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摘 要：如何提高课堂效率？如何避免替代思维？如何调动学生的学习积极性？如何培养学生的数学素养？如何渗透数学思想方法？笔者通过对自己最近的一个教学片段进行初建、反思、重建，谈如何解决以上问题。
关键词：初建；重建；课堂效率；以生为本；合作学习；核心素养；数学思想方法
【初建课片段】
方法（一）累加法求通项公式
1. 设数列{an}满足a1=1，且an 1-an=n 1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
方法（二）累乘法求通项公式
2. 在数列{an}中，a1=1，an=n-1nan-1（n≥2），求数列{an}的通项公式。
方法（三）构造法求通项公式
3. 已知数列{an}满足a1=1，an 1=3an 2，求数列{an}的通项公式。
【教学思路】
在教导学生如何利用递推公式求数列通项的片段教学中，我主要采用先介绍利用递推公式求数列通项的三种方法：累加法、累乘法、构造法，然后教学生如何利用这三种方法求数列的通项公式，这种讲授法教学。
【教学反思】
从学生的掌握情况看，发现大部分存在以下问题：
1. 对于第一、二题许多学生还是采用等差、等比数列的通项公式来解决，说明学生没有真正掌握等差、等比数列的定义，还说明学生对于题目一、二的形式与等差、等比数列定义的区别还不清楚；
2. 对于第三题学生更会存在困惑，为什么我们要构造一个新的数列？如何构造？无从下手。说明本人采用讲授法这种填鸭式的教学是一种无效教学，学生被老师牵着鼻子走，他们只是模仿者，而不是学习的主人，没有自己的见解，没有真正理解所学的知识内涵，就不能将所学知识内化为自己的认知结构，即使学的时候会了，过后也很难回忆起。教师要“怎么教”，学生要“如何学”，才能提高课堂的有效性？才能让课堂成为学生学习的乐园？针对以上问题我觉得我们可以通过以下几个做法提高课堂效率：
1. “以生为本”，提高课堂效率。在本节初建课中，教师只是让学生简单地依赖模仿、记忆，没有让学生经历数学规律的发现过程，数学问题的解决过程，学生只是被动地接受知识，知其然而不知其所以然，囫囵吞枣，学习效果不好。在课堂教学中，教师应将“以生为本”的教学理念贯穿始终，充分调动学生学习的积极性，让学生成为学习的主人，通过自己的观察、思考来发现问题、提出问题、解决问题，从而掌握解决此类问题的方法，有了独立解决问题的能力，这时所学知识“润物细无声”地留在他们的脑海里，这将终生受益。
2. “小组探究、合作学习”，提高课堂效率。本人觉得“小组探究、合作学习”是落实“以生为本”理念最好的方式之一。通过生生互动的方式替代以往枯燥无味的讲授法教学模式，把足够多的时间给学生，让学生自觉、主动地参与到课堂上来，让学生“在参与中体验，在活动中发展”，在彼此思维的碰撞中，形成了对待问题的看法。
3. 渗透“数学思想方法”，提高课堂效率。教师在课堂教学中可以通过数学思想方法的渗透来提高了学生的思维能力，从而达到提高课堂的有效性的目的。本片段教学可以培养以下两个数学思想方法：
（1）转化与化归思想。该片断教学虽然用了三种方法来分别介绍如何通过递推公式求数列的通項，但其本质是转化与化归思想，将未知的问题转化为已知的问题来解决，即转化为等差或等比的相关知识来解决，这可以帮助学生找到了解决问题的方向。
（2）类比思想。在方法二的教学中，教师原本是仿造方法一再讲一遍，对学生来说枯燥无味，而且被动地接受，思维没有得到训练。因此，在方法二的教学中，教师可以让学生自己类比方法一的研究思路进行探究，不仅课堂时间节约了，还提高了学生学习的主动性，培养了学生不畏困难、勇于探索的精神。
4. 渗透“核心素养”，提高课堂效率。对于方法三，学生存在的困惑是为什么要构造新数列？如何构造新数列？构造的新数列一定是等比数列吗？如果教师只是让学生机械地模仿记忆，学生只会解这道题而不会解这类题。因此可以采用让学生现象观察→提出猜想→推理论证的方法来突破难点，在探究中培养了学生的逻辑推理能力、运算能力这两方面的核心素养，提高了学生的解决问题的能力。
基于以上的反思本人将此教学片断进行重构如下：
【重建课片段】
知识梳理
对象
等差数列
等比数列
定义
an-an-1=d（n≥2）
anan-1=q（n≥2）an≠0，q≠0
表示
通项公式
an=a1 （n-1）d=am （n-m）d
an=a1qn-1=amqn-m
前n项和
Sn=n（a1 an）2=na1 n（n-1）2d
Sn=na1（q=1）
a1（1-qn）1-q（q≠1）
【教学思路】本节课虽是学习三种利用数列递推公式求数列通项公式的方法，但其本质是利用转化与化归思想，转化为等差或等比数列的相关知识来解决。因此在课前先复习等差、等比数列的相关知识，为本节课的学习打下基础。
方法（一）累加法求通项公式
问题1：设数列{an}满足a1=1，且an 1-an=1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
2. 设数列{an}满足a1=1，且an 1-an=n 1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
【教学思路】步骤一：先让学生思考问题1与问题2的不同之处。同学们能够通过观察发现不同点在于an 1-an的值一个是常数，一个不是常数。当an 1-an的值是常数时，它是一个等差数列，借助等差数列的通项公式能够解决。反之，它不满足等差数列的定义，此刻对如何解决这个问题产生认知冲突，引发学生思考。步骤二：让学生通过小组讨论获得解决方案。步骤三：让学生思考如果式子an 1-an=n 1改为an 1-an=2n，an 1-an=1（2n-1）（2n 1）能够解决吗？ 方法（二）累乘法求通项公式
问题3：在数列{an}中，a1=1，an=2an-1（n≥2），求数列{an}的通项公式。
问题4：在数列{an}中，a1=1，an=2nan-1（n≥2），求数列{an}的通项公式。
【教学思路】有了前面学习的基础，对于方法二主要采用类比的方法让学生自己研究。最后让学生思考如果式子an=2nan-1（n≥2）改为an=n-1nan-1（n≥2）能够解决吗？
方法（三）构造法求通项公式
问题5：已知数列{an}满足a1=1，an 1=2an 1，求数列{an}的通项公式。
【教学思路】问题5的教学是本段片段教学的难点。对于这个知识点的教学主要采用让学生进行现象观察、提出猜想、推理论证这样的教学思路来突破难点。让学生经历数学知识的形成过程，数学规律的发现过程，以及数学问题的解决过程。
第一步现象观察：先让学生观察式子an 1=2an 1，有的学生可能会尝试将式子转化为an 1-2an=1来解决，但发现它不是等差数列，因为它与问题1中的式子an 1-an=1的区别在于an 1，an前的系数不一样；有的同学可能会尝试将式子转化为an 1=2an来解决，但发现也不行。怎么办呢？第二步提出猜想：先让学生写出a2，a3，a4，a5这四项的值，然后让学生通过这四项的值猜想数列{an}的通项公式。因为a1=1=21-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，a5=31=25-1，所以an=2n-1（n∈N）。第三步推理论证：如何证明呢？引导学生通过观察式子an=2n-1发现an 1=2n即{an 1}是一个等比数列。因此，只需要将式子an 1=2an 1改写成an 1 1=2（an 1），这时就构造了一个是等比的新数列，问题解决了。这给了学生一个解决问题的思路，当我们遇到不会的问题的时候我们可以通过观察、猜想、论证来获得结论和解题的思路。第四步：让学生思考如果式子an 1=2an 1变为an 1=2an 2n能够解决吗？这时需要构造一个是等差的新数列来解决。
我们为什么要利用构造法来解决问题，是因为我们要将陌生的问题转化为已经学过的问题来解决，至于构造出的数列它可能是等差也可能是等比数列，需要具体问题具体分析。在这学习过程中，学生学习的应是问题的本质，而不是死记硬背结论。
结束语：教师教给学生不应只是冰冷的数学知识，更重要的是教给学生用数学的眼光看待问题、用数学的思想去考慮问题的能力。授之以鱼不如授之以渔，学生“会学”比“学会”更重要，希望通过教师的不断反思，教学方式的不断改变，不仅提高了课堂的效率，还能促进学生数学素养的不断提高。
作者简介：叶雯雯，福建省厦门市，厦门市湖滨中学。
关键词：初建；重建；课堂效率；以生为本；合作学习；核心素养；数学思想方法
【初建课片段】
方法（一）累加法求通项公式
1. 设数列{an}满足a1=1，且an 1-an=n 1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
方法（二）累乘法求通项公式
2. 在数列{an}中，a1=1，an=n-1nan-1（n≥2），求数列{an}的通项公式。
方法（三）构造法求通项公式
3. 已知数列{an}满足a1=1，an 1=3an 2，求数列{an}的通项公式。
【教学思路】
在教导学生如何利用递推公式求数列通项的片段教学中，我主要采用先介绍利用递推公式求数列通项的三种方法：累加法、累乘法、构造法，然后教学生如何利用这三种方法求数列的通项公式，这种讲授法教学。
【教学反思】
从学生的掌握情况看，发现大部分存在以下问题：
1. 对于第一、二题许多学生还是采用等差、等比数列的通项公式来解决，说明学生没有真正掌握等差、等比数列的定义，还说明学生对于题目一、二的形式与等差、等比数列定义的区别还不清楚；
2. 对于第三题学生更会存在困惑，为什么我们要构造一个新的数列？如何构造？无从下手。说明本人采用讲授法这种填鸭式的教学是一种无效教学，学生被老师牵着鼻子走，他们只是模仿者，而不是学习的主人，没有自己的见解，没有真正理解所学的知识内涵，就不能将所学知识内化为自己的认知结构，即使学的时候会了，过后也很难回忆起。教师要“怎么教”，学生要“如何学”，才能提高课堂的有效性？才能让课堂成为学生学习的乐园？针对以上问题我觉得我们可以通过以下几个做法提高课堂效率：
1. “以生为本”，提高课堂效率。在本节初建课中，教师只是让学生简单地依赖模仿、记忆，没有让学生经历数学规律的发现过程，数学问题的解决过程，学生只是被动地接受知识，知其然而不知其所以然，囫囵吞枣，学习效果不好。在课堂教学中，教师应将“以生为本”的教学理念贯穿始终，充分调动学生学习的积极性，让学生成为学习的主人，通过自己的观察、思考来发现问题、提出问题、解决问题，从而掌握解决此类问题的方法，有了独立解决问题的能力，这时所学知识“润物细无声”地留在他们的脑海里，这将终生受益。
2. “小组探究、合作学习”，提高课堂效率。本人觉得“小组探究、合作学习”是落实“以生为本”理念最好的方式之一。通过生生互动的方式替代以往枯燥无味的讲授法教学模式，把足够多的时间给学生，让学生自觉、主动地参与到课堂上来，让学生“在参与中体验，在活动中发展”，在彼此思维的碰撞中，形成了对待问题的看法。
3. 渗透“数学思想方法”，提高课堂效率。教师在课堂教学中可以通过数学思想方法的渗透来提高了学生的思维能力，从而达到提高课堂的有效性的目的。本片段教学可以培养以下两个数学思想方法：
（1）转化与化归思想。该片断教学虽然用了三种方法来分别介绍如何通过递推公式求数列的通項，但其本质是转化与化归思想，将未知的问题转化为已知的问题来解决，即转化为等差或等比的相关知识来解决，这可以帮助学生找到了解决问题的方向。
（2）类比思想。在方法二的教学中，教师原本是仿造方法一再讲一遍，对学生来说枯燥无味，而且被动地接受，思维没有得到训练。因此，在方法二的教学中，教师可以让学生自己类比方法一的研究思路进行探究，不仅课堂时间节约了，还提高了学生学习的主动性，培养了学生不畏困难、勇于探索的精神。
4. 渗透“核心素养”，提高课堂效率。对于方法三，学生存在的困惑是为什么要构造新数列？如何构造新数列？构造的新数列一定是等比数列吗？如果教师只是让学生机械地模仿记忆，学生只会解这道题而不会解这类题。因此可以采用让学生现象观察→提出猜想→推理论证的方法来突破难点，在探究中培养了学生的逻辑推理能力、运算能力这两方面的核心素养，提高了学生的解决问题的能力。
基于以上的反思本人将此教学片断进行重构如下：
【重建课片段】
知识梳理
对象
等差数列
等比数列
定义
an-an-1=d（n≥2）
anan-1=q（n≥2）an≠0，q≠0
表示
通项公式
an=a1 （n-1）d=am （n-m）d
an=a1qn-1=amqn-m
前n项和
Sn=n（a1 an）2=na1 n（n-1）2d
Sn=na1（q=1）
a1（1-qn）1-q（q≠1）
【教学思路】本节课虽是学习三种利用数列递推公式求数列通项公式的方法，但其本质是利用转化与化归思想，转化为等差或等比数列的相关知识来解决。因此在课前先复习等差、等比数列的相关知识，为本节课的学习打下基础。
方法（一）累加法求通项公式
问题1：设数列{an}满足a1=1，且an 1-an=1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
2. 设数列{an}满足a1=1，且an 1-an=n 1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
【教学思路】步骤一：先让学生思考问题1与问题2的不同之处。同学们能够通过观察发现不同点在于an 1-an的值一个是常数，一个不是常数。当an 1-an的值是常数时，它是一个等差数列，借助等差数列的通项公式能够解决。反之，它不满足等差数列的定义，此刻对如何解决这个问题产生认知冲突，引发学生思考。步骤二：让学生通过小组讨论获得解决方案。步骤三：让学生思考如果式子an 1-an=n 1改为an 1-an=2n，an 1-an=1（2n-1）（2n 1）能够解决吗？ 方法（二）累乘法求通项公式
问题3：在数列{an}中，a1=1，an=2an-1（n≥2），求数列{an}的通项公式。
问题4：在数列{an}中，a1=1，an=2nan-1（n≥2），求数列{an}的通项公式。
【教学思路】有了前面学习的基础，对于方法二主要采用类比的方法让学生自己研究。最后让学生思考如果式子an=2nan-1（n≥2）改为an=n-1nan-1（n≥2）能够解决吗？
方法（三）构造法求通项公式
问题5：已知数列{an}满足a1=1，an 1=2an 1，求数列{an}的通项公式。
【教学思路】问题5的教学是本段片段教学的难点。对于这个知识点的教学主要采用让学生进行现象观察、提出猜想、推理论证这样的教学思路来突破难点。让学生经历数学知识的形成过程，数学规律的发现过程，以及数学问题的解决过程。
第一步现象观察：先让学生观察式子an 1=2an 1，有的学生可能会尝试将式子转化为an 1-2an=1来解决，但发现它不是等差数列，因为它与问题1中的式子an 1-an=1的区别在于an 1，an前的系数不一样；有的同学可能会尝试将式子转化为an 1=2an来解决，但发现也不行。怎么办呢？第二步提出猜想：先让学生写出a2，a3，a4，a5这四项的值，然后让学生通过这四项的值猜想数列{an}的通项公式。因为a1=1=21-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，a5=31=25-1，所以an=2n-1（n∈N）。第三步推理论证：如何证明呢？引导学生通过观察式子an=2n-1发现an 1=2n即{an 1}是一个等比数列。因此，只需要将式子an 1=2an 1改写成an 1 1=2（an 1），这时就构造了一个是等比的新数列，问题解决了。这给了学生一个解决问题的思路，当我们遇到不会的问题的时候我们可以通过观察、猜想、论证来获得结论和解题的思路。第四步：让学生思考如果式子an 1=2an 1变为an 1=2an 2n能够解决吗？这时需要构造一个是等差的新数列来解决。
我们为什么要利用构造法来解决问题，是因为我们要将陌生的问题转化为已经学过的问题来解决，至于构造出的数列它可能是等差也可能是等比数列，需要具体问题具体分析。在这学习过程中，学生学习的应是问题的本质，而不是死记硬背结论。
结束语：教师教给学生不应只是冰冷的数学知识，更重要的是教给学生用数学的眼光看待问题、用数学的思想去考慮问题的能力。授之以鱼不如授之以渔，学生“会学”比“学会”更重要，希望通过教师的不断反思，教学方式的不断改变，不仅提高了课堂的效率，还能促进学生数学素养的不断提高。
作者简介：叶雯雯，福建省厦门市，厦门市湖滨中学。