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摘要：“面积”是“面”和“积”的合称，即面具有累积（可加）性。教师要帮助学生建构对面积概念本质的认识，可以让学生在丰富的操作活动中，体验面积与物体面的关联，外化面积概念的本质。具体而言，可以通过摸一摸，让学生直观感知物体表面的面积;通过画一画，让学生初步抽象平面图形的面积;通过从看到数的一系列活动，让学生深入理解面积的累积（可加）性。
关键词：小学数学操作活动概念本质《认识面积》
《认识面积》是苏教版小学数学三年级下册《长方形和正方形的面积》单元的起始课，是在学生已经初步认识了周长的基础上进行教学的。由一维的周长到二维的面积，对于学生来说，是一次认知的突破。对于“面积”概念，教材给出的是一个描述性定义——物体表面的大小和封闭的平面图形的大小就是它们的面积。那么，“面积”这一小学数学核心概念之一的本质是什么呢？“面积”是“面”和“积”的合称，即面具有累积（可加）性。不难发现，面积是为了描述面的累积的多少而产生的。
那么，教学中如何帮助学生建构对面积本质的认识？结合小学生的认知特点及其已有的生活经验，笔者认为，可以让学生在丰富的操作活动中，体验面积与物体面的关联，外化面积的本质。基于此，笔者进行了一次有意义的教学探索。
一、教学实践
（一）摸一摸，直观感知物体表面的面积
1.感受平面。
师（出示下页图1、图2）这两张照片的面有什么不同？
圖1图2
生大小不同。
生面积不同。
师你心目中的大小、面积指的是什么？谁来试着指一下其中的一张照片？
（指名学生比画。）
师他是怎么比画面的？
生把面全都摸了一遍。
师哪个小朋友愿意来摸另一张照片？
（指名学生摸照片。）
师其实，照片的大小就是照片的面积。你会摸课桌面的面积吗？
（学生摸课桌面。）
师课桌面的大小就是课桌面的面积。我们身边还有其他的面吗？它们的面积你也能摸一摸吗？自己找一找、摸一摸。
生数学书的封面。
师和数学书的封面面积相同的面，你能摸出来吗？
生数学书的底面。
师比数学书封面面积小的面，你能摸出来吗？
生数学书的侧面。
生铅笔盒的上面。
生量角器的上面。
面有大有小，是学生已有的生活经验;知道“面积”这一数学名词，是部分学生已有的认知可能。将这种生活经验和这种认知可能建立关联，需要教师引导学生去经历，去建构。教学中，让学生通过“找面”“摸面”“比较”这一系列操作活动，加强对物体的面的直观认识，知道物体的“表面”包括上面、侧面、底面等;感受到“面有大小”，为了描述物体面的大小，就衍生出面积这一数学概念，从而对面积的认识也由“会指”上升到“会说”。
2.感受曲面。
师刚才同学们都摸了很多面。其实生活中还有这样的面，（出示圆柱教具）这是——
生曲面。
师你会摸它的面积吗？
生会。
师如果想平平地摸，你有办法吗？
生（比画）像这样竖着剪开。
师真棒！这运用了我们数学上化曲为直的思想。
学生对面的认识可能还仅限于平的面。为了丰富学生对面的认识，在教学中，让学生摸一摸曲面，从而认识到不管是曲面还是平面，要摸它的面积，就要完整地摸出面的全部。同时，引导学生思考如何“平平地摸”曲面，让学生认识到不同的面之间的联系，体会化曲为直的数学思想。
（二）画一画，初步抽象平面图形的面积
师虽然这些面都不同，但是这些面都是在物体的表面上。其实，我们也可以把这些面描绘下来，闭上眼睛想象一下：如果把数学书的封面描绘下来，是什么图形？
生长方形。
师魔方的一个面描绘下来是——
生正方形。
师沿着三角板的直角描绘下来是——
生一个直角。
师你还想到了什么？
生水杯的底描绘下来是一个圆形。
师（课件依次出示图形，如图3）你看，我们能在物体表面上找到这么多平面图形，那我们都能摸出它们的面积吗？
图3
生不能。
师哪一个不能？
生直角。
师也就是说有面积的图形应该——
生是围起来的。
师对！围起来的图形在数学上叫作封闭图形。也就是说，封闭的图形才有面积。现在你能想办法把这个直角变成有面积的封闭图形吗？在你的练习纸上试一试。
（学生操作，部分作品如图4。）
图4
师看来平面图形只要是封闭的，不管它是规则的，还是不规则的，都有面积。
通过想象由物体的表面描绘下来的图形，让学生自然地由“面”想到“形”，培养学生的想象力与空间观念。其中，通过直角的“误入”，引发学生认识上的冲突，帮助学生直观感知封闭的平面图形才有面积。
（三）从看到数，深入理解面积的累积（可加）性
师刚才我们提到了那么多的平面图形，你会比较它们的面积大小吗？（出示图5）比如这两个图形。
图5
生一看就知道左边的图形面积大。
师对于这种相差比较大的图形，可以通过眼睛直接观察比较。（出示图6）那这两个图形呢？
图6
生（同步演示）可以把这两个图形的边对齐，发现右边的这个图形更大一点。
师对于面积相差不大的图形，我们可以用重叠的方法比较它们的面积大小。（出示图7）这两个长方形的面积，还能一下子确定谁大谁小吗？ 图7
师老师给每个小组都提供了两组这样的图形，小组同学可以集思广益，看看能想出什么好办法。老师也给每个组准备了一个“智慧信封”，里面有剪刀和方格纸，看看能不能给你们启发。
（学生操作、汇报。）
生我们先把图形①对折，并从中间剪开，然后沿着长边拼起来，发现拼起来的图形和图形②的面积一样大。
师剪拼之后，图形①的面积变了吗？
生没变。
生我们把两个图形都放在方格纸上，发现图形①占6格，图形②也占6格，所以图形①和图形②一样大。
师他们是把小方格看作计量单位，通过数方格的数量来比较大小的。
生我们是在图形上画边长1厘米的小正方形，画完之后通过数小正方形的数量来比较大小的。
师他们小组是把两个图形用同样大小的一种单位去测量。同学们想了这么多比较这两个图形面积大小的办法，这些方法有没有什么相同之处呢？
生都是把图形转化成相同的计量单位进行比较。
学生通过剪拼活动，感受到面积的一个重要特点就是等积变形，或者说面积具有累积（可加）性。通过比较三种方法的相同之处，让学生体会到面积也可以像周长一样用合适的单位进行度量，为后面引出通过数小正方形个数来比较面积大小的方法奠定基础。
二、教学反思
对于认识面积概念，笔者设计了三个教学环节：第一个环节，围绕“怎样摸物体的面”展开，让学生形成“摸面要摸完整”的认识;第二个环节，围绕“还能摸怎样的面”展开，让学生既摸平面，也摸曲面，从而完善学生对面的认识;第三个环节，围绕“什么样的平面图形有面积”展开，旨在让学生明白封闭的平面图形才有面积。相较于周长，面积的概念对于学生来说更为抽象，所以在这几个教学环节中，笔者主要通过让学生动手操作，如“摸一摸”“画一画”“指一指”等，感知面积的含义。
对于比较平面图形面积的大小，笔者首先呈现面积相差较大的一组图形，让学生发现通过直观的观察就能得出结果;然后呈现面积相差不大的一组平面图形，让学生了解重叠的办法;最后呈现不能通过观察法和重叠法比较面积的一组平面图形，引发学生探究更多的操作。学生经历了一系列的操作活动，在感受比较面积方法多样性的同时，发现方法本质上的相同，即平面图形的面积可以用相同的单位进行计量，当同一计量单位的数量不同时，意味着累积的多少不同，进而面积也是不同的。当然，感受面的累积（可加）性需要一个过程，学生可能在学完整个单元后才能对此有一个相对清晰的认知。
参考文献：
[1] 华应龙.真空妙有，“面”上有花——以“认识面积”一课为例[J].小学教学（数学版），2017（4）.
[2] 刘善娜.聚焦學习起点，凸显“面”的二维本质——“认识面积”一课教学实践与思考[J].教学月刊·小学版（数学），2016（6）.
[3] 屈鸿雁，简翠萍.借助直观 经历操作——“什么是面积”教学实践与思考[J].小学数学教育，2017（23）.
关键词：小学数学操作活动概念本质《认识面积》
《认识面积》是苏教版小学数学三年级下册《长方形和正方形的面积》单元的起始课，是在学生已经初步认识了周长的基础上进行教学的。由一维的周长到二维的面积，对于学生来说，是一次认知的突破。对于“面积”概念，教材给出的是一个描述性定义——物体表面的大小和封闭的平面图形的大小就是它们的面积。那么，“面积”这一小学数学核心概念之一的本质是什么呢？“面积”是“面”和“积”的合称，即面具有累积（可加）性。不难发现，面积是为了描述面的累积的多少而产生的。
那么，教学中如何帮助学生建构对面积本质的认识？结合小学生的认知特点及其已有的生活经验，笔者认为，可以让学生在丰富的操作活动中，体验面积与物体面的关联，外化面积的本质。基于此，笔者进行了一次有意义的教学探索。
一、教学实践
（一）摸一摸，直观感知物体表面的面积
1.感受平面。
师（出示下页图1、图2）这两张照片的面有什么不同？
圖1图2
生大小不同。
生面积不同。
师你心目中的大小、面积指的是什么？谁来试着指一下其中的一张照片？
（指名学生比画。）
师他是怎么比画面的？
生把面全都摸了一遍。
师哪个小朋友愿意来摸另一张照片？
（指名学生摸照片。）
师其实，照片的大小就是照片的面积。你会摸课桌面的面积吗？
（学生摸课桌面。）
师课桌面的大小就是课桌面的面积。我们身边还有其他的面吗？它们的面积你也能摸一摸吗？自己找一找、摸一摸。
生数学书的封面。
师和数学书的封面面积相同的面，你能摸出来吗？
生数学书的底面。
师比数学书封面面积小的面，你能摸出来吗？
生数学书的侧面。
生铅笔盒的上面。
生量角器的上面。
面有大有小，是学生已有的生活经验;知道“面积”这一数学名词，是部分学生已有的认知可能。将这种生活经验和这种认知可能建立关联，需要教师引导学生去经历，去建构。教学中，让学生通过“找面”“摸面”“比较”这一系列操作活动，加强对物体的面的直观认识，知道物体的“表面”包括上面、侧面、底面等;感受到“面有大小”，为了描述物体面的大小，就衍生出面积这一数学概念，从而对面积的认识也由“会指”上升到“会说”。
2.感受曲面。
师刚才同学们都摸了很多面。其实生活中还有这样的面，（出示圆柱教具）这是——
生曲面。
师你会摸它的面积吗？
生会。
师如果想平平地摸，你有办法吗？
生（比画）像这样竖着剪开。
师真棒！这运用了我们数学上化曲为直的思想。
学生对面的认识可能还仅限于平的面。为了丰富学生对面的认识，在教学中，让学生摸一摸曲面，从而认识到不管是曲面还是平面，要摸它的面积，就要完整地摸出面的全部。同时，引导学生思考如何“平平地摸”曲面，让学生认识到不同的面之间的联系，体会化曲为直的数学思想。
（二）画一画，初步抽象平面图形的面积
师虽然这些面都不同，但是这些面都是在物体的表面上。其实，我们也可以把这些面描绘下来，闭上眼睛想象一下：如果把数学书的封面描绘下来，是什么图形？
生长方形。
师魔方的一个面描绘下来是——
生正方形。
师沿着三角板的直角描绘下来是——
生一个直角。
师你还想到了什么？
生水杯的底描绘下来是一个圆形。
师（课件依次出示图形，如图3）你看，我们能在物体表面上找到这么多平面图形，那我们都能摸出它们的面积吗？
图3
生不能。
师哪一个不能？
生直角。
师也就是说有面积的图形应该——
生是围起来的。
师对！围起来的图形在数学上叫作封闭图形。也就是说，封闭的图形才有面积。现在你能想办法把这个直角变成有面积的封闭图形吗？在你的练习纸上试一试。
（学生操作，部分作品如图4。）
图4
师看来平面图形只要是封闭的，不管它是规则的，还是不规则的，都有面积。
通过想象由物体的表面描绘下来的图形，让学生自然地由“面”想到“形”，培养学生的想象力与空间观念。其中，通过直角的“误入”，引发学生认识上的冲突，帮助学生直观感知封闭的平面图形才有面积。
（三）从看到数，深入理解面积的累积（可加）性
师刚才我们提到了那么多的平面图形，你会比较它们的面积大小吗？（出示图5）比如这两个图形。
图5
生一看就知道左边的图形面积大。
师对于这种相差比较大的图形，可以通过眼睛直接观察比较。（出示图6）那这两个图形呢？
图6
生（同步演示）可以把这两个图形的边对齐，发现右边的这个图形更大一点。
师对于面积相差不大的图形，我们可以用重叠的方法比较它们的面积大小。（出示图7）这两个长方形的面积，还能一下子确定谁大谁小吗？ 图7
师老师给每个小组都提供了两组这样的图形，小组同学可以集思广益，看看能想出什么好办法。老师也给每个组准备了一个“智慧信封”，里面有剪刀和方格纸，看看能不能给你们启发。
（学生操作、汇报。）
生我们先把图形①对折，并从中间剪开，然后沿着长边拼起来，发现拼起来的图形和图形②的面积一样大。
师剪拼之后，图形①的面积变了吗？
生没变。
生我们把两个图形都放在方格纸上，发现图形①占6格，图形②也占6格，所以图形①和图形②一样大。
师他们是把小方格看作计量单位，通过数方格的数量来比较大小的。
生我们是在图形上画边长1厘米的小正方形，画完之后通过数小正方形的数量来比较大小的。
师他们小组是把两个图形用同样大小的一种单位去测量。同学们想了这么多比较这两个图形面积大小的办法，这些方法有没有什么相同之处呢？
生都是把图形转化成相同的计量单位进行比较。
学生通过剪拼活动，感受到面积的一个重要特点就是等积变形，或者说面积具有累积（可加）性。通过比较三种方法的相同之处，让学生体会到面积也可以像周长一样用合适的单位进行度量，为后面引出通过数小正方形个数来比较面积大小的方法奠定基础。
二、教学反思
对于认识面积概念，笔者设计了三个教学环节：第一个环节，围绕“怎样摸物体的面”展开，让学生形成“摸面要摸完整”的认识;第二个环节，围绕“还能摸怎样的面”展开，让学生既摸平面，也摸曲面，从而完善学生对面的认识;第三个环节，围绕“什么样的平面图形有面积”展开，旨在让学生明白封闭的平面图形才有面积。相较于周长，面积的概念对于学生来说更为抽象，所以在这几个教学环节中，笔者主要通过让学生动手操作，如“摸一摸”“画一画”“指一指”等，感知面积的含义。
对于比较平面图形面积的大小，笔者首先呈现面积相差较大的一组图形，让学生发现通过直观的观察就能得出结果;然后呈现面积相差不大的一组平面图形，让学生了解重叠的办法;最后呈现不能通过观察法和重叠法比较面积的一组平面图形，引发学生探究更多的操作。学生经历了一系列的操作活动，在感受比较面积方法多样性的同时，发现方法本质上的相同，即平面图形的面积可以用相同的单位进行计量，当同一计量单位的数量不同时，意味着累积的多少不同，进而面积也是不同的。当然，感受面的累积（可加）性需要一个过程，学生可能在学完整个单元后才能对此有一个相对清晰的认知。
参考文献：
[1] 华应龙.真空妙有，“面”上有花——以“认识面积”一课为例[J].小学教学（数学版），2017（4）.
[2] 刘善娜.聚焦學习起点，凸显“面”的二维本质——“认识面积”一课教学实践与思考[J].教学月刊·小学版（数学），2016（6）.
[3] 屈鸿雁，简翠萍.借助直观 经历操作——“什么是面积”教学实践与思考[J].小学数学教育，2017（23）.