欧几里德公理体系建立以来，几何与演绎推理论证结下了不解之缘，几何教学培养推理能力的这种价值一直都得到了人们的重视，事实上，推理既有演绎推理，又有合情推理. 数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳与类比．”因而我们对这两种合情推理给予了特别重视.
　　 我们认为数学创造过程中需要合情推理、需要猜想，数学学习中就必须有猜想，必须为发明作准备，或者至少给一点发明的尝试. 对于一个想以数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于一般学生来说，也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要.
　　 怎样教猜想？怎样教合情推理？教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去独立实践，在实践中发展合情推理能力．教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，并得到猜想．
　　
　　 一、数
　　
　　 例１ 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据， ， ，… 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门.请你按这种规律写出第七个数据是．
　　 推广 第ｎ个数据是．
　　 练１ 找规律，填空：－７，３，－４，－１， ，－６，－１１．
　　 练２ 观察下面的几个算式：
　　１ ＋ ２ ＋ １ ＝ ４，
　　１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ９，
　　１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＝ １６，
　　１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ４ ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ２５，
　　 …
　　 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
　　 １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ … ＋ ９９ ＋ １００ ＋ ９９ ＋ … ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ．
　　 练３ 观察下列等式（等式中的“！”是一种数学运算符号）：１！＝１，２！＝２ × １，３！＝３ × ２ × １，４！＝４ × ３ × ２ × １，…. 计算：８！＝．（填结果）
　　 例２ 阅读材料，数学家高斯在读书时曾经研究过这样一个问题：１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ … ＋ １００ ＝ ？经过研究，这个问题的一般性结论是１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ … ＋ ｎ ＝ｎ（ｎ ＋ １），其中ｎ是正整数. 现在我们来研究一个类似的问题：１ × ２ ＋ ２ × ３ ＋ … ＋ ｎ（ｎ ＋ １） ＝ ？观察下面三个特殊的等式： １ × ２ ＝（１ × ２ × ３ － ０ × １ × ２）；
　　 ２ × ３ ＝（２ × ３ × ４ － １ × ２ × ３）；
　　 ３ × ４ ＝（３ × ４ × ５ － ２ × ３ × ４）.
　　 将这三个等式的两边相加，可以得到１ × ２ ＋ ２ × ３ ＋ ３ × ４ ＝ × ３ × ４ × ５ ＝ ２０. 读完这段材料，请你思考后回答：（只需写出结果，不必写中间的过程）
　　 （１） １ × ２ ＋ ２ × ３ ＋ … ＋ １００ × １０１ ＝.
　　 （２） １ × ２ ＋ ２ × ３ ＋ … ＋ ｎ（ｎ ＋ １） ＝.
　　 （３） １ × ２ × ３ ＋ ２ × ３ × ４ ＋ … ＋ ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）＝.
　　
　　 二、图
　　
　　 例１ 图（１）是边长为１的正三角形，将此三角形的每一边三等分， 以其居中的那一条线段为底边作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第二个图形，重复上述作法得第三个图形，如此继续下去，得到的第五个图形的周长为 ．
　　
　　 练１ 柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见下图：
　　 第一层有2 × 3 听罐头，
　　 第二层有3 × 4听罐头，
　　 第三层有4 × 5听罐头，…
　　 根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有听罐头（用含n 的式子表示）．
　　 练２ 为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
　　
　　 按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 （）.
　　 Ａ． 2 + 6n Ｂ． 8 + 6n Ｃ． 4 + 4n Ｄ． 8n
　　 练３ 下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式是 ．
　　
　　 练４ 如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”