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现在开始,爱上数学——
本文的标题是英国伦敦数学会前会长索利凡说过的一句话,他还说:“数学使我们的智力变得精致和洗练。”从原始的“结绳记事”到如今宇宙飞船飞向太空,数学给世界带来了翻天覆地的变化。在作为认识世界和改造世界的工具满足了人类物质需要的同时,数学还提供了更高层次的智力活动与美的享受,使人类的精神世界不断得到升华。
主讲:沈新权
浙江省数学特级教师,浙江省数学会理事
★ 数学的萌芽
早在有文字记载之前人类就已经有了数的概念。起初人们只能认识“有”还是“没有”,后来,在长期的采集、狩猎等生产活动中,人们开始注意到了一只羊与许多羊、一棵树与很多树在数量上的差异,于是建立了“多”与“少”的朦胧意识。逐渐地,人们又意识到了一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树之间存在着某种共同的特点,由此慢慢地就抽象出了“1”这个数的概念。
早期的记数是根据一一对应的原则进行的,也就是给每个被数物品选择一个相应的物品或标记来作为计数工具。现成的工具当然是手指,亚里士多德曾指出,十进制的广泛采用,只不过是人生来就有十个手指这样一个解剖学事实的结果。
手能表示的数目毕竟有限,当手指不够用时,人们就想到了用石头记数。但记数的石子堆容易散落,很难长久保存信息,于是就有了“结绳记事”。美国自然史博物馆中收藏了古代南美印加部落用来记事的绳结:在一根较粗的绳子上拴系不同颜色的细绳,再在细绳上打各种各样的结, 不同的颜色和结的位置、形状就代表不同的事物和数目。
结绳毕竟也不方便,于是人们就开始在实物(石、木、骨等)上刻痕以代替结绳。从现有的考古资料看,几乎所有的古文明都经历过一个“刻痕记数”的阶段,只是各自的形式不同而已。逐渐地,这些不同形式的“刻痕”就演变为了不同的书写符号和记数系统,如公元前3400年左右出现的古埃及象形数字、公元前2400年左右出现的巴比伦楔形数字、公元前1600年左右出现的中国甲骨文数字以及年代不详的玛雅数字等。记数系统的出现使得人类文明向前迈进了一大步,人们开始借用符号来表示数,并由此逐步发展到了我们今天所用的数字。
数学符号的发明和使用要比数字晚,而且每个符号背后都有一段有趣的故事。例如乘号曾经用过十几种符号,现在通用两种,一个是“×”,最早是由英国数学家奥屈特提出的;另一个是“·”,是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为,“×”太像拉丁字母“X”,故加以反对,而赞成用“·”号。他自己还提出用“Π”符号来表示相乘,这个符号现在被应用于集合论。直到18世纪,才由美国数学家欧德莱最终确定把“×”作为乘号,理由是“×”是加号“ ”斜过来写,作为另一种表示增加的符号再合适不过。
与“数”形影不离的是“形”。简单几何图形的出现,是数学起源的另一标志。一般认为,几何学起源于古埃及尼罗河泛滥后的土地测量,这种说法最早是由古希腊的历史学家希罗多德提出的。他写道:“国王把土地作了一次划分,他把同样大小的正方形土地平均分配给所有人,而土地持有者每年向他缴纳租金。如果河水冲毁了某人分得的土地,这个人就可以将此事告知国王,国王就会派人前来调查并测量损失的土地面积,今后的租金就要按照减少后的土地面积来征收。我想正是由于有了这样的做法,埃及才第一次有了几何学,而希腊人又从那里学到了它。”
对于土地的测量和面积的计算,最终催生了几何学。当时埃及从事土地测量的人员被称为“拉绳者”,他们的工作就是在测量用的绳子上打出等间隔的绳结,从而确定长度。而求面积的方法,最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。他们发现,一块地面如果是三砖长、三砖宽,就需要铺9块砖(3×3);另一块地面是三砖长、五砖宽,则需要铺15块砖(3×5)。逐渐地,埃及人就知道了计算正方形和长方形的面积只要用长乘以宽就行了。但问题在于,被河水冲毁后的土地形状很不规则,不能分割成一个个长方形或者正方形,只能把它们分成若干个三角形。怎么办?古埃及人发现,一块正方形的布可以折叠成两块大小相等的三角形布料,每个三角形的面积恰好是正方形面积的一半。从类似的探索中,他们总结出了求三角形面积的方法。
古埃及给后世留下了许多建筑史上的奇迹:胡夫金字塔、狮身人面像、阿蒙神庙……在建造这些巨大建筑物的过程中,古埃及人积累了丰富的几何学知识。
不过,在萌芽阶段,数学更多的是经验、直观的知识,还没有形成系统的理论体系和抽象的思维方法。比如,古埃及的几何学始终停留在实验阶段,几何学知识是零碎的、片断的,并且缺乏逻辑因素,基本上看不到命题的证明,甚至连勾股定理似乎都还没有发现。数学成为一门独立的学科始于公元前6世纪左右的古希腊。
★ 数学学科的建立
数学学科化的首要功臣当推被西方称作“科学之父”的泰勒斯,他在数学方面划时代的、影响最深远的贡献是引入了命题证明的思想。命题的证明,就是借助一些公理或真实性已确定的命题来论证某一命题真实性的过程。泰勒斯把古埃及的地面几何演变成了平面几何学,发现并证明了许多几何学上的基本定理,如“直径平分圆周”“等腰三角形底角相等”“两直线相交,其对顶角相等”等等。
命题证明思想的提出标志着人类对事物的认识已经从实践上升到了理论,这是数学史上一次不寻常的飞跃。正是因为有了逻辑证明,数学命题的正确性得到了保证,数学理论才能立于不败之地;数学定理之间的关系得到揭示,数学的学科结构体系才能建立,进一步发展才有基础。自此,数学从具体的、实验的阶段过渡到了抽象的、理论的阶段,并逐渐演变成一门独立的、演绎的学科。
在泰勒斯之后,毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德、阿基米德等数学巨匠不断涌现,他们发现了众多对数学学科发展影响深远的成果,并为后世留下了许多不朽的数学著作。然而,比这些具体成果更重要的是,古希腊数学提出了构建数学理论大厦的公理化思想,为后世数学的发展指明了方向。
逻辑思辨与实践经验携手大大刺激了数学中新的观点、新的理论和方法的产生。一方面,数学能够从实验科学中吸取灵感,激发新的数学分支的产生,如对数、三角学的形成,微积分的产生与分析学的发展都是建立在自然科学研究的基础上的;另一方面,数学成果也日益广泛地被应用到其他学科的研究中去。
发展到现在,数学已经成为拥有100多个分支的庞大学科。大体说来,数学中研究数的部分,属于代数的范畴;研究形的部分,属于几何的范畴;沟通形与数的部分,属于分析的范畴。这三大类,构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围,由于数学与其他领域互相渗透,出现了许多边缘学科和交叉学科。
在之后几期的介绍中,我们将会看到,数学的各个概念和各大分支就像连环套,一环套一环,在一个概念产生和推广深化的过程中将不断催生新的概念和研究方向,使得数学学科的发展不断取得突破。
本文的标题是英国伦敦数学会前会长索利凡说过的一句话,他还说:“数学使我们的智力变得精致和洗练。”从原始的“结绳记事”到如今宇宙飞船飞向太空,数学给世界带来了翻天覆地的变化。在作为认识世界和改造世界的工具满足了人类物质需要的同时,数学还提供了更高层次的智力活动与美的享受,使人类的精神世界不断得到升华。
主讲:沈新权
浙江省数学特级教师,浙江省数学会理事
★ 数学的萌芽
早在有文字记载之前人类就已经有了数的概念。起初人们只能认识“有”还是“没有”,后来,在长期的采集、狩猎等生产活动中,人们开始注意到了一只羊与许多羊、一棵树与很多树在数量上的差异,于是建立了“多”与“少”的朦胧意识。逐渐地,人们又意识到了一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树之间存在着某种共同的特点,由此慢慢地就抽象出了“1”这个数的概念。
早期的记数是根据一一对应的原则进行的,也就是给每个被数物品选择一个相应的物品或标记来作为计数工具。现成的工具当然是手指,亚里士多德曾指出,十进制的广泛采用,只不过是人生来就有十个手指这样一个解剖学事实的结果。
手能表示的数目毕竟有限,当手指不够用时,人们就想到了用石头记数。但记数的石子堆容易散落,很难长久保存信息,于是就有了“结绳记事”。美国自然史博物馆中收藏了古代南美印加部落用来记事的绳结:在一根较粗的绳子上拴系不同颜色的细绳,再在细绳上打各种各样的结, 不同的颜色和结的位置、形状就代表不同的事物和数目。
结绳毕竟也不方便,于是人们就开始在实物(石、木、骨等)上刻痕以代替结绳。从现有的考古资料看,几乎所有的古文明都经历过一个“刻痕记数”的阶段,只是各自的形式不同而已。逐渐地,这些不同形式的“刻痕”就演变为了不同的书写符号和记数系统,如公元前3400年左右出现的古埃及象形数字、公元前2400年左右出现的巴比伦楔形数字、公元前1600年左右出现的中国甲骨文数字以及年代不详的玛雅数字等。记数系统的出现使得人类文明向前迈进了一大步,人们开始借用符号来表示数,并由此逐步发展到了我们今天所用的数字。
数学符号的发明和使用要比数字晚,而且每个符号背后都有一段有趣的故事。例如乘号曾经用过十几种符号,现在通用两种,一个是“×”,最早是由英国数学家奥屈特提出的;另一个是“·”,是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为,“×”太像拉丁字母“X”,故加以反对,而赞成用“·”号。他自己还提出用“Π”符号来表示相乘,这个符号现在被应用于集合论。直到18世纪,才由美国数学家欧德莱最终确定把“×”作为乘号,理由是“×”是加号“ ”斜过来写,作为另一种表示增加的符号再合适不过。
与“数”形影不离的是“形”。简单几何图形的出现,是数学起源的另一标志。一般认为,几何学起源于古埃及尼罗河泛滥后的土地测量,这种说法最早是由古希腊的历史学家希罗多德提出的。他写道:“国王把土地作了一次划分,他把同样大小的正方形土地平均分配给所有人,而土地持有者每年向他缴纳租金。如果河水冲毁了某人分得的土地,这个人就可以将此事告知国王,国王就会派人前来调查并测量损失的土地面积,今后的租金就要按照减少后的土地面积来征收。我想正是由于有了这样的做法,埃及才第一次有了几何学,而希腊人又从那里学到了它。”
对于土地的测量和面积的计算,最终催生了几何学。当时埃及从事土地测量的人员被称为“拉绳者”,他们的工作就是在测量用的绳子上打出等间隔的绳结,从而确定长度。而求面积的方法,最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。他们发现,一块地面如果是三砖长、三砖宽,就需要铺9块砖(3×3);另一块地面是三砖长、五砖宽,则需要铺15块砖(3×5)。逐渐地,埃及人就知道了计算正方形和长方形的面积只要用长乘以宽就行了。但问题在于,被河水冲毁后的土地形状很不规则,不能分割成一个个长方形或者正方形,只能把它们分成若干个三角形。怎么办?古埃及人发现,一块正方形的布可以折叠成两块大小相等的三角形布料,每个三角形的面积恰好是正方形面积的一半。从类似的探索中,他们总结出了求三角形面积的方法。
古埃及给后世留下了许多建筑史上的奇迹:胡夫金字塔、狮身人面像、阿蒙神庙……在建造这些巨大建筑物的过程中,古埃及人积累了丰富的几何学知识。
不过,在萌芽阶段,数学更多的是经验、直观的知识,还没有形成系统的理论体系和抽象的思维方法。比如,古埃及的几何学始终停留在实验阶段,几何学知识是零碎的、片断的,并且缺乏逻辑因素,基本上看不到命题的证明,甚至连勾股定理似乎都还没有发现。数学成为一门独立的学科始于公元前6世纪左右的古希腊。
★ 数学学科的建立
数学学科化的首要功臣当推被西方称作“科学之父”的泰勒斯,他在数学方面划时代的、影响最深远的贡献是引入了命题证明的思想。命题的证明,就是借助一些公理或真实性已确定的命题来论证某一命题真实性的过程。泰勒斯把古埃及的地面几何演变成了平面几何学,发现并证明了许多几何学上的基本定理,如“直径平分圆周”“等腰三角形底角相等”“两直线相交,其对顶角相等”等等。
命题证明思想的提出标志着人类对事物的认识已经从实践上升到了理论,这是数学史上一次不寻常的飞跃。正是因为有了逻辑证明,数学命题的正确性得到了保证,数学理论才能立于不败之地;数学定理之间的关系得到揭示,数学的学科结构体系才能建立,进一步发展才有基础。自此,数学从具体的、实验的阶段过渡到了抽象的、理论的阶段,并逐渐演变成一门独立的、演绎的学科。
在泰勒斯之后,毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德、阿基米德等数学巨匠不断涌现,他们发现了众多对数学学科发展影响深远的成果,并为后世留下了许多不朽的数学著作。然而,比这些具体成果更重要的是,古希腊数学提出了构建数学理论大厦的公理化思想,为后世数学的发展指明了方向。
逻辑思辨与实践经验携手大大刺激了数学中新的观点、新的理论和方法的产生。一方面,数学能够从实验科学中吸取灵感,激发新的数学分支的产生,如对数、三角学的形成,微积分的产生与分析学的发展都是建立在自然科学研究的基础上的;另一方面,数学成果也日益广泛地被应用到其他学科的研究中去。
发展到现在,数学已经成为拥有100多个分支的庞大学科。大体说来,数学中研究数的部分,属于代数的范畴;研究形的部分,属于几何的范畴;沟通形与数的部分,属于分析的范畴。这三大类,构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围,由于数学与其他领域互相渗透,出现了许多边缘学科和交叉学科。
在之后几期的介绍中,我们将会看到,数学的各个概念和各大分支就像连环套,一环套一环,在一个概念产生和推广深化的过程中将不断催生新的概念和研究方向,使得数学学科的发展不断取得突破。