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摘要：数学建模是真实世界与数学世界的沟通桥梁。将建模过程与教学内容有机结合，能够有效地促进深度学习。小学数学教学中，经历建模过程包括在现实中寻找建模原型、提出数学问题、通过多层次的表达建立模型、回归生活应用模型等基本环节。
关键词：数学建模;深度学习;小学数学教学
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）07B-0101-03
荷兰教育家弗赖登塔尔认为，学生学习数学的唯一方法是“再创造”。小学教学中的“建模”过程，实际就是“再创造”的过程。经历建模过程即指学生亲身经历探索和发现数学的过程，它不仅包括寻求问题解决的结果，更强调经历问题产生、分析、解决的过程。从教学角度看，数学建模是一种数学活动，能够有效促进深入学习;从方法论看，深度学习可以通过经历数学建模过程得以开展。
基于此，笔者尝试将数学建模与教学内容有机结合，创设现实的情境，激发学生的建模需求。在多次优化的过程中，经历对比、归纳、简化、概括，把知识建构的主动权交给学生，让学生去尝试、探索、沉淀、总结、内化，完成知识结构的组织。
一、创设现实情境，寻找建模原型
呈现在学生面前的数学模型情境，应该是具有现实意义的，是实际生活中需要用数学知识解决的问题。教学时应从教材的视角出发，联系学生的生活实际整体解读，利用生活中的建模原型，找准建模的知识起点。
在“确定位置”的教学中，教师将生活中的游戏素材及时引入课堂，将未经简化抽象的现实问题与教材的内容有机结合，以游戏的方式呈现。教学由游戏简单地导人：一位学生当船长，发出位置指令;一位学生当炮手，根据指令对隐匿在渔船中的海盗船开炮。游戏中小平面海域内的击炮定位即确定位置的现实原型。这样的情境不是数学化的“已知”和“求證”模式，而是一种真实的需求，是以克服困难为标志的数学问题原型。
二、依托教学情境，提出数学问题
数学问题的产生源于数学情境。从静态角度看，它是学生对定位需求的文字或言语的表达;从动态角度看，它是学生产生问题意识和生成数学思考的过程。根据建模原型，笔者尝试设计了如下的教学情境：由两位学生在配合下，定位击沉海盗船。在海域图顶点、在海域图边上依次出现海盗船后，船长与炮手均能描述并定位。当海域图的中央某处再次出现海盗船时，小船长无法准确描述位置，小炮手无法击沉。（图1）
学生在情境的引导下，产生了值得思考的数学问题：如果将这片海平面看作一个长方形，将海盗船看作一个点，如何在平面中清楚地表达这个点的位置？这样的数学问题不是教师提出的，也不是教材提出的，而是学生用数学的眼光观察世界后提出的疑惑与思考。
三、经历建模过程，建立数学表达
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学学习是学生个体“生活经验”与群体“履历经验”的叠加与重组，因此在教学中，应充分发挥学生的积极性，鼓励学生自主探究，交流思考，分享发现，获得感悟。
1.个体的表达
学习中被放在首位的应该是独立思考习惯的培养与思维品质的锤炼，而不是获取特定的知识。因此教学中，教师应为学生提供自主探索的机会，鼓励学生积极思考，使他们从被动的学习者转化为主动的探索者。教学中，教师给予学生独立思考、个性表达的机会，请学生结合操作卡用自己的方法表示出海盗船的位置。（图2、图3、图4、图5）
根据操作活动，教师发现学生能够根据已有的生活经验和知识经验，创造出了许多他们自己的表述方法：东南西北的方位表述法、分成大块区域的描述法、结合钟面的描述法、只画横线的一维描述法、格子图中的二维描述法。这些个体的表达既反映了学生的已有知识经验，也为进一步建构模型提供了宝贵的素材。
2.学生社群的表达
在实际教学中，教师组织学生之间展开交流与讨论，通过分析与评价他人的策略与意图，在反思和碰撞中初步形成模型的雏形。交流中，学生社群一方面需要阅读他人的表征图文并理解他人的想法，另一方面又必须以书面或口头的形式评述他人的模型，在表达个体思维与反思他人观点的同时，达到修正模型与深入思考的双重功效。
在教学活动中，通过学生展示钟面图、一维图、二维图，由学习者、教师和学习伙伴等形成学习社群，通过对话、沟通的方式，提出不同看法以刺激个体反省思考。在交互质疑辩论的过程中，学生发现了最后两种方法是类似的，位置的描述明确而清晰，有的学生建议把行和列标上序号，从零数起。在集体的交流碰撞中，学生逐渐优化确定位置的二维模型表达。
3.数学的表达
在建立模型的过程中，学生不仅需要思考方向正确，还需要自觉努力寻求指向目标的最便捷的逻辑途径，体现思维的和谐进化，进而通过不断重组和转换认识问题中的关系及本质，完善模型结构。因此教学中教师要给学生提供运用符号的机会，让学生经历从“感性”到“理性”，再到“运用”的过程，甚至让学生经历创造符号、完善符号的过程。
运用建模思想观照数学教学，其意义就是要在认知过程中建立一种符号化的、具有数学结构特征的“模型”载体。通过这样具有“模型”功能的载体，为学生提供数学抽象的机会，为后续学习提供基础支撑。结合教学内容，教师在教学中加人了“海盗船来袭，快速记录定位”的环节。由快速记录的需求，学生产生了简化数对写法的需求。在快速记录位置的过程中，学生创造了很多记录的方法，有的学生只写行和列的数字，有的在行和列之间加上了短横，有的在数字之前加上了方向箭头。在不同的写法中，通过观察、对比、交流、求同，学生发现行和列的数字必须规定先后次序，也不能写得连在一起，于是学生就自然生成了数对的数学表达方式——先列再行，中间用逗号分隔，每一个位置外面加上括号。通过解决问题的过程中产生的关于模型表达的多重体验，学生加深了对知识的理解和内化。
四、应用数学模型，回归生活现场
数学模型来源于生活，也运用于生活。数学模型的建模不是一个线性过程，而是一个微调循环的过程。教学中，教师除了引导学生探究模型，更应不断地带领学生从数学世界返回真实世界，即学会用数学的视角去观察世界，用数学的方法认识世界，甚至用数学的思想去改造世界。学生在真实的世界中寻找原型，应用模型，建构对数学模型的表象支撑。
在教学中，教师出示了三幅数学情境图，通过逐一出示人物小军的座位、动物小猴家的位置、小熊做操的位置，引导学生观察描述。在对比求同中，学生发现这三幅场景表面看起来不一样，但如果用数学的眼光来观察，都可以用数对（3，2）来表示。学生的思维豁然开朗，头脑中模型也更加丰富多样。学生体会了模型的实际应用价值，思维走向了深刻。
用所建立的数学模型来解答生活中的数学问题，有助于学生体会数学模型的实际应有价值，体验到所学知识的用途和益处，有助于建立数学与生活之间的联系，即用数学的眼光来观察，用数学的模型来解释。
综上所述，结合教材内容，从现实生活中找到建模原型，依托原型提出数学问题，通过师生之间的相互启发，经历建模过程，建立数学表达，将问题的解决与生活实际相联结沟通，是数学学习的有效方式。从个体表达到数学表达，从不全面到全面，从生活到数学、又回归生活，既是一段数学建模的经历，也是一个深入学习的过程。
责任编辑：丁伟红
收稿日期：2019-12-17
作者简介：沈君，江阴市花园实验小学（江苏江阴，214431）教师。
关键词：数学建模;深度学习;小学数学教学
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）07B-0101-03
荷兰教育家弗赖登塔尔认为，学生学习数学的唯一方法是“再创造”。小学教学中的“建模”过程，实际就是“再创造”的过程。经历建模过程即指学生亲身经历探索和发现数学的过程，它不仅包括寻求问题解决的结果，更强调经历问题产生、分析、解决的过程。从教学角度看，数学建模是一种数学活动，能够有效促进深入学习;从方法论看，深度学习可以通过经历数学建模过程得以开展。
基于此，笔者尝试将数学建模与教学内容有机结合，创设现实的情境，激发学生的建模需求。在多次优化的过程中，经历对比、归纳、简化、概括，把知识建构的主动权交给学生，让学生去尝试、探索、沉淀、总结、内化，完成知识结构的组织。
一、创设现实情境，寻找建模原型
呈现在学生面前的数学模型情境，应该是具有现实意义的，是实际生活中需要用数学知识解决的问题。教学时应从教材的视角出发，联系学生的生活实际整体解读，利用生活中的建模原型，找准建模的知识起点。
在“确定位置”的教学中，教师将生活中的游戏素材及时引入课堂，将未经简化抽象的现实问题与教材的内容有机结合，以游戏的方式呈现。教学由游戏简单地导人：一位学生当船长，发出位置指令;一位学生当炮手，根据指令对隐匿在渔船中的海盗船开炮。游戏中小平面海域内的击炮定位即确定位置的现实原型。这样的情境不是数学化的“已知”和“求證”模式，而是一种真实的需求，是以克服困难为标志的数学问题原型。
二、依托教学情境，提出数学问题
数学问题的产生源于数学情境。从静态角度看，它是学生对定位需求的文字或言语的表达;从动态角度看，它是学生产生问题意识和生成数学思考的过程。根据建模原型，笔者尝试设计了如下的教学情境：由两位学生在配合下，定位击沉海盗船。在海域图顶点、在海域图边上依次出现海盗船后，船长与炮手均能描述并定位。当海域图的中央某处再次出现海盗船时，小船长无法准确描述位置，小炮手无法击沉。（图1）
学生在情境的引导下，产生了值得思考的数学问题：如果将这片海平面看作一个长方形，将海盗船看作一个点，如何在平面中清楚地表达这个点的位置？这样的数学问题不是教师提出的，也不是教材提出的，而是学生用数学的眼光观察世界后提出的疑惑与思考。
三、经历建模过程，建立数学表达
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学学习是学生个体“生活经验”与群体“履历经验”的叠加与重组，因此在教学中，应充分发挥学生的积极性，鼓励学生自主探究，交流思考，分享发现，获得感悟。
1.个体的表达
学习中被放在首位的应该是独立思考习惯的培养与思维品质的锤炼，而不是获取特定的知识。因此教学中，教师应为学生提供自主探索的机会，鼓励学生积极思考，使他们从被动的学习者转化为主动的探索者。教学中，教师给予学生独立思考、个性表达的机会，请学生结合操作卡用自己的方法表示出海盗船的位置。（图2、图3、图4、图5）
根据操作活动，教师发现学生能够根据已有的生活经验和知识经验，创造出了许多他们自己的表述方法：东南西北的方位表述法、分成大块区域的描述法、结合钟面的描述法、只画横线的一维描述法、格子图中的二维描述法。这些个体的表达既反映了学生的已有知识经验，也为进一步建构模型提供了宝贵的素材。
2.学生社群的表达
在实际教学中，教师组织学生之间展开交流与讨论，通过分析与评价他人的策略与意图，在反思和碰撞中初步形成模型的雏形。交流中，学生社群一方面需要阅读他人的表征图文并理解他人的想法，另一方面又必须以书面或口头的形式评述他人的模型，在表达个体思维与反思他人观点的同时，达到修正模型与深入思考的双重功效。
在教学活动中，通过学生展示钟面图、一维图、二维图，由学习者、教师和学习伙伴等形成学习社群，通过对话、沟通的方式，提出不同看法以刺激个体反省思考。在交互质疑辩论的过程中，学生发现了最后两种方法是类似的，位置的描述明确而清晰，有的学生建议把行和列标上序号，从零数起。在集体的交流碰撞中，学生逐渐优化确定位置的二维模型表达。
3.数学的表达
在建立模型的过程中，学生不仅需要思考方向正确，还需要自觉努力寻求指向目标的最便捷的逻辑途径，体现思维的和谐进化，进而通过不断重组和转换认识问题中的关系及本质，完善模型结构。因此教学中教师要给学生提供运用符号的机会，让学生经历从“感性”到“理性”，再到“运用”的过程，甚至让学生经历创造符号、完善符号的过程。
运用建模思想观照数学教学，其意义就是要在认知过程中建立一种符号化的、具有数学结构特征的“模型”载体。通过这样具有“模型”功能的载体，为学生提供数学抽象的机会，为后续学习提供基础支撑。结合教学内容，教师在教学中加人了“海盗船来袭，快速记录定位”的环节。由快速记录的需求，学生产生了简化数对写法的需求。在快速记录位置的过程中，学生创造了很多记录的方法，有的学生只写行和列的数字，有的在行和列之间加上了短横，有的在数字之前加上了方向箭头。在不同的写法中，通过观察、对比、交流、求同，学生发现行和列的数字必须规定先后次序，也不能写得连在一起，于是学生就自然生成了数对的数学表达方式——先列再行，中间用逗号分隔，每一个位置外面加上括号。通过解决问题的过程中产生的关于模型表达的多重体验，学生加深了对知识的理解和内化。
四、应用数学模型，回归生活现场
数学模型来源于生活，也运用于生活。数学模型的建模不是一个线性过程，而是一个微调循环的过程。教学中，教师除了引导学生探究模型，更应不断地带领学生从数学世界返回真实世界，即学会用数学的视角去观察世界，用数学的方法认识世界，甚至用数学的思想去改造世界。学生在真实的世界中寻找原型，应用模型，建构对数学模型的表象支撑。
在教学中，教师出示了三幅数学情境图，通过逐一出示人物小军的座位、动物小猴家的位置、小熊做操的位置，引导学生观察描述。在对比求同中，学生发现这三幅场景表面看起来不一样，但如果用数学的眼光来观察，都可以用数对（3，2）来表示。学生的思维豁然开朗，头脑中模型也更加丰富多样。学生体会了模型的实际应用价值，思维走向了深刻。
用所建立的数学模型来解答生活中的数学问题，有助于学生体会数学模型的实际应有价值，体验到所学知识的用途和益处，有助于建立数学与生活之间的联系，即用数学的眼光来观察，用数学的模型来解释。
综上所述，结合教材内容，从现实生活中找到建模原型，依托原型提出数学问题，通过师生之间的相互启发，经历建模过程，建立数学表达，将问题的解决与生活实际相联结沟通，是数学学习的有效方式。从个体表达到数学表达，从不全面到全面，从生活到数学、又回归生活，既是一段数学建模的经历，也是一个深入学习的过程。
责任编辑：丁伟红
收稿日期：2019-12-17
作者简介：沈君，江阴市花园实验小学（江苏江阴，214431）教师。