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研究物理模型的目的是为了形象、简洁地处理物理问题，将复杂的实际情况转化为容易接受的简单物理情境。“等时圆”模型就是高中物理中比较典型的一个模型。
一、什么是“等时圆”模型
图1
例题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d点所用的时间，则（）。
A.t1t2>t3
C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3
图2
解答：选任一杆上的环为研究对象，受力分析如图2所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得mgcosθ=ma，由几何关系得细杆长度L=2Rcosθ。设下滑时间为t，则L=12at2。联立各式解得t=2Rg。可见下滑时间与细杆倾角无关，即从圆上沿不同路径下滑的三个环运动到d点的时间相等。答案为D。
由此可以推广出一个结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
因为物体从圆上任意一点下滑的时间相等，我们就把像这样的竖直圆简称为“等时圆”。
二、“等时圆”的变式
图3
推论：若将图1倒置成图3的形式，则物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
三、“等时圆”的应用
题型一：直接观察出“等时圆”。
如图4所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则（）。
图4
A.a球最先到达M点
B.b球最先到达M点
C.c球最先到达M点
D.d球最先到达M点
答案为C。
题型二：运用类比法自建“等时圆”
如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，
图5
相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。
提示：根据“等时圆”的规律构建模型——A、B、P三点在同一个圆上。
题型三：“形似质异”的问题
如图6所示，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库
侧壁，三块滑块与水平面的夾角依次为30°、45°、60°。若有三个小孩同
图6
时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）。
A.a处小孩最先到O点
B.b处小孩最先到O点
C.c处小孩最先到O点
D.a、c处小孩同时到O点
答案：BD。
作者单位：云南民族大学附属中学
一、什么是“等时圆”模型
图1
例题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d点所用的时间，则（）。
A.t1
C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3
图2
解答：选任一杆上的环为研究对象，受力分析如图2所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得mgcosθ=ma，由几何关系得细杆长度L=2Rcosθ。设下滑时间为t，则L=12at2。联立各式解得t=2Rg。可见下滑时间与细杆倾角无关，即从圆上沿不同路径下滑的三个环运动到d点的时间相等。答案为D。
由此可以推广出一个结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
因为物体从圆上任意一点下滑的时间相等，我们就把像这样的竖直圆简称为“等时圆”。
二、“等时圆”的变式
图3
推论：若将图1倒置成图3的形式，则物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
三、“等时圆”的应用
题型一：直接观察出“等时圆”。
如图4所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则（）。
图4
A.a球最先到达M点
B.b球最先到达M点
C.c球最先到达M点
D.d球最先到达M点
答案为C。
题型二：运用类比法自建“等时圆”
如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，
图5
相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。
提示：根据“等时圆”的规律构建模型——A、B、P三点在同一个圆上。
题型三：“形似质异”的问题
如图6所示，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库
侧壁，三块滑块与水平面的夾角依次为30°、45°、60°。若有三个小孩同
图6
时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）。
A.a处小孩最先到O点
B.b处小孩最先到O点
C.c处小孩最先到O点
D.a、c处小孩同时到O点
答案：BD。
作者单位：云南民族大学附属中学