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概率与统计是高中数学与实际生活联系最紧密的部分，是高考必考的重要内容之一. 下面我们通过对概率统计题型进行归类整理，来分析高考对本知识点的命题方向，通过透视命题信息，帮助同学们科学高效地对概率统计知识进行整体理解和把握.
一、概率的基本题型
概率部分主要包括古典概型、几何概型和条件概率的计算等，考查的形式新颖灵活，应用力度较强.
1．古典概型
例1 5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（ ）
A．[35] B．[25] C．[34] D．[23]
分析 先列出从5张卡片中随机抽取2张的所有可能情况，得到基本事件总数和2张卡片上数字之和为奇数的事件数，再利用古典概型的公式计算其概率.
点拨 古典概型表示的是基本事件个数有限，且每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，解答此类问题的关键是正确计算基本事件的个数及所求事件的个数.古典概型的概率求法是：如果一次试验中基本事件共有[n]个，那么每一个基本事件发生的概率都是[1n]，若某个事件[A]包含了其中的[m]个基本事件，那么事件[A]发生的概率为[P(A)=mn].
2．几何概型
例2 设不等式组[-2≤x≤2-2≤y≤2]表示的区域为[W]，圆[C:(x-2)2+y2=4]及其内部区域记为[D]，若向区域[W]内投入一点，则该点落在区域[D]内的概率为 ．
分析 先分别求出区域[W]的面积和圆[C]及其内部区域与平面区域[W]的公共区域的面积，再利用几何概型的公式计算其概率．
解 依题意得平面区域[W]的面积等于[(2+2)2=16]，圆[C]及其内部区域与平面区域[W]的公共区域的面积等于[12×(π×22)=2π]，因此该点落在区域[D]内的概率[P=2π16=π8]. 故填[π8]．
点拨 几何概型中，每个事件发生的概率只与构成该事件的长度（面积或体积）成比例，随机事件的几何意义可能是线段、角、封闭图形、曲线等，因此把握其几何意义才能正确解决问题．在几何概型中，事件[A]的概率计算公式是[P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).]
3．条件概率
例3 箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ）
A．[16625] B．[96625] C．[624625] D．[4625]
分析 先求出一次摸球能获奖的概率，再计算4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率．
解 两球号码之积是4的倍数包括下面6种基本事件：[(1,4)]，[(2,4)]，[(3,4)]，[(5,4)]，[(6,4)]，[(2,6)]，故一次摸球能够获奖的概率为[P1=6C26=25]．于是4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率[P2=C34⋅(25)3⋅(1-25)][=96625]．故选B．
点拨 利用概率的公式求解概率问题时，必须首先判断和理解事件间的关系，如判断事件是互斥事件还是对立事件等，然后才能应用相应的公式（加法公式、乘法公式）计算概率．独立重复试验的概率公式[Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k]表示的意义是[n]次独立重复试验中某事件[A]恰好发生[k]次的概率．
二、统计的基本模型
统计部分主要考查三种抽样方法、用样本估计总体、正态分布和变量的相关性等，题型的知识面广，且新课标高考有关统计的试题量有增加的趋势．
1．随机抽样
例4 当前，国家正在分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．统计数据表示，甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭[180]户、[150]户、[90]户，若第一批经济适用房中有[70]套用于解决这三个社区中[70]户低收入家庭的住房问题，现采用分层抽样的方法决定各社区的户数，则应从甲社区中抽取的低收入家庭的户数为 ．
分析 先求出三个社区的对应比例，再计算从甲社区中抽取的低收入家庭的户数．
解 依题意，甲、乙、丙三个社区低收入家庭户数的对应比例为[180∶150∶90=6∶5∶3]，则采用分层抽样法，应从甲社区中抽取的低收入家庭的户数为[66+5+3×70=30]（户）．故填
点拨 随机抽样有三种形式：简单的随机抽样、系统抽样和分层抽样，当总体由差异明显的几部分组成时，统计学上一般采用分层抽样的方法．用分层抽样从个体数为[N]的总体中抽取一个容量为[n]的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于[nN]．
2．频率分布
例5 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），得到样本的频率分布直方图（如图所示），则重量超过505克的产品数量有（ ）
分析 根据样本的频率分布直方图，先求出40件中重量超过505克的概率，再计算对应的产品数量．
解 重量超过505克的产品概率为[(0.05+0.01)][×5=0.3]，则40克产品中重量超过505克的产品数量是[40×0.3=12]（件）．故选C．
点拨 频率分布问题的求解，关键是读懂频率分布直方图，会计算概率以及样本中的数据．对频率分布直方图的理解：①小长方形的面积[=组距×频率组距]；②各小长方形面积之和等于[1]；③小长方形的高[=频率组距]，所有小长方形的高的和为[1组距]．
3．正态分布
例6 已知随机变量[ξ]服从正态分布[N(1,σ2)]，[P(ξ≤4)=0.84]，则[P(ξ≤-2)]等于（ ）
A．[0.16] B．[0.32] C．[0.68] D．[0.84]
分析 从随机变量[ξ∼N(1,σ2)]知[μ=1]，即正态分布图关于直线[x=1]对称，从而可利用数形
点拨 正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象如长度测量误差、正常生产条件下各种产品质量指标等都近似地服从正态分布．正态分布对应正态曲线，正态曲线关于直线[x=μ]对称，且在关于直线[x=μ]对称的区间上概率相等，因此，在解相关概率问题时，若结合正态曲线的对称性求解，可使解题方法简捷直观．
三、概率统计综合题
作为数学的应用性,新课标高考非常重视对概率统计的考查，研究离散型随机变量的分布列和期望、统计案例等，成为命制概率统计解答题的常见题型．理解概率的意义，读懂统计图表的含义，是求解概率统计综合问题的前提．
例7 某校一课题小组对本市工薪阶层对于“楼市限购令”态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布表及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
（2）若从收入（单位：百元）在[15,25]的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，求选中的[2]人恰好有[1]人不赞成“楼市限购令”的概率.
分析 第（1）问根据频数分布表，统计各组的频率，即可完成频率分布直方图和[2×2]列联表；第（2）问是古典概型的模型，列举出收入在[15,25]的选取两人的各种组合数和恰好
于是，选中的[2]人恰好有[1]人不赞成“楼市限购令”的概率[P=410=25].
点拨 本题主要考查图表数据的归类理解能力和处理数据的能力，其中画频率分布直方图，填写[2×2]列联表是统计案例的基本应用.统计案例是新课标高考新增加的一类考题，其中独立重复试验和线性回归分析等成为命题的一种趋势.
一、概率的基本题型
概率部分主要包括古典概型、几何概型和条件概率的计算等，考查的形式新颖灵活，应用力度较强.
1．古典概型
例1 5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（ ）
A．[35] B．[25] C．[34] D．[23]
分析 先列出从5张卡片中随机抽取2张的所有可能情况，得到基本事件总数和2张卡片上数字之和为奇数的事件数，再利用古典概型的公式计算其概率.
点拨 古典概型表示的是基本事件个数有限，且每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，解答此类问题的关键是正确计算基本事件的个数及所求事件的个数.古典概型的概率求法是：如果一次试验中基本事件共有[n]个，那么每一个基本事件发生的概率都是[1n]，若某个事件[A]包含了其中的[m]个基本事件，那么事件[A]发生的概率为[P(A)=mn].
2．几何概型
例2 设不等式组[-2≤x≤2-2≤y≤2]表示的区域为[W]，圆[C:(x-2)2+y2=4]及其内部区域记为[D]，若向区域[W]内投入一点，则该点落在区域[D]内的概率为 ．
分析 先分别求出区域[W]的面积和圆[C]及其内部区域与平面区域[W]的公共区域的面积，再利用几何概型的公式计算其概率．
解 依题意得平面区域[W]的面积等于[(2+2)2=16]，圆[C]及其内部区域与平面区域[W]的公共区域的面积等于[12×(π×22)=2π]，因此该点落在区域[D]内的概率[P=2π16=π8]. 故填[π8]．
点拨 几何概型中，每个事件发生的概率只与构成该事件的长度（面积或体积）成比例，随机事件的几何意义可能是线段、角、封闭图形、曲线等，因此把握其几何意义才能正确解决问题．在几何概型中，事件[A]的概率计算公式是[P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).]
3．条件概率
例3 箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ）
A．[16625] B．[96625] C．[624625] D．[4625]
分析 先求出一次摸球能获奖的概率，再计算4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率．
解 两球号码之积是4的倍数包括下面6种基本事件：[(1,4)]，[(2,4)]，[(3,4)]，[(5,4)]，[(6,4)]，[(2,6)]，故一次摸球能够获奖的概率为[P1=6C26=25]．于是4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率[P2=C34⋅(25)3⋅(1-25)][=96625]．故选B．
点拨 利用概率的公式求解概率问题时，必须首先判断和理解事件间的关系，如判断事件是互斥事件还是对立事件等，然后才能应用相应的公式（加法公式、乘法公式）计算概率．独立重复试验的概率公式[Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k]表示的意义是[n]次独立重复试验中某事件[A]恰好发生[k]次的概率．
二、统计的基本模型
统计部分主要考查三种抽样方法、用样本估计总体、正态分布和变量的相关性等，题型的知识面广，且新课标高考有关统计的试题量有增加的趋势．
1．随机抽样
例4 当前，国家正在分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．统计数据表示，甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭[180]户、[150]户、[90]户，若第一批经济适用房中有[70]套用于解决这三个社区中[70]户低收入家庭的住房问题，现采用分层抽样的方法决定各社区的户数，则应从甲社区中抽取的低收入家庭的户数为 ．
分析 先求出三个社区的对应比例，再计算从甲社区中抽取的低收入家庭的户数．
解 依题意，甲、乙、丙三个社区低收入家庭户数的对应比例为[180∶150∶90=6∶5∶3]，则采用分层抽样法，应从甲社区中抽取的低收入家庭的户数为[66+5+3×70=30]（户）．故填
点拨 随机抽样有三种形式：简单的随机抽样、系统抽样和分层抽样，当总体由差异明显的几部分组成时，统计学上一般采用分层抽样的方法．用分层抽样从个体数为[N]的总体中抽取一个容量为[n]的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于[nN]．
2．频率分布
例5 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），得到样本的频率分布直方图（如图所示），则重量超过505克的产品数量有（ ）
分析 根据样本的频率分布直方图，先求出40件中重量超过505克的概率，再计算对应的产品数量．
解 重量超过505克的产品概率为[(0.05+0.01)][×5=0.3]，则40克产品中重量超过505克的产品数量是[40×0.3=12]（件）．故选C．
点拨 频率分布问题的求解，关键是读懂频率分布直方图，会计算概率以及样本中的数据．对频率分布直方图的理解：①小长方形的面积[=组距×频率组距]；②各小长方形面积之和等于[1]；③小长方形的高[=频率组距]，所有小长方形的高的和为[1组距]．
3．正态分布
例6 已知随机变量[ξ]服从正态分布[N(1,σ2)]，[P(ξ≤4)=0.84]，则[P(ξ≤-2)]等于（ ）
A．[0.16] B．[0.32] C．[0.68] D．[0.84]
分析 从随机变量[ξ∼N(1,σ2)]知[μ=1]，即正态分布图关于直线[x=1]对称，从而可利用数形
点拨 正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象如长度测量误差、正常生产条件下各种产品质量指标等都近似地服从正态分布．正态分布对应正态曲线，正态曲线关于直线[x=μ]对称，且在关于直线[x=μ]对称的区间上概率相等，因此，在解相关概率问题时，若结合正态曲线的对称性求解，可使解题方法简捷直观．
三、概率统计综合题
作为数学的应用性,新课标高考非常重视对概率统计的考查，研究离散型随机变量的分布列和期望、统计案例等，成为命制概率统计解答题的常见题型．理解概率的意义，读懂统计图表的含义，是求解概率统计综合问题的前提．
例7 某校一课题小组对本市工薪阶层对于“楼市限购令”态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布表及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
（2）若从收入（单位：百元）在[15,25]的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，求选中的[2]人恰好有[1]人不赞成“楼市限购令”的概率.
分析 第（1）问根据频数分布表，统计各组的频率，即可完成频率分布直方图和[2×2]列联表；第（2）问是古典概型的模型，列举出收入在[15,25]的选取两人的各种组合数和恰好
于是，选中的[2]人恰好有[1]人不赞成“楼市限购令”的概率[P=410=25].
点拨 本题主要考查图表数据的归类理解能力和处理数据的能力，其中画频率分布直方图，填写[2×2]列联表是统计案例的基本应用.统计案例是新课标高考新增加的一类考题，其中独立重复试验和线性回归分析等成为命题的一种趋势.