，有飞船在距月球表面[H（H>R3）]高的环月轨道运行时的速度[v]，由[GMm（R+H）2=mv2（R+H）]，有[v=GMR+H]
可知[Ek=12mv2=GMm2（R+H）]，又[Ek0=12mv20]趋近于0
则[W=GMm2（R+H）-GMmR+H+GMmR=GMm（R+2H）2R（R+H）]
例1 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）
A. 根据公式[v=ωr]，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍
B. 根据公式[F=mv2r]，可知卫星所需的向心力将减小到原来的[12]
C. 根据公式[F=GMmr2]，可知地球提供的向心力将减小到原来的[14]
D. 根据选项B和C给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的[22]
错析 将[2r]代入公式，有[v=2v，F=12F]，[F=14F]，选择A，B，C项.
A，B，C项中的三个公式是正确的，但使用过程中A，B项的公式用错了. A项中的[v=ωr]是在[ω]一定时[ω∝r]，B项中的[F=mv2r]是在[v]一定时[F∝1r]，而[r]的变化将引起[ω]，[v]的变化. 因此就不存丰[3v∝r]和[F∝1r]的结论. A，B项错误.
解析 A选项中线速度与半径成正比是在角速度一定的情况下. 而[r]变化时，角速度也变化. 所以A选项错. 同理对B选项，[F∝1r2]是在[v]一定时，但此时[v]变化，故B选项错. 而C选项中[G]、[M、m]都是恒量，所以[F∝1r2]，即[r=2r]时，[F=14F]，C项正确. 结合B，C项和[mv2r=GMmr2]，可以得出[v2=GMr]，[v∝1r]，故[v=22r]，D项正确.
答案 CD
小结 物理公式反映物理规律，我们同学往往不加理解而死记硬背. 其实在使用中应在理解的基础上加以记忆，不仅要知道使用条件，还要知道来龙去脉.
例2 从地球上发射的两颗人造地球卫星[A]和[B]，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为[RA∶RB]=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比.
错析 卫星绕地球做匀速圆周运动所需的向心力
[F向=mg=mv2R]
设[A，B]两颗卫星的质量分别为[mA，mB]，有
[mAg=mAv2ARA] ①
[mBg=mBv2BRB] ②
由式①②得[vA2vB2=RARB]
因[vAvB=RARB=41=2]
又因[T=2πRv]
故[TATB=RARB×vBvA=4×12=2]
这里错在没有考虑重力加速度与高度有关.
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
对[A]：[FA向=GM地mARA2=mAvA2RA] ③
对[B]：[FB向=GM地mBRB2=mBvB2RB] ④
③÷④得[vA2vB2=RBRA]
故[vAvB=RBRA=12]
根据[TA=2πRAvA]， [TB=2πRBvB]
可知[TATB=vBvA×RARB=21×41=8]
小结 在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看作恒量. 但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，[g]值是改变的.
例3 如图所示，同步卫星离地心距离为[r]，运行速率为[v1]，加速度为[a1]；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为[a2]，第一宇宙速度为[v2]，地球半径为[R]，则下列比值正确的是（ ） [ 同步卫星]
A. [a1a2]=[rR] B. [a1a2]=[（Rr）2]
C. [v1v2]=[rR] D. [v1v2]=[Rr]
错析 解本题容易犯的错误是思维定势，对三物体均由公式[GMmr2=ma=mv2r]分析得出结论. 对卫星，是万有引力提供向心力，而赤道上的物体除受万有引力外，还受到地面对它的支持力，即引力和支持力的合力提供物体做圆周运动的向心力，所以公式[GMmr2=ma]对赤道上的物体不适用.
解析 对于卫星，共同特点是万有引力提供向心力，有[GMmr2=mv2r]，故[v1v2]=[Rr]，D项正确.
对于同步卫星和地球赤道上的物体，共同特点是角速度相等，有[a=ω2r]，故[a1a2]=[rR]，A项正确.
答案 AD
例4 理论证明，取离星球中心无穷远处为引力势能的零势能点时，物体在距离星中心为[r]处的引力势能可表示为：[Ep=-GMmr]，式中G为万有引力常数，M、m表示星与物体的质量，而万有引力做的正功等于引力势能的减少. 已知月球月球质量为M，半径为R，探月飞船的总质量为m，月球表面的重力加速度为g.设飞船从月球表面发送到上述环月轨道的能量至少为W，求此能量W. （不计飞船质量的变化及其他天体的引力）
错析 根据[W=12mv2+mgH]，将求得的绕月速度[v]代入即可. 此种算法不正确，其一该解法将月球表面的重力加速度当作不变，其实只在很靠近月球表面时可以作此处理，如果高度变化大，引力有很大的变化；其二飞船从月球表面发送到环月轨道的能量应是在两处能量的差值，在月球赤道上顺时针旋转方向射出时做功最少，做功值为两处机械能值之差
[W=12mv2+（-GMmR+H）-12mv20+（-GMmR）]
[W=12mv2-GMmR+H-12mv20+GMmR]
解析 由飞船绕月球运动的万有引力提供向心力，有飞船在距月球表面[H（H>R3）]高的环月轨道运行时的速度[v]，由[GMm（R+H）2=mv2（R+H）]，有[v=GMR+H]
可知[Ek=12mv2=GMm2（R+H）]，又[Ek0=12mv20]趋近于0
则[W=GMm2（R+H）-GMmR+H+GMmR=GMm（R+2H）2R（R+H）]