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新课程标准中强调指出:高中数学应倡导学生主动探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。而在高三数学复习教学中更应使课堂教学真正成为师生互动、对话式的学生自主探究的学习活动。从本质来看,数学教育的本质是:数学知识的传授与思维训练。而系统的数学基础知识与基本技能是进一步培养学生智力发展,思维能力的条件,从此角度出发就不难看出高三数学教学的动向和高三数学应该如何进行教学。
一、数学知识传授的基本形式:讲授法
近几年我国在素质教育改革的热浪中,推出种种先进的教学方法,如“研究性学习”、“合作性学习”、“情境教学”等等。使人们似乎感觉到我国传统的教学模式:讲授法已不适应当今时代发展的需要,与此同时会错误地认为一位教师若还要在讲授法的教学模式上探寻教学出路的话,那么他的教学观念已不适应时代发展的需要,最终被时代发展所抛弃。在这样的一种环境中我们教师在教学上产生一种迷茫,尤其是刚刚踏入教育界的年轻教师,面对众多的教学方法,它们的主次关系是什么?数学的教学中应该研究什么?
1.班级学生的人数确定了教学的基本形式。
我国目前普遍施行的是55人左右的教学班级。在教学形式上,若采用“研究性学习”的话,那么研究性学习的四个基本特点是1.重过程;2.重应用;3.重体验:4.重全员参与,从而学生在教师的指导下,在获得知识的同时感受到教学研究的思维方式。这的确是一种先进的教学理念,但是在班级学生人数众多的事实面前,教师开一节“研究性学习”的教学课,教师与学生都要以付出大量的时间为代价才可能获得成功。所以我认为这种教学在目前学生人数众多的班级形式下是不可能作为一种基本的教学形式。新课程标准在“课程的基本理念中”强调高中数学课程“应为学生提供多层次、多种类的选择,以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考”这一教学理念启发我们对高三复习教学进行反思,我们必须承认学生学习水平和认知能力存在个性差异,我们的课堂教学即不能降低教学要求,又必须根据学生的具体差异,适时改变教学方法,使每个学生的潜能都能得到充分发挥。例如2008年笔者曾带过一个高三体育班,班级最初才38名学生,他们的数学基础是全校最差的,但班级人数少,从而在每一节数学课至少有60%以上的学生有机会在课堂上发表自己对复习课上数学知识点的看法,逐渐在数学课上就形成了一种学生与学生之间,学生与教师之间的共同探索、研究与交流,使学生能在接受数学知识的同时及时地纠正自己的错误概念以及思维方式,这样的一种教学形式肯定已不属于讲授法的模式,似乎像“研究性学习”,或者像“合作性学习”。由于班级学生人数少,从而在课上老师既能及时发现学生在数学知识点上的问题,又能为学生创造一个反思的空间。最终他们在2008年的高考中获得令人满意的成绩。
2.“讲授法”不等于“填鸭式”
“讲授法”是教师通过口头语言向学生讲解的概念。叙述事实、论证原理、阐述规律的一种教学方法。 孔子曰:“教学相长”。然而在教与学的相互统一的过程中教师可以在每一节数学教学要求不同,精心设计教学方法。例如高三教学中数学常常面对的是对每一节内容要进行。“介绍概念”、“梳理知识体系”和“应用”三部曲的教学过程,那么如何尽可能做到使学生接受数学知识的同时也获得对自身的思维能力的培养,我认为教师应该为自己的教学设计制定一系列原则:(1)设计原则一:学生参与程度是衡量数学课质量的标准之一。
“活动是个人体验的源泉,是语言表征、情感表征、动作表征的源泉”活动即包括外部的操作活动,也包括内心的思维活动。从这一原则出发,教师在数学课上是完全可以营造一个师生互动的环境,使学生在互动中交流各自对数学知识点的见解。但这主要搞清的一个问题是由于教师面对的每一节学生他们的情感、性格都不同,所以讲他们地参与的形式是不尽相同的。一节看似热闹非凡的数学课未必能达到教学目的,而一节看似气氛不活跃的数学课中学生也未必不在参与。
(2)设计原则二:数学理解的本质是对数学知识点结构化、网络化以及丰富的联系。在实际的教学过程中我们面对的大多数学生是不能准确地掌握数学的概念和每一章节的数学知识的结构。例如对一道综合题的讲评,一般来讲一位学生往往不能独立地完成,是通过多个学生地合作才能加以解决。那么在这种师生互动的教学过程中教师应该及时以引导,对学生提出的结论进行点评、帮助学生整理、归纳每一节章节、每一课的数学体系。
(3)设计原则三:数学的理解必须使其知识点具有生成性与发展性。
例如,当已复习了各类主要(初等函数后,应该进一步去深化、拓展各类函数。就拿反比例函数来说,学生们都知道y=-1/x是反比例函数,其图像是关于原点为对称中心的。那么函数y=(x-a-1)/(a-x)(a大于0且为常数)是哪类函数的变形式?它的图像与性质又如何呢?提出问题来让学生们研究。又如在综合应用问题中可以精心组织命题,通过一题多解,使学生丛中体验到数学的命题在一定的层面上可以产生完全不同的理解方式,即用数学的思想方法来培养学生的思维方式。
3.教学方法的互相渗透
定义-定理-证明-举例-应用是人们常用来描述讲授教学的模式,并且提出了诸多的批评、其实这种教学模式产生的根源在于现行的数学教科书的数学知识体系的建构方式。笔者认为这种教学模式是科学的、严谨的。问题在于教师应该如何具体地进行操作。我们知道教学方法是应该为教学目的服务的。然而每一节的数学教学目的是不尽相同的,一节课上不同的时间段上的教学目的也是不同的。例如在引入新课的过程中必须向学生介绍数学概念以及数学符号等等,为了进一步落实,学生对新课内容的理解要进行举例及论证相关的定理;为了数学知识地拓展,培养学生的思维能力要进行综合课。那么不同的教学目的应采用相应的教学模式,甚至于一节课上可以由多种教学方法以至相互渗透而组成,它们都有各自的长处与不足,所以讲它们上有互相渗透才能更好地为教学目的而服务。
二、学生思维能力的培养
数学的教学过程是教师与学生的交互的作用的过程.体现了老师的“设计”与“评价”的及学生的“参与”和“反思”的两方面.即老师通过精心组织材料,在教学中对学生学会运用知识,并对学生掌握的知识, 技能以及思维方式进行评价.这样才能提高学生的反思时间与空间.
数学教学是一种思维的教学,从这一角度出发就应该教学中给学生有更多的时间去思考和机会来阐述自己当时对数学某问题的看法,否则教学中仅仅是让学生按照老师设计好的教学过程,思维方式一味地接受中学习的话,就会忽略学生对知识点的真实看法。假如是错误的,那么迟早会在今后的学习中体现出来。例如在三角函数复习中对例题:已知sin a cos a=1/5,a属于开区间0到开区间 ,求tg a。曾用不同的教学方法运用于两个不同的班级。其一是按照事先设计好的有关概念和解决方法的教学进行。其二是提出问题后让学生们讨论的教学过程、思维方式去解决、讨论,并且让更多的学生在课上发表自己对问题地解决的过程与结果。前者在后来的一次全区考试中一道相类似的题中暴露出学生对问题并没有解决。而后者,在课上学生的畅谈中就发现学生对问题处理中更多的是在解题方法上寻求答案,忽略了三角函数中最基本的概念关于角的范围与三角函数值的关系。在教学中产生的问题更容易让学生进行反思,也给老师创造了新的教学知识点。
另一方面,综合题的设计要符合学生的实际水平。高三数学的复习过程中每一章节综合问题地处理是复习课中的重要环节。学生可以从中获得对该章节数学知识点的认识,同时也是培养学生智力发展的最佳时机。但是作为教师在组织综合材料是要掌握的原则是:(1)综合问题中的知识点必须在学生当前知识基础上建构的;(2)综合问题中的数学知识点不能仅仅是前阶段知识点的简单的重复。而应当是它的生成与延伸。例如当学生已基本掌握了函数的基本的性质及各类主要函数时,进行的函数内容为背景的函数与方程的思想方法专题研究,不仅能引起学生的学习兴趣,激活学生的思维,使学生从中获得对函数知识点的再认识,同时也让学生从中领悟数学解决问题的思想方法,提高解决问题的能力。
综合问题的入口要宽。当今我国的数学教育从偏重知识的传授而忽略学生智力发展逐渐转化为培养学生的思维能力为主线,尤其是从近几年的高考综合题的处理方法上可以看到淡化数学的技巧性能力而偏重于数学的思想方法的发展趋势,从这一角度出发,高三数学的综合问题的设计中入口要宽。才能更有利于培养学生的思维能力。
例如试题:已知焦点F (0,-c ),F (0,c )的双曲线C在第一象限内部分记作p,点pn(n,y)(n=1,2,…… )在p上,pn到直线L:Y=2x K的距离为d
并且;
(1)设双曲线虚半轴为b,试用b表示d
(2)求双曲线c的方程及k的值
(3)线段pn pn 1的垂直平分线与x轴交于‖点(xn,0)
(n=1,2……),试证明{ }成等差数列,并求其通项公式
这是一道在综合课上的例题,记得当时学生通过讨论,得到了第(2)的答案后他们并不满足,然而他们通过数形结合的方法十分简捷的得到了结果。从他们的表情中可看到这样的综合题激发了他们的求知欲望,开拓了他们的思维,同时也能让我体会到教师在教学中的主导作用。
三、更新教学观念,重视学生个性品质与创新意识的培养
新标准中把数学教育提升为“发展和完善人的教育活动”,我们不但要关注每一位学生的数学学习,更要关注每一位学生的道德生活和人格养成,发展学生的创新意识。在复习教学中,第一要善于尊重每一位学生的人格,营造平等、宽松、和蔼的学习氛围,增强学生学习数学的自信心;第二要以学生为中心设计教学过程,通过学生积极主动的探究活动培养学生不怕挫折,奋发有为的人格品质和不断追求新知的科学态度;第三要通过设计情境新颖,解法灵活的问题组织课堂教学,在解决问题的过程中培养学生的创新意识。如在“函数的图象与性质”复习中设计如下问题:有两个命题:(1)不等式 ∣X∣ ∣X—1∣>m 的解集为R;(2)函数f(x)=-(7-3m)x是减函数。如果这两个命题中只有一个真命题,则实数的取值范围是﹍本题表面上为一道题,实际上是两个题,都是以函数为主线,数形结合,分域讨论,加大了问题的思维量,方法灵活。
四、注重新增内容与原有内容的整合。
目前正处在教材改革、课程改革的高潮,在复习中要注重新增内容与原有内容的有机整合。如平面向量是近代数学最重要、最基本的概念之一,也是几何、代数、三角的交汇点。因此在复习中应将向量与代数、三角、解析几何等原有内容进行有机的融合。
总之,在高三数学复习教学中,我们要更新教学观念,用新课程理念进行教学设计,让学生在教师创设的问题情境中,主动去探究学习,在问题解决中理解数学的概念,掌握基本的数学思想方法,提高数学素质,培养数学能力。
参考文献:
刘丹:《对数学讲授法的再思考》,中学数学2003,11
曹一鸣:《数学教学中需要正确处理的几个关系》,中学数学2007,8
吕林海:《数学记解之面面观》,中学数学,2006,12
一、数学知识传授的基本形式:讲授法
近几年我国在素质教育改革的热浪中,推出种种先进的教学方法,如“研究性学习”、“合作性学习”、“情境教学”等等。使人们似乎感觉到我国传统的教学模式:讲授法已不适应当今时代发展的需要,与此同时会错误地认为一位教师若还要在讲授法的教学模式上探寻教学出路的话,那么他的教学观念已不适应时代发展的需要,最终被时代发展所抛弃。在这样的一种环境中我们教师在教学上产生一种迷茫,尤其是刚刚踏入教育界的年轻教师,面对众多的教学方法,它们的主次关系是什么?数学的教学中应该研究什么?
1.班级学生的人数确定了教学的基本形式。
我国目前普遍施行的是55人左右的教学班级。在教学形式上,若采用“研究性学习”的话,那么研究性学习的四个基本特点是1.重过程;2.重应用;3.重体验:4.重全员参与,从而学生在教师的指导下,在获得知识的同时感受到教学研究的思维方式。这的确是一种先进的教学理念,但是在班级学生人数众多的事实面前,教师开一节“研究性学习”的教学课,教师与学生都要以付出大量的时间为代价才可能获得成功。所以我认为这种教学在目前学生人数众多的班级形式下是不可能作为一种基本的教学形式。新课程标准在“课程的基本理念中”强调高中数学课程“应为学生提供多层次、多种类的选择,以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考”这一教学理念启发我们对高三复习教学进行反思,我们必须承认学生学习水平和认知能力存在个性差异,我们的课堂教学即不能降低教学要求,又必须根据学生的具体差异,适时改变教学方法,使每个学生的潜能都能得到充分发挥。例如2008年笔者曾带过一个高三体育班,班级最初才38名学生,他们的数学基础是全校最差的,但班级人数少,从而在每一节数学课至少有60%以上的学生有机会在课堂上发表自己对复习课上数学知识点的看法,逐渐在数学课上就形成了一种学生与学生之间,学生与教师之间的共同探索、研究与交流,使学生能在接受数学知识的同时及时地纠正自己的错误概念以及思维方式,这样的一种教学形式肯定已不属于讲授法的模式,似乎像“研究性学习”,或者像“合作性学习”。由于班级学生人数少,从而在课上老师既能及时发现学生在数学知识点上的问题,又能为学生创造一个反思的空间。最终他们在2008年的高考中获得令人满意的成绩。
2.“讲授法”不等于“填鸭式”
“讲授法”是教师通过口头语言向学生讲解的概念。叙述事实、论证原理、阐述规律的一种教学方法。 孔子曰:“教学相长”。然而在教与学的相互统一的过程中教师可以在每一节数学教学要求不同,精心设计教学方法。例如高三教学中数学常常面对的是对每一节内容要进行。“介绍概念”、“梳理知识体系”和“应用”三部曲的教学过程,那么如何尽可能做到使学生接受数学知识的同时也获得对自身的思维能力的培养,我认为教师应该为自己的教学设计制定一系列原则:(1)设计原则一:学生参与程度是衡量数学课质量的标准之一。
“活动是个人体验的源泉,是语言表征、情感表征、动作表征的源泉”活动即包括外部的操作活动,也包括内心的思维活动。从这一原则出发,教师在数学课上是完全可以营造一个师生互动的环境,使学生在互动中交流各自对数学知识点的见解。但这主要搞清的一个问题是由于教师面对的每一节学生他们的情感、性格都不同,所以讲他们地参与的形式是不尽相同的。一节看似热闹非凡的数学课未必能达到教学目的,而一节看似气氛不活跃的数学课中学生也未必不在参与。
(2)设计原则二:数学理解的本质是对数学知识点结构化、网络化以及丰富的联系。在实际的教学过程中我们面对的大多数学生是不能准确地掌握数学的概念和每一章节的数学知识的结构。例如对一道综合题的讲评,一般来讲一位学生往往不能独立地完成,是通过多个学生地合作才能加以解决。那么在这种师生互动的教学过程中教师应该及时以引导,对学生提出的结论进行点评、帮助学生整理、归纳每一节章节、每一课的数学体系。
(3)设计原则三:数学的理解必须使其知识点具有生成性与发展性。
例如,当已复习了各类主要(初等函数后,应该进一步去深化、拓展各类函数。就拿反比例函数来说,学生们都知道y=-1/x是反比例函数,其图像是关于原点为对称中心的。那么函数y=(x-a-1)/(a-x)(a大于0且为常数)是哪类函数的变形式?它的图像与性质又如何呢?提出问题来让学生们研究。又如在综合应用问题中可以精心组织命题,通过一题多解,使学生丛中体验到数学的命题在一定的层面上可以产生完全不同的理解方式,即用数学的思想方法来培养学生的思维方式。
3.教学方法的互相渗透
定义-定理-证明-举例-应用是人们常用来描述讲授教学的模式,并且提出了诸多的批评、其实这种教学模式产生的根源在于现行的数学教科书的数学知识体系的建构方式。笔者认为这种教学模式是科学的、严谨的。问题在于教师应该如何具体地进行操作。我们知道教学方法是应该为教学目的服务的。然而每一节的数学教学目的是不尽相同的,一节课上不同的时间段上的教学目的也是不同的。例如在引入新课的过程中必须向学生介绍数学概念以及数学符号等等,为了进一步落实,学生对新课内容的理解要进行举例及论证相关的定理;为了数学知识地拓展,培养学生的思维能力要进行综合课。那么不同的教学目的应采用相应的教学模式,甚至于一节课上可以由多种教学方法以至相互渗透而组成,它们都有各自的长处与不足,所以讲它们上有互相渗透才能更好地为教学目的而服务。
二、学生思维能力的培养
数学的教学过程是教师与学生的交互的作用的过程.体现了老师的“设计”与“评价”的及学生的“参与”和“反思”的两方面.即老师通过精心组织材料,在教学中对学生学会运用知识,并对学生掌握的知识, 技能以及思维方式进行评价.这样才能提高学生的反思时间与空间.
数学教学是一种思维的教学,从这一角度出发就应该教学中给学生有更多的时间去思考和机会来阐述自己当时对数学某问题的看法,否则教学中仅仅是让学生按照老师设计好的教学过程,思维方式一味地接受中学习的话,就会忽略学生对知识点的真实看法。假如是错误的,那么迟早会在今后的学习中体现出来。例如在三角函数复习中对例题:已知sin a cos a=1/5,a属于开区间0到开区间 ,求tg a。曾用不同的教学方法运用于两个不同的班级。其一是按照事先设计好的有关概念和解决方法的教学进行。其二是提出问题后让学生们讨论的教学过程、思维方式去解决、讨论,并且让更多的学生在课上发表自己对问题地解决的过程与结果。前者在后来的一次全区考试中一道相类似的题中暴露出学生对问题并没有解决。而后者,在课上学生的畅谈中就发现学生对问题处理中更多的是在解题方法上寻求答案,忽略了三角函数中最基本的概念关于角的范围与三角函数值的关系。在教学中产生的问题更容易让学生进行反思,也给老师创造了新的教学知识点。
另一方面,综合题的设计要符合学生的实际水平。高三数学的复习过程中每一章节综合问题地处理是复习课中的重要环节。学生可以从中获得对该章节数学知识点的认识,同时也是培养学生智力发展的最佳时机。但是作为教师在组织综合材料是要掌握的原则是:(1)综合问题中的知识点必须在学生当前知识基础上建构的;(2)综合问题中的数学知识点不能仅仅是前阶段知识点的简单的重复。而应当是它的生成与延伸。例如当学生已基本掌握了函数的基本的性质及各类主要函数时,进行的函数内容为背景的函数与方程的思想方法专题研究,不仅能引起学生的学习兴趣,激活学生的思维,使学生从中获得对函数知识点的再认识,同时也让学生从中领悟数学解决问题的思想方法,提高解决问题的能力。
综合问题的入口要宽。当今我国的数学教育从偏重知识的传授而忽略学生智力发展逐渐转化为培养学生的思维能力为主线,尤其是从近几年的高考综合题的处理方法上可以看到淡化数学的技巧性能力而偏重于数学的思想方法的发展趋势,从这一角度出发,高三数学的综合问题的设计中入口要宽。才能更有利于培养学生的思维能力。
例如试题:已知焦点F (0,-c ),F (0,c )的双曲线C在第一象限内部分记作p,点pn(n,y)(n=1,2,…… )在p上,pn到直线L:Y=2x K的距离为d
并且;
(1)设双曲线虚半轴为b,试用b表示d
(2)求双曲线c的方程及k的值
(3)线段pn pn 1的垂直平分线与x轴交于‖点(xn,0)
(n=1,2……),试证明{ }成等差数列,并求其通项公式
这是一道在综合课上的例题,记得当时学生通过讨论,得到了第(2)的答案后他们并不满足,然而他们通过数形结合的方法十分简捷的得到了结果。从他们的表情中可看到这样的综合题激发了他们的求知欲望,开拓了他们的思维,同时也能让我体会到教师在教学中的主导作用。
三、更新教学观念,重视学生个性品质与创新意识的培养
新标准中把数学教育提升为“发展和完善人的教育活动”,我们不但要关注每一位学生的数学学习,更要关注每一位学生的道德生活和人格养成,发展学生的创新意识。在复习教学中,第一要善于尊重每一位学生的人格,营造平等、宽松、和蔼的学习氛围,增强学生学习数学的自信心;第二要以学生为中心设计教学过程,通过学生积极主动的探究活动培养学生不怕挫折,奋发有为的人格品质和不断追求新知的科学态度;第三要通过设计情境新颖,解法灵活的问题组织课堂教学,在解决问题的过程中培养学生的创新意识。如在“函数的图象与性质”复习中设计如下问题:有两个命题:(1)不等式 ∣X∣ ∣X—1∣>m 的解集为R;(2)函数f(x)=-(7-3m)x是减函数。如果这两个命题中只有一个真命题,则实数的取值范围是﹍本题表面上为一道题,实际上是两个题,都是以函数为主线,数形结合,分域讨论,加大了问题的思维量,方法灵活。
四、注重新增内容与原有内容的整合。
目前正处在教材改革、课程改革的高潮,在复习中要注重新增内容与原有内容的有机整合。如平面向量是近代数学最重要、最基本的概念之一,也是几何、代数、三角的交汇点。因此在复习中应将向量与代数、三角、解析几何等原有内容进行有机的融合。
总之,在高三数学复习教学中,我们要更新教学观念,用新课程理念进行教学设计,让学生在教师创设的问题情境中,主动去探究学习,在问题解决中理解数学的概念,掌握基本的数学思想方法,提高数学素质,培养数学能力。
参考文献:
刘丹:《对数学讲授法的再思考》,中学数学2003,11
曹一鸣:《数学教学中需要正确处理的几个关系》,中学数学2007,8
吕林海:《数学记解之面面观》,中学数学,2006,12