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摘要:首先介绍目前构造利率曲线结构的几种主要模型,然后具体介绍三次样条函数法和NSS模型,再通过深沪交易所国债数据对这两种方法进行比较分析,基于对比结构进行总结。
关键词:利率曲线;三次样条函数法;NSS模型
中图分类号:F8
文献标识码:A
文章编号:1672-3198(2010)03-0139-02
1 利率期限结构模型简介
目前,构造利率期限结构的模型主要有两类,第一类是经济理论模型,第二类是数量模型,经济理论模型又包含均衡模型和无套利模型。均衡模型以Cox、Ingersoll和Ross(1985)提出的CIR模型为代表,这个模型对所研究的经济体设定了非常严格的假设条件。无套利模型以Vasicek(1977)、Ho(1986)和Heath(1992)等人提出的模型为代表,它们都是从市场上无套利机会的假设出发。第一类模型的特点就是有很强的假设前提,一旦市场不符合这些条件,就很难得到令人满意的结果。事实上我国国债市场通常不满足这些假设条件,因而这类方法较少应用于我国国债市场的研究实践。而数量模型则不管经济现状如何,利用曲线拟合技术构造利率期限结构。这种方法有两种截然不同的拟合思路,一种是分段拟合,一种是不分段拟合。分段拟合主要采用样条技术,指定样条基函数,将贴现函数表示为基函数的组合,然后使用回归技术来拟合。McCulloch(1971)最先令简单的二次多项式为基函数尝试了利率期限结构的样条逼近。随后又出现了McCulloch(1975)提出的三次多项式样条函数、Vasicek和Fong(1982)提出的指数样条函数以及Steely(1991)提出的B样条函数等多种方法。不分段拟合的思路是采用参数化模型以获得利率期限结构,模型参数有明确的经济意义,待估参数的数量也少于样条技术。Nelson和Seigel(1987)提出了一个只有4个未知参数的参数化模型。Sveanson(1994)对Nelson和Seigel的模型进行了改进,提高了模型计算短期债券价格的灵活性以及对形状复杂的利率期限结构的拟合能力。
由于经济理论模型不适用于我国国债市场的实际情况,同时国债利率期限结构是由零息票国债收益率曲线表示的,而在我国国债市场上零息票国债的到期期限一般较短(不超过一年)且在时间上不连续,无法从国债市场上的零息票国债数据直接得到利率期限结构,因此我们需要采用间接的方法即利用国债市场上普通的附息国债的交易数据通过曲线拟合技术即数量模型获得国债利率期限结构。
本文沿着数量模型方法的思路,以上海证券交易所和深圳证券交易所的国债价格为研究对象,利用三次样条函数和NSS模型构造中国国债的利率期限结构,并对我国国债利率期限结构进行分析与评价。
2 三次样条和NSS模型的静态估计法
2.1 三次样条函数
目前大多文献都将样条函数的阶数定为三,这是因为当多项式的基函数为二阶时,B(t)的二阶导数是离散的,因此B(t)曲线不光滑,而当多项式的基函数阶数大于三时,模型比较复杂,验证导数的连续性有困难,阶数越高困难越大。因此本文也将基函数的阶數定为三阶。样条数量的取值与样条分界点的选取也不能忽略。综合样本数据特征,曲线拟合程度与曲线平滑程度等因素,本文将样条数定为三,选择5年和8年为分界点。从而本文选择的样条函数的形式为:
通过对参数的不同取值我们可以得到水平的,单调(递增或递减)和倒置形状的(远期或即期)利率曲线。但是这种方法不能得到形状更为复杂的利率曲线(如U形和驼峰形曲线)。为了克服这一缺点,Svenson通过再引入一个新的参数β3将上述方法扩展为如下形式(简称NSS模型):
3 我国利率期限结构的静态估计
所谓静态分析,就是指对某个时点的整个利率期限结构的分析和估计。目前,国债交易主要集中在银行间债券市场、上海和深圳证券交易所债券市场。考虑流动性和数据齐全,本文选取2009年12月12日上海和深圳交易所的18支国债收盘数据作为样本构建利率期限结构。
3.3 结果分析
从以上对利率期限结构的静态估计中,我们可以看到:
(1)总体来说,以上两个图形中曲线向上倾斜。预期理论认为这是投资者预期未来即期利率上升,市场分割理论认为长期债券流动性较之短期债券流动性差,自然要获得更高的流动性溢价。因此利率期限结构是一条向上倾斜的曲线。短中期利率较低,长期利率相对较高。用三次样条法和NSS模型都能描述利率期限结构这一特征。
(2)可以看出图1中曲线的波动多于图2中曲线的波动。这说明在价格拟合度方面三次样条法占有明显优势。与NSS模型相比,三次样条函数法在拟合曲线时更贴近原始数据,可以充分体现原始数据的特征。因为三次样条函数在样条数目、分割区间和分界点上存在着比较大的选择空间。因此,在选择样条数目、分割区间和分界点时,可以充分考虑到原始数据的特征,例如把原始数据的拐点定为样条区间的分界点等,从而三次样条函数可以构造出更为复杂的利率期限结构曲线。NSS模型构造的利率曲线比较平滑,规范性较好,但价格拟合精确度牺牲较多。
(3)另外,从图1可得知,由三次样条函数得到的利率期限结构曲线,随着到期期限的增加,利率上升得特别快。然而实际上利率随着到期期限的增加而增加,但增长速度越来越慢。图1中描述的利率这与实际利率的变化趋势相违背,而NSS模型得到的利率期限结构曲线在长期内却趋于稳定,与实际情况吻合。
4 结论
(1)三次样条和NSS模型各有自身的特点以及缺陷,将二者结合起来互相比较使用,就可以比较科学合理地对利率期限结构进行静态估计。
(2)虽然分段式样条函数得到的利率期限结构曲线拟合程度较高,但整个曲线并不连续。如何构造连续而又准确的利率期限结构曲线应是继续研究的重点。
(3)上述分析是对利率期限结构一种静态的估计和考察,没有进行动态模型的研究和实证分析。随着中国金融市场的全面开放,进行动态模型的研究、实证和应用是今后的主要研究方向。
关键词:利率曲线;三次样条函数法;NSS模型
中图分类号:F8
文献标识码:A
文章编号:1672-3198(2010)03-0139-02
1 利率期限结构模型简介
目前,构造利率期限结构的模型主要有两类,第一类是经济理论模型,第二类是数量模型,经济理论模型又包含均衡模型和无套利模型。均衡模型以Cox、Ingersoll和Ross(1985)提出的CIR模型为代表,这个模型对所研究的经济体设定了非常严格的假设条件。无套利模型以Vasicek(1977)、Ho(1986)和Heath(1992)等人提出的模型为代表,它们都是从市场上无套利机会的假设出发。第一类模型的特点就是有很强的假设前提,一旦市场不符合这些条件,就很难得到令人满意的结果。事实上我国国债市场通常不满足这些假设条件,因而这类方法较少应用于我国国债市场的研究实践。而数量模型则不管经济现状如何,利用曲线拟合技术构造利率期限结构。这种方法有两种截然不同的拟合思路,一种是分段拟合,一种是不分段拟合。分段拟合主要采用样条技术,指定样条基函数,将贴现函数表示为基函数的组合,然后使用回归技术来拟合。McCulloch(1971)最先令简单的二次多项式为基函数尝试了利率期限结构的样条逼近。随后又出现了McCulloch(1975)提出的三次多项式样条函数、Vasicek和Fong(1982)提出的指数样条函数以及Steely(1991)提出的B样条函数等多种方法。不分段拟合的思路是采用参数化模型以获得利率期限结构,模型参数有明确的经济意义,待估参数的数量也少于样条技术。Nelson和Seigel(1987)提出了一个只有4个未知参数的参数化模型。Sveanson(1994)对Nelson和Seigel的模型进行了改进,提高了模型计算短期债券价格的灵活性以及对形状复杂的利率期限结构的拟合能力。
由于经济理论模型不适用于我国国债市场的实际情况,同时国债利率期限结构是由零息票国债收益率曲线表示的,而在我国国债市场上零息票国债的到期期限一般较短(不超过一年)且在时间上不连续,无法从国债市场上的零息票国债数据直接得到利率期限结构,因此我们需要采用间接的方法即利用国债市场上普通的附息国债的交易数据通过曲线拟合技术即数量模型获得国债利率期限结构。
本文沿着数量模型方法的思路,以上海证券交易所和深圳证券交易所的国债价格为研究对象,利用三次样条函数和NSS模型构造中国国债的利率期限结构,并对我国国债利率期限结构进行分析与评价。
2 三次样条和NSS模型的静态估计法
2.1 三次样条函数
目前大多文献都将样条函数的阶数定为三,这是因为当多项式的基函数为二阶时,B(t)的二阶导数是离散的,因此B(t)曲线不光滑,而当多项式的基函数阶数大于三时,模型比较复杂,验证导数的连续性有困难,阶数越高困难越大。因此本文也将基函数的阶數定为三阶。样条数量的取值与样条分界点的选取也不能忽略。综合样本数据特征,曲线拟合程度与曲线平滑程度等因素,本文将样条数定为三,选择5年和8年为分界点。从而本文选择的样条函数的形式为:
通过对参数的不同取值我们可以得到水平的,单调(递增或递减)和倒置形状的(远期或即期)利率曲线。但是这种方法不能得到形状更为复杂的利率曲线(如U形和驼峰形曲线)。为了克服这一缺点,Svenson通过再引入一个新的参数β3将上述方法扩展为如下形式(简称NSS模型):
3 我国利率期限结构的静态估计
所谓静态分析,就是指对某个时点的整个利率期限结构的分析和估计。目前,国债交易主要集中在银行间债券市场、上海和深圳证券交易所债券市场。考虑流动性和数据齐全,本文选取2009年12月12日上海和深圳交易所的18支国债收盘数据作为样本构建利率期限结构。
3.3 结果分析
从以上对利率期限结构的静态估计中,我们可以看到:
(1)总体来说,以上两个图形中曲线向上倾斜。预期理论认为这是投资者预期未来即期利率上升,市场分割理论认为长期债券流动性较之短期债券流动性差,自然要获得更高的流动性溢价。因此利率期限结构是一条向上倾斜的曲线。短中期利率较低,长期利率相对较高。用三次样条法和NSS模型都能描述利率期限结构这一特征。
(2)可以看出图1中曲线的波动多于图2中曲线的波动。这说明在价格拟合度方面三次样条法占有明显优势。与NSS模型相比,三次样条函数法在拟合曲线时更贴近原始数据,可以充分体现原始数据的特征。因为三次样条函数在样条数目、分割区间和分界点上存在着比较大的选择空间。因此,在选择样条数目、分割区间和分界点时,可以充分考虑到原始数据的特征,例如把原始数据的拐点定为样条区间的分界点等,从而三次样条函数可以构造出更为复杂的利率期限结构曲线。NSS模型构造的利率曲线比较平滑,规范性较好,但价格拟合精确度牺牲较多。
(3)另外,从图1可得知,由三次样条函数得到的利率期限结构曲线,随着到期期限的增加,利率上升得特别快。然而实际上利率随着到期期限的增加而增加,但增长速度越来越慢。图1中描述的利率这与实际利率的变化趋势相违背,而NSS模型得到的利率期限结构曲线在长期内却趋于稳定,与实际情况吻合。
4 结论
(1)三次样条和NSS模型各有自身的特点以及缺陷,将二者结合起来互相比较使用,就可以比较科学合理地对利率期限结构进行静态估计。
(2)虽然分段式样条函数得到的利率期限结构曲线拟合程度较高,但整个曲线并不连续。如何构造连续而又准确的利率期限结构曲线应是继续研究的重点。
(3)上述分析是对利率期限结构一种静态的估计和考察,没有进行动态模型的研究和实证分析。随着中国金融市场的全面开放,进行动态模型的研究、实证和应用是今后的主要研究方向。