论文部分内容阅读
数形结合是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题方法.如何将抽象的数与直观的形有机地联系起来，使问题获得解决，这是需要认真探究的课题.
图1
一、 注意探究数、形联系的规律
例1 （2011广西桂林）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图1，y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是 .
剖析 双曲线y=kx中，k的几何意义是什么？由双曲线上任一点（x,y）的坐标满足xy=k,双曲线上任一点到坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形面积为|x|·|y|=|xy|，这就是说|k|的几何意义是双曲线上任一点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的矩形的面积.
本题中S△AOB=S△OBC-S△OAC=k2-42=1，解得k=6,所以y2=6x.
图2
例2 （2011陕西）如图2，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-4x和y=2x的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
剖析 由于AB∥x轴，利用等积性知S△ABC=S△ABO，连接AO、BO，由k的几何意义，有S△BPO=22=1，S△PAO=|-4|2=2，所以S△ABC=3.
点评 掌握一些数、形联系的规律，常能给解题带来便捷，尤其对填空题、选择题.
图3
二、 抓住图形的特殊性
例3 （2011江苏南京）如图3，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是
（ ）
A. 22 B. 2+2
C. 23 D. 2+3
剖析 a是P点的纵坐标，过P作PD⊥x轴于D，那么PD=a.注意到直线y=x是第一象限的角平分线，∠AOD=45°，设PD与OA交于E点，则DE=OD=xP=2.求PD就转化为求PE.由垂径定理，过P作PC⊥AB于C，得弦心距PC=22-（3）2=1.由于∠PEC=∠OED=45°,△PCE为等腰直角三角形，得PE=2PC=2.所求a值为2+2.
图4
点评 抓住特殊角45°，简化了解题过程，也使计算更为便捷.
例4 （2011广东深圳）如图4，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为y=12x-1,则tanA的值是 .
剖析 由题意知△BOC为等腰直角三角形，BO为∠ABC的平分线，得∠ABO=45°，所以∠ABC=90°，tanA=BCAB.由于BC=2OC=22，问题归结于求AB.过A作AF⊥y轴于F，注意到∠BAF=45°，有AF=BF，AB=2AF.易知AC与y轴的交点E（-1，0），△OCE∽△FAE，可得AFEF=OCOE=21，则AF=2EF，又BE=2+1=3，所以AF=6，tanA=BCAB=OCAF=26=13.
求AF之长也可以利用直线AC的方程，由于直线AC的方程y=12x-1是已知的，可假设Aa，12a-1，考虑坐标与线段长之间的联系，有AF=-a，OF=-12a-1.由AF=BF，得-a=-12a-1+2,12a=-3,a=-6，所以AF=6.
点评 再次体会特殊角在解题中的作用.由于灵活运用坐标与线段长的关系（数与形的联系），简化了解题过程，这比求AB的方程，再解方程组，求出A点的坐标要简单些.
三、 将抽象的数量关系转化为直观图象的性质问题
例5 （2011湖北黄冈）已知函数y=(x-1)2-1(x≤3)，
(x-5)2-1(x＞3)，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为
（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
剖析 理解题意，使y=k成立的x值恰好有三个，从“形”的角度来看，就是直线y=k与该函数的图象恰好有三个交点，这样借助于函数图象的直观性，问题将很快解决.
图5
如何作出该函数的图象呢？当x≤3时，该函数的图象与抛物线y=(x-1)2-1相同；而当x＞3时，该函数的图象与抛物线y=(x-5)2-1相同.作出函数的图象如图5，知k=3时，即y=3与函数图象恰好有三个交点，故选D.
例6 （2011陕西）若二次函数y=x2-6x+c的图象经过A（-1，y1),B(2,y2),C(3+2,y3)三点，则关于y1,y2,y3大小关系正确的是
（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2
C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2
剖析 y=x2-6x+c=(x-3)2+(c-9),抛物线的对称轴是x=3，开口向上.这时头脑中出现抛物线的大致形状，图形告诉你，
图6
到对称轴距离越小的点对应的y值越小，问题就很容易解决.如果你还达不到这种境界，那么作出函数y=(x-3)2的图象，比较A、B、C三点的纵坐标，得y1＞y3＞y2，这也是很好的方法.也许你认为，应该作出y(x-3)2+(c-9)的图象才对.事实上，y=(x-3)2+(c-9)可由y=(x-3)2通过向上（下）平移而得到，有无数条抛物线.但是图象上、下平移，图象上各点纵坐标的增加值相同，原来的大小关系保持不变.
点评 通过作出函数图象，利用图形的直观启示，问题迎刃而解，这就是数形结合的优势.本例如果将x值代入函数关系式，求出相应的y值，再比较y值的大小，也可解决，就是有点复杂了.
四、 将复杂的形转化为具体的数来研究
例7 （2011浙江宁波）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图7）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm,宽为n cm）的盒子底部（如图8），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图8中两块阴影部分周长的和是 （ ）
A. 4m cm B. 4n cmC. 2(m+n) cm D. 4(m-n) cm
图7
图8
剖析 粗看似乎难以下手，从选择支来看，问题的结果与小长方形卡片的长、宽无关.为此设小长方形的长为a,宽为b，图8中左下阴影部分的周长c1=2b+2(n-2a)，右上阴影部分的周长c2=4a+2(n-b),所求两块阴影部分的周长和为c1+c2=2b+2(n-2a)+4a+2(n-b)=2b+2n-4a+4a+2n-2b=4n,故选B.
点评 通过引进中间变量a、b来解决问题，在最终结果中，中间变量都被消去，这种巧设中间变量，巧妙消元的做法是解题的一种技巧.
图9
五、 运用几何推理，充分发挥图形的作用
例8 （2011湖北武汉）如图9，ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y=kx上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k= .
剖析 由四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，得S△ABE∶SABCD=1∶6，推出S△ABE∶S△ABD=1∶3，得AE∶AD=1∶3.过D作DG⊥x轴于G，DG∥OE，得AOAG=AEAD=13，有AG=3AO=3，OG=2，D点的横坐标xD=2;注意到CD 瘙 綊 AB，OB∥DG，过C作CF⊥DG于F，易证△DCF≌△BOA，得CF=AO=1，所以C点的横坐标xC=3.由于DG-FG=DF，而DF=BO=2，也就是yD-yC=2,点C、D在双曲线y=kx上，得kxD-kxC=2,即k2-k3=2,所以k=12.
点评 由面积比得到线段比，由相似、全等求出点D、C的横坐标，得纵坐标之间的联系，简明的几何推理，减少了计算量，提高了解题速度.
例9 （2011浙江杭州）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为 .
图10
剖析 点F在哪里？在直线l上，且到点A的距离等于AB，这就是说F是以A为圆心，AB长为半径的圆与直线l的交点，故有两点F1、F2.
注意到∠BAC=45°，l∥AB，∠BCA=90°，所以F1到BC、AC的距离相等，即F1D=F1G，且CG=F1D.设F1D=h1，在Rt△AF1G中，由勾股定理得h21+(1+h1)2=AF21=AB2=2,化简得2h21+2h1-1=0,因为h1＞0,所以h1=3-12.对于F2，如图10，设F2H=h2，在Rt△F2HA中，h22+(h2-1)2=AF22,解得h2=3+12.
--!> 点评 利用几何作图确定F点的位置，紧扣特殊角45°，充分利用角平分线的性质，简化了运算过程；而利用代数法，解方程求出点F到BC的距离，则充分发挥了“数”的作用.
此题也可以直线CA为x轴，直线CB为y轴，建立坐标系如图10，直线l的方程为y=-x，设F（a,-a),由A（1，0），FA2=（1-a)2+a2,又FA2=AB2=2，得（1-a)2+a2=2,解得a=1±32.F点到BC的距离即F点到y轴的距离，等于F点的横坐标a的绝对值，所以F到BC的距离为3+12，3-12.这样避免了对F点位置的讨论，解法更简明.
“数形结合”没有固定的程式，贵在针对具体问题进行具体分析，充分发挥数、形各自的优势，灵活运用；同时，在解题实践的过程中，不断反思，不断总结，能力才能不断提高.本文作为解题中的几点思考，供同学们参考.
图1
一、 注意探究数、形联系的规律
例1 （2011广西桂林）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图1，y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是 .
剖析 双曲线y=kx中，k的几何意义是什么？由双曲线上任一点（x,y）的坐标满足xy=k,双曲线上任一点到坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形面积为|x|·|y|=|xy|，这就是说|k|的几何意义是双曲线上任一点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的矩形的面积.
本题中S△AOB=S△OBC-S△OAC=k2-42=1，解得k=6,所以y2=6x.
图2
例2 （2011陕西）如图2，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-4x和y=2x的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
剖析 由于AB∥x轴，利用等积性知S△ABC=S△ABO，连接AO、BO，由k的几何意义，有S△BPO=22=1，S△PAO=|-4|2=2，所以S△ABC=3.
点评 掌握一些数、形联系的规律，常能给解题带来便捷，尤其对填空题、选择题.
图3
二、 抓住图形的特殊性
例3 （2011江苏南京）如图3，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是
（ ）
A. 22 B. 2+2
C. 23 D. 2+3
剖析 a是P点的纵坐标，过P作PD⊥x轴于D，那么PD=a.注意到直线y=x是第一象限的角平分线，∠AOD=45°，设PD与OA交于E点，则DE=OD=xP=2.求PD就转化为求PE.由垂径定理，过P作PC⊥AB于C，得弦心距PC=22-（3）2=1.由于∠PEC=∠OED=45°,△PCE为等腰直角三角形，得PE=2PC=2.所求a值为2+2.
图4
点评 抓住特殊角45°，简化了解题过程，也使计算更为便捷.
例4 （2011广东深圳）如图4，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为y=12x-1,则tanA的值是 .
剖析 由题意知△BOC为等腰直角三角形，BO为∠ABC的平分线，得∠ABO=45°，所以∠ABC=90°，tanA=BCAB.由于BC=2OC=22，问题归结于求AB.过A作AF⊥y轴于F，注意到∠BAF=45°，有AF=BF，AB=2AF.易知AC与y轴的交点E（-1，0），△OCE∽△FAE，可得AFEF=OCOE=21，则AF=2EF，又BE=2+1=3，所以AF=6，tanA=BCAB=OCAF=26=13.
求AF之长也可以利用直线AC的方程，由于直线AC的方程y=12x-1是已知的，可假设Aa，12a-1，考虑坐标与线段长之间的联系，有AF=-a，OF=-12a-1.由AF=BF，得-a=-12a-1+2,12a=-3,a=-6，所以AF=6.
点评 再次体会特殊角在解题中的作用.由于灵活运用坐标与线段长的关系（数与形的联系），简化了解题过程，这比求AB的方程，再解方程组，求出A点的坐标要简单些.
三、 将抽象的数量关系转化为直观图象的性质问题
例5 （2011湖北黄冈）已知函数y=(x-1)2-1(x≤3)，
(x-5)2-1(x＞3)，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为
（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
剖析 理解题意，使y=k成立的x值恰好有三个，从“形”的角度来看，就是直线y=k与该函数的图象恰好有三个交点，这样借助于函数图象的直观性，问题将很快解决.
图5
如何作出该函数的图象呢？当x≤3时，该函数的图象与抛物线y=(x-1)2-1相同；而当x＞3时，该函数的图象与抛物线y=(x-5)2-1相同.作出函数的图象如图5，知k=3时，即y=3与函数图象恰好有三个交点，故选D.
例6 （2011陕西）若二次函数y=x2-6x+c的图象经过A（-1，y1),B(2,y2),C(3+2,y3)三点，则关于y1,y2,y3大小关系正确的是
（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2
C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2
剖析 y=x2-6x+c=(x-3)2+(c-9),抛物线的对称轴是x=3，开口向上.这时头脑中出现抛物线的大致形状，图形告诉你，
图6
到对称轴距离越小的点对应的y值越小，问题就很容易解决.如果你还达不到这种境界，那么作出函数y=(x-3)2的图象，比较A、B、C三点的纵坐标，得y1＞y3＞y2，这也是很好的方法.也许你认为，应该作出y(x-3)2+(c-9)的图象才对.事实上，y=(x-3)2+(c-9)可由y=(x-3)2通过向上（下）平移而得到，有无数条抛物线.但是图象上、下平移，图象上各点纵坐标的增加值相同，原来的大小关系保持不变.
点评 通过作出函数图象，利用图形的直观启示，问题迎刃而解，这就是数形结合的优势.本例如果将x值代入函数关系式，求出相应的y值，再比较y值的大小，也可解决，就是有点复杂了.
四、 将复杂的形转化为具体的数来研究
例7 （2011浙江宁波）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图7）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm,宽为n cm）的盒子底部（如图8），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图8中两块阴影部分周长的和是 （ ）
A. 4m cm B. 4n cmC. 2(m+n) cm D. 4(m-n) cm
图7
图8
剖析 粗看似乎难以下手，从选择支来看，问题的结果与小长方形卡片的长、宽无关.为此设小长方形的长为a,宽为b，图8中左下阴影部分的周长c1=2b+2(n-2a)，右上阴影部分的周长c2=4a+2(n-b),所求两块阴影部分的周长和为c1+c2=2b+2(n-2a)+4a+2(n-b)=2b+2n-4a+4a+2n-2b=4n,故选B.
点评 通过引进中间变量a、b来解决问题，在最终结果中，中间变量都被消去，这种巧设中间变量，巧妙消元的做法是解题的一种技巧.
图9
五、 运用几何推理，充分发挥图形的作用
例8 （2011湖北武汉）如图9，ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y=kx上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k= .
剖析 由四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，得S△ABE∶SABCD=1∶6，推出S△ABE∶S△ABD=1∶3，得AE∶AD=1∶3.过D作DG⊥x轴于G，DG∥OE，得AOAG=AEAD=13，有AG=3AO=3，OG=2，D点的横坐标xD=2;注意到CD 瘙 綊 AB，OB∥DG，过C作CF⊥DG于F，易证△DCF≌△BOA，得CF=AO=1，所以C点的横坐标xC=3.由于DG-FG=DF，而DF=BO=2，也就是yD-yC=2,点C、D在双曲线y=kx上，得kxD-kxC=2,即k2-k3=2,所以k=12.
点评 由面积比得到线段比，由相似、全等求出点D、C的横坐标，得纵坐标之间的联系，简明的几何推理，减少了计算量，提高了解题速度.
例9 （2011浙江杭州）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为 .
图10
剖析 点F在哪里？在直线l上，且到点A的距离等于AB，这就是说F是以A为圆心，AB长为半径的圆与直线l的交点，故有两点F1、F2.
注意到∠BAC=45°，l∥AB，∠BCA=90°，所以F1到BC、AC的距离相等，即F1D=F1G，且CG=F1D.设F1D=h1，在Rt△AF1G中，由勾股定理得h21+(1+h1)2=AF21=AB2=2,化简得2h21+2h1-1=0,因为h1＞0,所以h1=3-12.对于F2，如图10，设F2H=h2，在Rt△F2HA中，h22+(h2-1)2=AF22,解得h2=3+12.
--!> 点评 利用几何作图确定F点的位置，紧扣特殊角45°，充分利用角平分线的性质，简化了运算过程；而利用代数法，解方程求出点F到BC的距离，则充分发挥了“数”的作用.
此题也可以直线CA为x轴，直线CB为y轴，建立坐标系如图10，直线l的方程为y=-x，设F（a,-a),由A（1，0），FA2=（1-a)2+a2,又FA2=AB2=2，得（1-a)2+a2=2,解得a=1±32.F点到BC的距离即F点到y轴的距离，等于F点的横坐标a的绝对值，所以F到BC的距离为3+12，3-12.这样避免了对F点位置的讨论，解法更简明.
“数形结合”没有固定的程式，贵在针对具体问题进行具体分析，充分发挥数、形各自的优势，灵活运用；同时，在解题实践的过程中，不断反思，不断总结，能力才能不断提高.本文作为解题中的几点思考，供同学们参考.