论文部分内容阅读
最近几年的中考试卷中,出现了这样一类综合性很强的压轴题:就是在几何图形中,通过点、线段或者是几何图形的运动,引发出运动时间与线段、运动时间与图形的面积或者是线段与线段、线段与图形之间的函数关系。这类问题的一般要求是:确定两个变量之间的函数关系式,并要求写出自变量的取值范围,或者是求几何图形面积的最(大或小)值。这类问题涉及的知识面广,解法灵活,不仅注重基础知识的考查,更注重对数学方法和应用能力的考查。下面就从近年的中考试卷中选取几例进行赏析。
例1 (吉林省) 如图1,在边长为8 cm的正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,它们分别从点A、点C同时出发,沿对角线以1cm/s的速度运动,过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H,过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G,连结HG、EB,设HE、EF、FG、GH围成的图形的面积为S1,AE、EB、BA围成的图形的面积为S2(这里规定:线段的面积为0),E到达C,F到达A停止,若E的运动时间为x秒,解答下列问题:
(1)当0 (2)①若y是S1与S2的和,求y与x之间的函数关系式;②求y的最大值。
解:(1) 以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形。
∵AD=DC=8 ,在Rt△ACD中,由勾股定理得AC=16.
当点E运动x秒时,AE=CF=x,EF=16-2x,而AE=EH=x.
∴S1=x(16-x)=-2x2+16x.
作EM⊥AB于M,如图1所示,在Rt△AME中,由∠MEA=45°得EM= x.
∴S2= ×8 × x=4x,由S1=S2得-2x2+16x=4x,得x1=0(舍去),x2=6,所以x=6时S1=S2.
(1)①当0≤x<8时,如图1所示,y=S1+S2=-2x2+16x+4x=-2x2+20x.
当8≤x≤16时,如题2所示,此时AE=x,CE=EH=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16.
∴S1=(16-x)(2x-16),y=S1+S2=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-156.
②当0≤x<8时,y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50,当x=5时,yz最大值=50.
当8≤x≤16时,y=-2x2+52x-156=-(x-13)2+82,当x=13时,y最大值=82.
综上所述,y有最大值为82.
评注:本例是通过点的运动引发出时间与图形面积之间的函数关系.这类问题的一般特点是几何问题代数解法,是对代数、几何知识与能力的综合考查.解这类问题的关键是明确点运动的方向、速度和路程,用含有时间变量的代数式表示相关的量(如线段的长度,图形的面积等),再根据题目的要求,列方程或函数关系解决问题.
例2 (东营市) 如图3,在锐角三角形ABC中,△ABC的面积为48,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
(2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求y的最大值.
解:(1) 当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图4,过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴ ,而AN=AM-MN=AM-DE.
∴ ,解之得DE=4.8.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8.
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC内部时,如图3,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积.
∵DE=x,∴y=x2,此时x的取值范围是0 ②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,如图5,设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,△ABC的高AM交DE于N.
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ .
而AN=AM-MN=AM-EP,∴ ,解得EP=8- x.∴y=x(8- x)=- x2+8x,此时x的取值范围是4.8 综上所述,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y= .
当0 因为24>23.04,所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
评析:本例是通过线段的运动引发出线段与几何图形面积之间的函数关系,重点是第(2)问,难点是第(2)问的第②情况.突破这一难点的关键是用含变线段DE(即x)表示线段EP(即MN),本问是通过相似三角形及其性质来实现的.解这类问题要周密思考,不能漏掉任何一种情况,同时还要搞清动线段的运动范围,即自变量的取值范围.
例3 (烟台市) 如图6,△ABC中,AB=AC,BC=6,点D为BC的中点,连结AD,AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
(1)试判断四边形ADCE的形状并说明理由;
(2)将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移,设平移时间为t(0≤t≤6)秒,平移后的四边形A1D1C1E1与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数表达式,并写出相应的t的取值范围.
解:(1)∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
又∵AE评分∠CAM,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= ×180°=90°,∴∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.
(2)平移过程中有两种不同情况:
①当0≤t<3时,重叠部分为五边形,如图7所示.
设C1E1与AC交于点P,A1D1与AB交于点Q.∵A1E1∥BC,∴△CC1P∽△AE1P∽△AA1Q.
∴ .
∵A1E1=3,AE1=3-t,AA1=t,∴E1P= AE1= (3-t),A1Q= AA1= t.
∴S=S矩形A1D1C1E1-S△AA1Q-SAE1P=3×4- AA1·A1Q - AE1·E1P=12- t· t- (3-t)· (3-t)=- t2+4t+6.
②当3≤t≤6时,重叠部分为三角形,如图8所示.
设AB与C1E1交于点R,∵C1E1∥AD,∴△BC1R∽△BDA,∴C1R/BC1=AD/BD=4/3.
∵BC1=6-t,∴C1R= BC1= (6-t).
∴S=S△BC1R= BC1·C1R= (6-t)× (6-t)= .
综上所述,S关于t的函数表达式为S= .
评析:本例是通过矩形ADCE的运动,引发出时间与图形面积之间的函数关系,在解本例时要充分考虑到,当矩形ADCE按要求运动时,该矩形与△ABC重叠部分的图形的变化情况,只有掌握了重叠部分是什么几何图形,求解时才能有的放矢。至于图形的面积,可用各种几何图形的面积公式求解,或者通过图形面积的加减来达到解题的目的。
例1 (吉林省) 如图1,在边长为8 cm的正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,它们分别从点A、点C同时出发,沿对角线以1cm/s的速度运动,过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H,过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G,连结HG、EB,设HE、EF、FG、GH围成的图形的面积为S1,AE、EB、BA围成的图形的面积为S2(这里规定:线段的面积为0),E到达C,F到达A停止,若E的运动时间为x秒,解答下列问题:
(1)当0
解:(1) 以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形。
∵AD=DC=8 ,在Rt△ACD中,由勾股定理得AC=16.
当点E运动x秒时,AE=CF=x,EF=16-2x,而AE=EH=x.
∴S1=x(16-x)=-2x2+16x.
作EM⊥AB于M,如图1所示,在Rt△AME中,由∠MEA=45°得EM= x.
∴S2= ×8 × x=4x,由S1=S2得-2x2+16x=4x,得x1=0(舍去),x2=6,所以x=6时S1=S2.
(1)①当0≤x<8时,如图1所示,y=S1+S2=-2x2+16x+4x=-2x2+20x.
当8≤x≤16时,如题2所示,此时AE=x,CE=EH=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16.
∴S1=(16-x)(2x-16),y=S1+S2=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-156.
②当0≤x<8时,y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50,当x=5时,yz最大值=50.
当8≤x≤16时,y=-2x2+52x-156=-(x-13)2+82,当x=13时,y最大值=82.
综上所述,y有最大值为82.
评注:本例是通过点的运动引发出时间与图形面积之间的函数关系.这类问题的一般特点是几何问题代数解法,是对代数、几何知识与能力的综合考查.解这类问题的关键是明确点运动的方向、速度和路程,用含有时间变量的代数式表示相关的量(如线段的长度,图形的面积等),再根据题目的要求,列方程或函数关系解决问题.
例2 (东营市) 如图3,在锐角三角形ABC中,△ABC的面积为48,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
(2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求y的最大值.
解:(1) 当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图4,过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴ ,而AN=AM-MN=AM-DE.
∴ ,解之得DE=4.8.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8.
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC内部时,如图3,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积.
∵DE=x,∴y=x2,此时x的取值范围是0
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ .
而AN=AM-MN=AM-EP,∴ ,解得EP=8- x.∴y=x(8- x)=- x2+8x,此时x的取值范围是4.8
当0
评析:本例是通过线段的运动引发出线段与几何图形面积之间的函数关系,重点是第(2)问,难点是第(2)问的第②情况.突破这一难点的关键是用含变线段DE(即x)表示线段EP(即MN),本问是通过相似三角形及其性质来实现的.解这类问题要周密思考,不能漏掉任何一种情况,同时还要搞清动线段的运动范围,即自变量的取值范围.
例3 (烟台市) 如图6,△ABC中,AB=AC,BC=6,点D为BC的中点,连结AD,AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
(1)试判断四边形ADCE的形状并说明理由;
(2)将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移,设平移时间为t(0≤t≤6)秒,平移后的四边形A1D1C1E1与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数表达式,并写出相应的t的取值范围.
解:(1)∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
又∵AE评分∠CAM,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= ×180°=90°,∴∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.
(2)平移过程中有两种不同情况:
①当0≤t<3时,重叠部分为五边形,如图7所示.
设C1E1与AC交于点P,A1D1与AB交于点Q.∵A1E1∥BC,∴△CC1P∽△AE1P∽△AA1Q.
∴ .
∵A1E1=3,AE1=3-t,AA1=t,∴E1P= AE1= (3-t),A1Q= AA1= t.
∴S=S矩形A1D1C1E1-S△AA1Q-SAE1P=3×4- AA1·A1Q - AE1·E1P=12- t· t- (3-t)· (3-t)=- t2+4t+6.
②当3≤t≤6时,重叠部分为三角形,如图8所示.
设AB与C1E1交于点R,∵C1E1∥AD,∴△BC1R∽△BDA,∴C1R/BC1=AD/BD=4/3.
∵BC1=6-t,∴C1R= BC1= (6-t).
∴S=S△BC1R= BC1·C1R= (6-t)× (6-t)= .
综上所述,S关于t的函数表达式为S= .
评析:本例是通过矩形ADCE的运动,引发出时间与图形面积之间的函数关系,在解本例时要充分考虑到,当矩形ADCE按要求运动时,该矩形与△ABC重叠部分的图形的变化情况,只有掌握了重叠部分是什么几何图形,求解时才能有的放矢。至于图形的面积,可用各种几何图形的面积公式求解,或者通过图形面积的加减来达到解题的目的。