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三角函数是高中数学的基础内容，也是高考的热点、必考点.高考题目难度适中，学生易得分，但也易失分.在学习过程中，学生因基本概念掌握得不透彻，对三角、向量公式的原理不理解以及抽象思维能力的相对薄弱，常常在求三角函数值、平移图象、研究单调性、与解三角形综合应用等方面出错.以下，将常见错误进行剖析.
一、忽视三角求值时角的范围的影响
例1 已知π2<β<α<3π4，cos（α-β）=1213，sin（α+β）=-35，求sin2α的值.
错解：因为π2<β<α<3π4，
所以-3π4<-β<-π2，从而-π4<α-β<π4，π<α+β<3π2，
则cos（α+β）=-1-sin2（α+β）=-45
sin（α-β）=±1-cos2（α-β）=±513
所以sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
当sin（α-β）=513时，sin2α=513×（-45）+1213×（-35）=-5665.
当sin（α-β）=-513时，sin2α=（-513）×（-45）+1213×（-35）=-1665
正解：因为π2<β<α<3π4，
所以-3π4<-β<-π2，从而0<α-β<π4，π<α+β<3π2，
则cos（α+β）=-1-sin2（α+β）=-45
sin（α-β）=1-cos2（α-β）=513
所以sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
=513×（-45）+1213×（-35）=-5665.
解题反思：此题如果用和差公式将两个已知式分别展开，则会出现束手无策的局面.但仔细观察已知式与待求式中的角的特征，就可发现2α=（α+β）+（α-β），于是可利用“已知角表示未知角”的解题方法，然而，由于条件π2<β<α<3π4易使学生忽视β<α，从而导致放大了角的范围.
二、求角问题中忽视三角函数名称选择的重要性
例2 设α，β是锐角，且sinα=255，sinβ=1010，求α-β.
错解：因为α，β是锐角且sinα=255，sinβ=1010
所以cosα=1-sin2α=55，cosβ=1-sin2β=31010
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=55×31010+255×1010=22
又因为α，β是锐角，所以-π2<α-β<π2
所以α-β=±π4
正解：因为α，β是锐角且sinα=255，sinβ=1010
所以cosα=1-sin2α=55，cosβ=1-sin2β=31010
所以sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
=255×31010-55×1010=22
又因为α，β是锐角，所以-π2<α-β<π2 所以α-β=π4
解题反思：在已知三角函数值求角的问题中，选择恰当的三角函数是解题关键.通常要根据题中所给已知角的范围确定未知角的的范围，从而确定未知角的象限，再根据角的象限及三角函数在各个象限内的符号确定最终选择合适的三角函数，避免增解的产生.
三、求三角函数的值域时忽视图像
例3 求函数y=cosx3，x∈[0，4π]的值域.
错解：令t=x3，x∈[0，4π]则t∈[0，4π3]，
于是y=cost，t∈[0，4π3]，所以，当t=0时，y取得最大值1.
当t=4π3时，y取得最小值-12.所以函数的值域为[-12，1].
正解：令t=x3，x∈[o，4π]则t∈[0，4π3]，
于是y=cost，t∈[0，4π3]，结合函数的图像得
所以，当t=0时，y取得最大值1.
当t=π时，y取得最小值-1.
所以函数的值域为[-1，1].
解题反思：求解三角函数值域时，应关注函数的单调性，很多学生往往忽视三角函数的图像的应用.
四、三角函数的图像变换的典型错误
例4 将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 .
错解：将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位得y=sin（2x+π4），再向上平移1个单位得y=sin（2x+π4）+1，故填y=sin（2x+π4）+1.
正解：将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位得y=sin2（x+π4）=sin（2x+π2）=cos2x，再向上平移1个单位得y=cos2x+1，故填y=cos2x+1.
解题反思：三角函数图像变换中最易错的就是左右平移变换，左右平移变换（相位变换）的本质是图像上点的横坐标在发生变化，因而平移时应仅仅对x进行加减.
五、求单调区间无视ω的正负性致误
例5 函数y=sin（π4-2x）的单调减区间为 .
错解：令2kπ+π2≤π4-2x≤2kπ+3π2，整理得-kπ-5π8≤x≤-kπ-π8（k∈Z），所求区间为[-kπ-5π8，-kπ-π8]（k∈Z），故填[-kπ-5π8，-kπ-π8]（k∈Z）.
正解：由题意知y=-sin（2x-π4），所以只需求y=sin（2x-π4）的单调增区间，令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2，整理得kπ-π8≤x≤kπ+3π8（k∈Z），所求区间为[kπ-π8，kπ+3π8]（k∈Z），故填[kπ-π8，kπ+3π8]（k∈Z）.
解题反思：形如y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数求单调减区间，基本思路是把ωx+φ看作一个整体，由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2（k∈Z）求得函数的增区间，由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2（k∈Z）求得函数的减区间；形如y=Asin（-ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数，可先用诱导公式把x的系数变为正数，得y=-Asin（ωx-φ），由2kπ-π2≤ωx-φ≤2kπ+π2（k∈Z）求得函数的减区间，由2kπ+π2≤ωx-φ≤2kπ+3π2（k∈Z）求得函数的增区间；对于y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的单调区间的求法与y=Asin（ωx+φ）的单调区间的求法相同；对于带有绝对值的三角函数应结合图像，从直观上进行判断.
六、三角函数与解三角形的综合应用忽视三角形内角和为π
例6 已知函数f（x）=sin（π4+x）.sin（π4-x）+3sinxcosx（x∈R）.
（1）求f（π6）的值；
（2）在△ABC中，若f（A2）=1，求sinB+sinC的值域.
错解：（1）f（x）=sin（π4+x）.sin（π4-x）+3sinxcosx=12cos2x+32sin2x，
所以f（π6）=1.
（2）由f（A2）=1，有f（A2）=sin（A+π6）=1.因为0 sinB+sinC=sinB+sin（2π3-B）=32sinB+32cosB=3sin（B+π6）.
因为0 正解：（1）f（x）=sin（π4+x）.sin（π4-x）+3sinxcosx=12cos2x+32sin2x，
所以f（π6）=1.
（2）由f（A2）=1，有f（A2）=sin（A+π6）=1.因为0 因为0 解题反思：三角函数与解三角形的综合是近几年高考命题的热点，多以解答题的形式出现，主要考查三角函数的最值或值域问题.而最值和值域求解的关键是函数的定义域的准确性和图像的应用.
三角函数学习过程中，既要合理选用公式，又要关注角的范围对求三角函数值的影响，还应重视通过准确研究三角函数的图像来研究三角函数的性质.既要注重基础，又要关注细节，特别是注意一些易错点，才能在学习过程中少犯错甚至不犯错，取得更加理想的学习效果.
（作者：刘炜群，如皋市第一中学）
一、忽视三角求值时角的范围的影响
例1 已知π2<β<α<3π4，cos（α-β）=1213，sin（α+β）=-35，求sin2α的值.
错解：因为π2<β<α<3π4，
所以-3π4<-β<-π2，从而-π4<α-β<π4，π<α+β<3π2，
则cos（α+β）=-1-sin2（α+β）=-45
sin（α-β）=±1-cos2（α-β）=±513
所以sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
当sin（α-β）=513时，sin2α=513×（-45）+1213×（-35）=-5665.
当sin（α-β）=-513时，sin2α=（-513）×（-45）+1213×（-35）=-1665
正解：因为π2<β<α<3π4，
所以-3π4<-β<-π2，从而0<α-β<π4，π<α+β<3π2，
则cos（α+β）=-1-sin2（α+β）=-45
sin（α-β）=1-cos2（α-β）=513
所以sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
=513×（-45）+1213×（-35）=-5665.
解题反思：此题如果用和差公式将两个已知式分别展开，则会出现束手无策的局面.但仔细观察已知式与待求式中的角的特征，就可发现2α=（α+β）+（α-β），于是可利用“已知角表示未知角”的解题方法，然而，由于条件π2<β<α<3π4易使学生忽视β<α，从而导致放大了角的范围.
二、求角问题中忽视三角函数名称选择的重要性
例2 设α，β是锐角，且sinα=255，sinβ=1010，求α-β.
错解：因为α，β是锐角且sinα=255，sinβ=1010
所以cosα=1-sin2α=55，cosβ=1-sin2β=31010
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=55×31010+255×1010=22
又因为α，β是锐角，所以-π2<α-β<π2
所以α-β=±π4
正解：因为α，β是锐角且sinα=255，sinβ=1010
所以cosα=1-sin2α=55，cosβ=1-sin2β=31010
所以sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
=255×31010-55×1010=22
又因为α，β是锐角，所以-π2<α-β<π2 所以α-β=π4
解题反思：在已知三角函数值求角的问题中，选择恰当的三角函数是解题关键.通常要根据题中所给已知角的范围确定未知角的的范围，从而确定未知角的象限，再根据角的象限及三角函数在各个象限内的符号确定最终选择合适的三角函数，避免增解的产生.
三、求三角函数的值域时忽视图像
例3 求函数y=cosx3，x∈[0，4π]的值域.
错解：令t=x3，x∈[0，4π]则t∈[0，4π3]，
于是y=cost，t∈[0，4π3]，所以，当t=0时，y取得最大值1.
当t=4π3时，y取得最小值-12.所以函数的值域为[-12，1].
正解：令t=x3，x∈[o，4π]则t∈[0，4π3]，
于是y=cost，t∈[0，4π3]，结合函数的图像得
所以，当t=0时，y取得最大值1.
当t=π时，y取得最小值-1.
所以函数的值域为[-1，1].
解题反思：求解三角函数值域时，应关注函数的单调性，很多学生往往忽视三角函数的图像的应用.
四、三角函数的图像变换的典型错误
例4 将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 .
错解：将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位得y=sin（2x+π4），再向上平移1个单位得y=sin（2x+π4）+1，故填y=sin（2x+π4）+1.
正解：将函数y=sin2x的图像向左平移π4个单位得y=sin2（x+π4）=sin（2x+π2）=cos2x，再向上平移1个单位得y=cos2x+1，故填y=cos2x+1.
解题反思：三角函数图像变换中最易错的就是左右平移变换，左右平移变换（相位变换）的本质是图像上点的横坐标在发生变化，因而平移时应仅仅对x进行加减.
五、求单调区间无视ω的正负性致误
例5 函数y=sin（π4-2x）的单调减区间为 .
错解：令2kπ+π2≤π4-2x≤2kπ+3π2，整理得-kπ-5π8≤x≤-kπ-π8（k∈Z），所求区间为[-kπ-5π8，-kπ-π8]（k∈Z），故填[-kπ-5π8，-kπ-π8]（k∈Z）.
正解：由题意知y=-sin（2x-π4），所以只需求y=sin（2x-π4）的单调增区间，令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2，整理得kπ-π8≤x≤kπ+3π8（k∈Z），所求区间为[kπ-π8，kπ+3π8]（k∈Z），故填[kπ-π8，kπ+3π8]（k∈Z）.
解题反思：形如y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数求单调减区间，基本思路是把ωx+φ看作一个整体，由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2（k∈Z）求得函数的增区间，由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2（k∈Z）求得函数的减区间；形如y=Asin（-ωx+φ）（A>0，ω>0）的函数，可先用诱导公式把x的系数变为正数，得y=-Asin（ωx-φ），由2kπ-π2≤ωx-φ≤2kπ+π2（k∈Z）求得函数的减区间，由2kπ+π2≤ωx-φ≤2kπ+3π2（k∈Z）求得函数的增区间；对于y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的单调区间的求法与y=Asin（ωx+φ）的单调区间的求法相同；对于带有绝对值的三角函数应结合图像，从直观上进行判断.
六、三角函数与解三角形的综合应用忽视三角形内角和为π
例6 已知函数f（x）=sin（π4+x）.sin（π4-x）+3sinxcosx（x∈R）.
（1）求f（π6）的值；
（2）在△ABC中，若f（A2）=1，求sinB+sinC的值域.
错解：（1）f（x）=sin（π4+x）.sin（π4-x）+3sinxcosx=12cos2x+32sin2x，
所以f（π6）=1.
（2）由f（A2）=1，有f（A2）=sin（A+π6）=1.因为0
因为0
所以f（π6）=1.
（2）由f（A2）=1，有f（A2）=sin（A+π6）=1.因为0
三角函数学习过程中，既要合理选用公式，又要关注角的范围对求三角函数值的影响，还应重视通过准确研究三角函数的图像来研究三角函数的性质.既要注重基础，又要关注细节，特别是注意一些易错点，才能在学习过程中少犯错甚至不犯错，取得更加理想的学习效果.
（作者：刘炜群，如皋市第一中学）