论文部分内容阅读
倡导积极主动，勇于探索的学习方式，是高中新课标的基本理念之一．它要求“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”．在高中新课标的实施建议中也建议数学课堂教学中“既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流．教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程”［1］.新课标的实验教材在广东已推行了一年多，这一理念有没有得到真正落实?实施过程中存在着哪些问题?下面笔者结合曾观摩的一节公开课，运用数学任务框架理论，来作些剖析与探讨．应用数学任务框架解析和诊断课堂，在国内中学数学教育界还处于刚刚起步阶段，笔者愿抛砖引玉，引起更多的人对此关注．
1课例再现
观摩课在广州×中高一(4)班进行，这是重点中学的一个理科实验班，生源很好．执教的H老师是一位教龄4年的年轻教师．课题是北师大版普通高中课程标准实验教材必修1中的“对数函数的图像与性质”．这一个内容在以前的多个版本的教材中都一直存在，H老师有意回避以前一些传统的教法，立足于教会学生学，试图在课堂上让学生进行一系列的自主学习，探究活动，为此分别设计了3个教学环节，为了便于分析，我们把每个环节作较为详细的叙述．
1．1环节1：
教师让学生自己阅读课本第109页对数函数的图像与性质部分，教师四周巡视，并小声询问个别同学．约用时2分钟．
然后教师问：课本上的表格中是否包括了对数函数的所有性质?
众生答：不是．教师追问：是否还有其他性质?
生1：还有单调性．
生2：还有奇偶性．
生2补充道：既非奇又非偶．
教师继续追问：还有其他性质吗?看到没有学生能回答.
教师说：反函数没有提到吧!以后随着时间的推移，大家会慢慢了解其他一些性质．
1．2环节2：
教师让学生先阅读课本第109～第110页例4，约2分钟．
接着教师问：例4中，求对数函数定义域的关键是什么?同桌可以互相讨论一下．
片刻后点生3回答：对数的真数大于零．
教师接着道：例4比较简单，能设计一个稍微复杂的题目吗?可以讨论一下．2分钟后教师点生4上讲台板演，写下：
1．3环节3：
H老师先要求学生阅读课本第110页例5．两分钟后，教师问：例5的设计意图是什么？
生8回答：考察对数函数单调性的变化．
教师复述学生8的回答后，接着追问道：你是怎样解第3小题的？
生8：作差法来做的．
教师想进一步挖掘例5，问道：在例5的基础上，大家想一想a的变化对函数图像有什么影响？一起探索一下．接着教师利用几何画板演示对数函数图像随着a的变化而变化的动画．然后点生9回答刚才的问题．
生9：a＞1时，对数函数是增函数；0＜a＜1时，对数函数是减函数．
教师继续望着生9，生9补充道：当a越大，y越小．
教师追问：当a越大，y越小？这说法对不对？没对a分类吧！
生9马上纠正道：当a＞1时，a越大，y增长越慢；当0＜a＜1时，a越大，y增长越快．
教师追问：增长越快？函数是往下画哪！
生9进一步纠正：减小越快．
教师又问其他同学意见，
生10站起来说：当a＞1时，在第一象限，a越大，函数图像越靠近x轴，在第四象限，a越大，函数图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，在第一象限，a越大，函数图像越靠近x轴，在第四象限，a越大，函数图像越靠近y轴．
接下来教师对以上探讨出的结论进行巩固训练和反馈，要求学生做以下练习：
如图1是三个对数函数y=logax, y=logbx, y=logcx (a,b,c＞0，且a,b,c均不为1）的图像，试比较a,b,c的大小．
教师问：谁能迅速判断出a,b,c的大小吗？
点生11回答：a,b都大于1,c＜1，所以c最小．
教师追问：那a,b的大小呢？
生11低头沉思．
教师又点生12回答：b＞a，因为a越大，在第一象限，函数图像越靠近x轴．
教师接着说：很好！还有其他方法吗？
图1图2生13马上接着回答：在y轴上过l作一条平行于x轴的直线（教师同时在黑板上画出图2），由与图像的交点可以看出b＞a＞c．教师在进行一题多解后，又进行一题多变训练，问道：例5能推广吗？学生中没有反应．片刻后，
生14举手回答：可把第（1）小题变成比较log25．3，log24．7，log0．58的大小．
然后师生一起通过换底得到三者的大小关系．
接着教师又问：若把log0．58换成log30．5，能看出谁最小吗？
生众：log30．5，因为它为负．
教师继续追问：logax什么时候为负？
生15回答：当a＞1，0＜x＜1或者0＜a＜1,x＞1时．
在此教师作了一个简单小结：a,x分别落在区间（0，1）和（1，+∞)上时是负，同时落在其中一个区间上时为正．接着教师又给出一组推广：比较大小① log25.3+log24.7, 2log25; ② log35+log39, 2log37; ③ log57+log517, 2log512．学生很快发现当计算前面的和，再与后面比较，并得到一般化规律：当a＞1时，logab+logac≤2logab+c/2；当0＜a＜1时结论相反．
图3教师进一步问：能联系图像解释吗？此时教室内一片沉寂，2分钟后，H老师看没有能回答，又快下课，就直接借助图3讲解：梯形ABCD的中位线表示logab+logac/2，由图3知很显然应小于logab+c/2，并告诉学生这也是对数函数的性质，而且是更一般意义上的性质—凸（凹）函数，最后要求学生课后去找相关资料进一步研究一下凸（凹）函数．
2数学任务分析
在数学任务框架中，数学任务是指围绕发展某个特定的数学技能、概念或思想而进行的一个课堂活动片段，包括问题和师生围绕问题所进行的教学活动．一个任务既可以包含一节课中与某一复杂问题相联系的几个问题或扩展活动，也可以是整节课的内容．一节果中可以只包含一个任务，也可以有几个任务，上面三个教学环节我们可以把它看成三个数学任务．在数学任务框架中，每个任务被划分成三个阶段：
（1） 课程材料阶段，指以书面材料形式出现的、教科书以及教学辅导书中的或教师自己创造的问题．
（2） 任务建立或组织阶段，指教师在课堂上就关于应该做什么、怎样做、利用何种资料问题与学生进行的交流，包括教师对任务的口头说明、分发材料和工具、深度会谈期望达到的目标，或者仅仅是花少量的时间告诉学生开始做黑板上列出的问题．
（3） 任务实施或执行阶段，它由学生实际完成任务的方式来决定．现根据数学任务的这三个阶段，对本课例的教学进行诊断分析．
2．1探究性课堂需对教材内容进行“高认知任
务”化处理教科书上的数学内容，大多是以“数学结果”的形式出现，虽然根据新课标编写的教科书在这方面有所改善，但很多知识内容仍需要教师进行再处理，使学生不断知其然，还知其所以然，尤其是自主探究性课堂，更要让学生经历知识的再创造过程．为此必须对“结果的数学”进行“高认知数学任务”化处理，让学生通过自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，去体验数学发现和创造的历程．而且这一过程中要保持学生较高的思维参与度和自主性．上述课例中，毫无疑问，对数函数的图像与性质应是本节课的一个重点内容，在这个重点内容上本可以也应该进行探究性活动，还“死”的知识以活的过程，让学生通过动手画对数函数图像，再在图像的基础上，学生自己归纳出对数函数的性质．如此处理既突出了本节课的重点，也体现新课标的要求，培养了学生的动手能力、抽象概括能力、数学语言的表达与交流能力．H老师为了强调能力目标的完成，而忽视了这个重点知识目标的达标，无异于舍本逐末，也使得后面的很多探究活动成了无源之水，无本之木．事实上，从课后与学生的交谈中得知，部分学生不能完整地说出对数函数有那些性质，有的甚至臆断出错误的认识．这显然与H老师教学环节1的不当处理有关．正所谓：要想使花发，必须给花儿以厚实的地基．
2．2探究性课堂需布置与组织高认知的数学
任务根据美国匹兹堡大学QUASAR研究，把数学任务按认知要求分成四种类型：记忆型、无联系的程序型、有联系的程序型和做数学．教师布置或建立的任务的认知水平，决定着学生后面思维的参与和探究活动的水平．一节课中的所有任务，不一定都要求学生有高认知的活动参与，组织不同认知类型的活动与教师的活动目的(教学目标)有关．H老师的教学目标是要提高学生的自学能力，让学生自己提出和探究一些问题，培养学生发散思维能力和创新意识．与此相应，“就应该选择具有使学生参与更复杂的思维方式的潜力的任务”，虽然这不能保证学生在高水平上的参与，但却是一个必要条件，因为低水平的任务实际上几乎不可能产生高水平的参与［3］．因此，我们说自主探究性教学要创设一个高认知问题情境——它不能是仅仅为了引入任务而设置的走过场式的“标签型”问题情境，而应该对后面的探究活动持续地发挥作用，贯穿于整个探究活动之中．
从前面课例中的三个任务可以看出，H老师布置任务的方式相同，都是先让学生阅读自学，然后教师提出一些具有探究性的问题．如，你能设计一个稍微复杂的题目吗?例5的设计意图是什么?等等．应该说，这些问题都具有较高的认知水平，为后面任务实施阶段的探究活动，打下了好的基础，，但令人遗憾的是，这种高水平在任务的实施阶段没有持续保持．正所谓：要想使花发，必须给花儿以持续的营养．
2．3探究性数学任务的实施与执行
如前所述，布置阶段是高认知水平的任务，在实施阶段不一定有高认知水平的学生参与．“做数学”的任务可能被演变成为“无联系程序型”任务或者非数学活动．已有研究表明，在任务的实施阶段，学生的认知参与程度最终决定他学了什么，而教师对学生思维和推理的支持方式和程度是决定高水平任务最终命运的一个重要因素［4］．为了使任务实施过程中认知要求保持原有水平，教师应注意以下几点：
① 任务要建立在学生已有的知识基础上，要指向学生的最近发展区．
② 保持问题的复杂性，当学生遇到困难，需要帮助时，教师要通过搭脚手架给予帮助，而不是随意降低问题的难度，甚至是迫于学生的压力或者教学进度等原因而代学生完成．
③ 任务布置以后，要留给学生适量的时间．
④ 有时教师要亲自或请学生示范高水平的行为.
⑤ 教师要维持对学生解释和赋予意义的要求．
这正如面对一道数学难题，教师应该鼓励学生克服困难，努力思考，争取成功，而不是要求学生放弃．上述课例的环节1中，H．老师只给学生2分钟阅读对数函数的图像与性质，部分学生都没弄清课本上列出的对数函数的性质，接着又问表格中是否包括了对数函数的所有性质?是否还有其他性质?教师是希望学生回答他心中所想的反函数、对数函数与指数函数的对称性，但由于问题提得唐突，又没给学生足够时间，所以很多学生面对老师的问题无所适从，探究活动只有戛然而止．类似的情形也出现在环节2中，求对数函数的定义域的本质是对数函数的真数必须大于0，H老师在教学中没有充分揭示这一本质，反而去追求其他方面的变式、发散，如对数的底的限制，二次根号下的限制．这种没有抓住本质的变式与发散是无味的，很容易让学生感到无所适从，挫伤学生的探究热情．环节3对课本例5的处理，相对来说应该是成功的，从任务的组织到实施都有较高的认知要求，属于“做数学”，学生的活动体现了真正意义上的探究，最后教师抛出凸(凹)函数概念，是否恰当和必要，值得商榷．笔者的观点是，探究活动也要掌握一个度，既要考虑学生目前的接受能力，也要考虑课标与考纲的要求．更何况用图3来解释不等式logab+logac≤2logab+c/2 (a＞1)的意义、引出凸(凹)函数的概念是H老师抛给学生的，这是违背探究性课堂教学原则的．当学生探究过程中出现困难时，教师应该反思所提问题是否大大超出学生的认知水平．如果没有超出，教师就要想方设法为学生的思维搭脚手架，给学生以帮助，而不是包办代替学生的思维．正所谓：要想使花发，必须给花儿以精心的照料．
自主探究性学习方式是新课标所倡导的，也是广大师生所期望的．但要想在课堂中真正实现，却面临着很多困难，作为一线教师应该多学习，多研究，改变观念，寻求策略，使自主探究性学习方式常驻于我们的课堂．
参考文献
1中华人民共和国教育部制订，普通高中数学课程标准(实验)．人民教育出版社，2003
2姚静，宋伟倩，康剑平．他们为什么在应用题上失败了，课程·教材·教法，2003（5）
3Hennigsen，M，A.&Stein，M.K.Mathematical Task and Inhibit High-level Mathematical Thinking and Reasoning，Journal for Research in Mathematical Education, 29(5),546
4李忠如译．实施初中数学课程标准的教学案例［M］．上海：上海教育出版社，2001
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1课例再现
观摩课在广州×中高一(4)班进行，这是重点中学的一个理科实验班，生源很好．执教的H老师是一位教龄4年的年轻教师．课题是北师大版普通高中课程标准实验教材必修1中的“对数函数的图像与性质”．这一个内容在以前的多个版本的教材中都一直存在，H老师有意回避以前一些传统的教法，立足于教会学生学，试图在课堂上让学生进行一系列的自主学习，探究活动，为此分别设计了3个教学环节，为了便于分析，我们把每个环节作较为详细的叙述．
1．1环节1：
教师让学生自己阅读课本第109页对数函数的图像与性质部分，教师四周巡视，并小声询问个别同学．约用时2分钟．
然后教师问：课本上的表格中是否包括了对数函数的所有性质?
众生答：不是．教师追问：是否还有其他性质?
生1：还有单调性．
生2：还有奇偶性．
生2补充道：既非奇又非偶．
教师继续追问：还有其他性质吗?看到没有学生能回答.
教师说：反函数没有提到吧!以后随着时间的推移，大家会慢慢了解其他一些性质．
1．2环节2：
教师让学生先阅读课本第109～第110页例4，约2分钟．
接着教师问：例4中，求对数函数定义域的关键是什么?同桌可以互相讨论一下．
片刻后点生3回答：对数的真数大于零．
教师接着道：例4比较简单，能设计一个稍微复杂的题目吗?可以讨论一下．2分钟后教师点生4上讲台板演，写下：
1．3环节3：
H老师先要求学生阅读课本第110页例5．两分钟后，教师问：例5的设计意图是什么？
生8回答：考察对数函数单调性的变化．
教师复述学生8的回答后，接着追问道：你是怎样解第3小题的？
生8：作差法来做的．
教师想进一步挖掘例5，问道：在例5的基础上，大家想一想a的变化对函数图像有什么影响？一起探索一下．接着教师利用几何画板演示对数函数图像随着a的变化而变化的动画．然后点生9回答刚才的问题．
生9：a＞1时，对数函数是增函数；0＜a＜1时，对数函数是减函数．
教师继续望着生9，生9补充道：当a越大，y越小．
教师追问：当a越大，y越小？这说法对不对？没对a分类吧！
生9马上纠正道：当a＞1时，a越大，y增长越慢；当0＜a＜1时，a越大，y增长越快．
教师追问：增长越快？函数是往下画哪！
生9进一步纠正：减小越快．
教师又问其他同学意见，
生10站起来说：当a＞1时，在第一象限，a越大，函数图像越靠近x轴，在第四象限，a越大，函数图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，在第一象限，a越大，函数图像越靠近x轴，在第四象限，a越大，函数图像越靠近y轴．
接下来教师对以上探讨出的结论进行巩固训练和反馈，要求学生做以下练习：
如图1是三个对数函数y=logax, y=logbx, y=logcx (a,b,c＞0，且a,b,c均不为1）的图像，试比较a,b,c的大小．
教师问：谁能迅速判断出a,b,c的大小吗？
点生11回答：a,b都大于1,c＜1，所以c最小．
教师追问：那a,b的大小呢？
生11低头沉思．
教师又点生12回答：b＞a，因为a越大，在第一象限，函数图像越靠近x轴．
教师接着说：很好！还有其他方法吗？
图1图2生13马上接着回答：在y轴上过l作一条平行于x轴的直线（教师同时在黑板上画出图2），由与图像的交点可以看出b＞a＞c．教师在进行一题多解后，又进行一题多变训练，问道：例5能推广吗？学生中没有反应．片刻后，
生14举手回答：可把第（1）小题变成比较log25．3，log24．7，log0．58的大小．
然后师生一起通过换底得到三者的大小关系．
接着教师又问：若把log0．58换成log30．5，能看出谁最小吗？
生众：log30．5，因为它为负．
教师继续追问：logax什么时候为负？
生15回答：当a＞1，0＜x＜1或者0＜a＜1,x＞1时．
在此教师作了一个简单小结：a,x分别落在区间（0，1）和（1，+∞)上时是负，同时落在其中一个区间上时为正．接着教师又给出一组推广：比较大小① log25.3+log24.7, 2log25; ② log35+log39, 2log37; ③ log57+log517, 2log512．学生很快发现当计算前面的和，再与后面比较，并得到一般化规律：当a＞1时，logab+logac≤2logab+c/2；当0＜a＜1时结论相反．
图3教师进一步问：能联系图像解释吗？此时教室内一片沉寂，2分钟后，H老师看没有能回答，又快下课，就直接借助图3讲解：梯形ABCD的中位线表示logab+logac/2，由图3知很显然应小于logab+c/2，并告诉学生这也是对数函数的性质，而且是更一般意义上的性质—凸（凹）函数，最后要求学生课后去找相关资料进一步研究一下凸（凹）函数．
2数学任务分析
在数学任务框架中，数学任务是指围绕发展某个特定的数学技能、概念或思想而进行的一个课堂活动片段，包括问题和师生围绕问题所进行的教学活动．一个任务既可以包含一节课中与某一复杂问题相联系的几个问题或扩展活动，也可以是整节课的内容．一节果中可以只包含一个任务，也可以有几个任务，上面三个教学环节我们可以把它看成三个数学任务．在数学任务框架中，每个任务被划分成三个阶段：
（1） 课程材料阶段，指以书面材料形式出现的、教科书以及教学辅导书中的或教师自己创造的问题．
（2） 任务建立或组织阶段，指教师在课堂上就关于应该做什么、怎样做、利用何种资料问题与学生进行的交流，包括教师对任务的口头说明、分发材料和工具、深度会谈期望达到的目标，或者仅仅是花少量的时间告诉学生开始做黑板上列出的问题．
（3） 任务实施或执行阶段，它由学生实际完成任务的方式来决定．现根据数学任务的这三个阶段，对本课例的教学进行诊断分析．
2．1探究性课堂需对教材内容进行“高认知任
务”化处理教科书上的数学内容，大多是以“数学结果”的形式出现，虽然根据新课标编写的教科书在这方面有所改善，但很多知识内容仍需要教师进行再处理，使学生不断知其然，还知其所以然，尤其是自主探究性课堂，更要让学生经历知识的再创造过程．为此必须对“结果的数学”进行“高认知数学任务”化处理，让学生通过自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，去体验数学发现和创造的历程．而且这一过程中要保持学生较高的思维参与度和自主性．上述课例中，毫无疑问，对数函数的图像与性质应是本节课的一个重点内容，在这个重点内容上本可以也应该进行探究性活动，还“死”的知识以活的过程，让学生通过动手画对数函数图像，再在图像的基础上，学生自己归纳出对数函数的性质．如此处理既突出了本节课的重点，也体现新课标的要求，培养了学生的动手能力、抽象概括能力、数学语言的表达与交流能力．H老师为了强调能力目标的完成，而忽视了这个重点知识目标的达标，无异于舍本逐末，也使得后面的很多探究活动成了无源之水，无本之木．事实上，从课后与学生的交谈中得知，部分学生不能完整地说出对数函数有那些性质，有的甚至臆断出错误的认识．这显然与H老师教学环节1的不当处理有关．正所谓：要想使花发，必须给花儿以厚实的地基．
2．2探究性课堂需布置与组织高认知的数学
任务根据美国匹兹堡大学QUASAR研究，把数学任务按认知要求分成四种类型：记忆型、无联系的程序型、有联系的程序型和做数学．教师布置或建立的任务的认知水平，决定着学生后面思维的参与和探究活动的水平．一节课中的所有任务，不一定都要求学生有高认知的活动参与，组织不同认知类型的活动与教师的活动目的(教学目标)有关．H老师的教学目标是要提高学生的自学能力，让学生自己提出和探究一些问题，培养学生发散思维能力和创新意识．与此相应，“就应该选择具有使学生参与更复杂的思维方式的潜力的任务”，虽然这不能保证学生在高水平上的参与，但却是一个必要条件，因为低水平的任务实际上几乎不可能产生高水平的参与［3］．因此，我们说自主探究性教学要创设一个高认知问题情境——它不能是仅仅为了引入任务而设置的走过场式的“标签型”问题情境，而应该对后面的探究活动持续地发挥作用，贯穿于整个探究活动之中．
从前面课例中的三个任务可以看出，H老师布置任务的方式相同，都是先让学生阅读自学，然后教师提出一些具有探究性的问题．如，你能设计一个稍微复杂的题目吗?例5的设计意图是什么?等等．应该说，这些问题都具有较高的认知水平，为后面任务实施阶段的探究活动，打下了好的基础，，但令人遗憾的是，这种高水平在任务的实施阶段没有持续保持．正所谓：要想使花发，必须给花儿以持续的营养．
2．3探究性数学任务的实施与执行
如前所述，布置阶段是高认知水平的任务，在实施阶段不一定有高认知水平的学生参与．“做数学”的任务可能被演变成为“无联系程序型”任务或者非数学活动．已有研究表明，在任务的实施阶段，学生的认知参与程度最终决定他学了什么，而教师对学生思维和推理的支持方式和程度是决定高水平任务最终命运的一个重要因素［4］．为了使任务实施过程中认知要求保持原有水平，教师应注意以下几点：
① 任务要建立在学生已有的知识基础上，要指向学生的最近发展区．
② 保持问题的复杂性，当学生遇到困难，需要帮助时，教师要通过搭脚手架给予帮助，而不是随意降低问题的难度，甚至是迫于学生的压力或者教学进度等原因而代学生完成．
③ 任务布置以后，要留给学生适量的时间．
④ 有时教师要亲自或请学生示范高水平的行为.
⑤ 教师要维持对学生解释和赋予意义的要求．
这正如面对一道数学难题，教师应该鼓励学生克服困难，努力思考，争取成功，而不是要求学生放弃．上述课例的环节1中，H．老师只给学生2分钟阅读对数函数的图像与性质，部分学生都没弄清课本上列出的对数函数的性质，接着又问表格中是否包括了对数函数的所有性质?是否还有其他性质?教师是希望学生回答他心中所想的反函数、对数函数与指数函数的对称性，但由于问题提得唐突，又没给学生足够时间，所以很多学生面对老师的问题无所适从，探究活动只有戛然而止．类似的情形也出现在环节2中，求对数函数的定义域的本质是对数函数的真数必须大于0，H老师在教学中没有充分揭示这一本质，反而去追求其他方面的变式、发散，如对数的底的限制，二次根号下的限制．这种没有抓住本质的变式与发散是无味的，很容易让学生感到无所适从，挫伤学生的探究热情．环节3对课本例5的处理，相对来说应该是成功的，从任务的组织到实施都有较高的认知要求，属于“做数学”，学生的活动体现了真正意义上的探究，最后教师抛出凸(凹)函数概念，是否恰当和必要，值得商榷．笔者的观点是，探究活动也要掌握一个度，既要考虑学生目前的接受能力，也要考虑课标与考纲的要求．更何况用图3来解释不等式logab+logac≤2logab+c/2 (a＞1)的意义、引出凸(凹)函数的概念是H老师抛给学生的，这是违背探究性课堂教学原则的．当学生探究过程中出现困难时，教师应该反思所提问题是否大大超出学生的认知水平．如果没有超出，教师就要想方设法为学生的思维搭脚手架，给学生以帮助，而不是包办代替学生的思维．正所谓：要想使花发，必须给花儿以精心的照料．
自主探究性学习方式是新课标所倡导的，也是广大师生所期望的．但要想在课堂中真正实现，却面临着很多困难，作为一线教师应该多学习，多研究，改变观念，寻求策略，使自主探究性学习方式常驻于我们的课堂．
参考文献
1中华人民共和国教育部制订，普通高中数学课程标准(实验)．人民教育出版社，2003
2姚静，宋伟倩，康剑平．他们为什么在应用题上失败了，课程·教材·教法，2003（5）
3Hennigsen，M，A.&Stein，M.K.Mathematical Task and Inhibit High-level Mathematical Thinking and Reasoning，Journal for Research in Mathematical Education, 29(5),546
4李忠如译．实施初中数学课程标准的教学案例［M］．上海：上海教育出版社，2001
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文