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一、 试题特点分析
几何应用性问题常常以现实生活情景为背景，图文并茂、内容新颖，但是背景陌生.通常考查学生识别图形、动手操作图形、运用几何知识解决实际问题以及探索、发现问题等能力，同时也对学生观察、猜想、归纳、分析、综合、数形结合等数学思想方法进行考查.
二、 解题方法指导
1. 解几何应用性问题的一般思路
2.解几何应用性问题的一般步骤（审题→建模→求解→答题）
（１） 审题：阅读理解是解题的一大难点，所以审题在解应用性问题中尤为重要，只有读懂题意，明确背景，才能进行数学抽象、建模，将实际问题数学化.
在几何应用性问题的审题过程中，要能从实际情境中提炼出几何图形，充分运用数形结合的思想，化抽象为直观，理清题目的条件和要求的结论.
（2） 建模：能够根据提炼出的几何图形和条件，联想到相关的数学知识和结论，从而转化成一个纯数学问题.
（3） 求解：运用所学数学知识和技能，对建立的数学模型解答，得出数学结论.
（4） 答题：将得出的数学结论还原到实际问题中去，解决实际问题.
三、 典型例题分析
例1（2010年兰州市）如图是某货站传送货物的平面示意图， 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1） 求新传送带AC的长度；
（2） 如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）
思路点拨第（1）小题由于遇到特殊角，所以可以作垂直，构造直角三角形，解直角三角形即可；第（1）小题转化成纯数学问题，即求线段PC长，比较其与2的大小关系.
解（1）如图，作AD⊥BC于点D
Rt△ABD中，AD=AB•sin45°=4×=2
在Rt△ACD中，
∵ ∠ACD=30°．
∴ＡＣ＝２ＡＤ＝４≈５.６．
即新传送带AC的长度约为５.６米．
（2） 结论：货物MNQP应挪走．
在Rt△ABD中，BD=AB•cos45°=
4×=2．
在Rt△ACD中， CD=AC•cos30°=
4×=2．
∴ CB=CD-BD=2-2≈2.1.
∵ PC=PB-CB≈4-2.1=1.9＜2.
∴货物MNQP应挪走．
点评此类题目中，如果所提炼出的几何图形中出现30°、45°、60°的特殊角，则应考虑运用三角函数的知识，解直角三角形；如果尚不具备直角三角形，则可作垂直构造直角三角形即可.
例2（2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1） 能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2） 至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
思路点拨首先可以将信号覆盖的问题抽象成若干个圆覆盖一个大正方形的数学问题，第（1）小题根据正方形的对称性，通过分析、操作和计算，很容易找到可以达到预设要求的4个安装点（安装方案不唯一）；第（2）小题考生需要合理猜想并进行探究，要找到可实现预设要求的最少安装点，需要经历一个反复“试错”的探究过程，才能最终获得正确结果.
解（1） 将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为×30=15＜31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=DG=CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE=x，则ED=30-x，DH=15．
由BE=DG，得x2+302=152+（30-x）2，
∴ x==， ∴BE=2+302≈３０.２＜31.
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求．
若用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形的一半区域．如图3，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设⊙O经过A，B，⊙O与ＡＤ交于Ｅ，连ＢＥ，则ＡＥ＝=＜15=AD，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD，即安装两个这样的信号转发装置不能覆盖这个城市．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．
点评像这类几何图形方案设计的题目，要充分利用图形本身的对称性有针对性的考虑，不能漫无目的寻找；同时又要学会用数学模型去计算、证明，解释其合理性.
例3如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
思路点拨垂径定理是圆中的重要定理之一，本题的关键是将实际问题转化成有关于圆中半径和弦长的计算，这样联想到垂径定理，问题就迎刃而解了.
解由题意知，AB=7.2m，CD=2.4m，OC⊥AB
∵ OC⊥AB， ∴ AD=3.6m.
设半径OA=xm，则由勾股定理得3.62+（x-2.4）2=x2.
解得x=3.9， ∴ OD=OC-CD=3.9-2.4=1.5m.
∵ OC⊥MN， ∴ NH=1.5m.
由勾股定理得OH==3.6.
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1m>2m.
∴此货船可以通过，不过要小心驾驶．
点评类似的，还有汽车能否安全通过圆弧形（或者抛物线形）隧道、桥洞等实际问题，考生可以结合自己的生活体验去判断，常见的思路有两种：一是恰好满足宽度，比较高度；二是恰好满足高度，比较宽度.像本题就是选择方法一，因为这样运算量较小，过程较简洁.
例4（2010年江苏省无锡市）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
（1） 请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2） 计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
思路点拨本题对考生的空间想象能力、抽象能力、动手操作能力都有较高的要求，本题关键是了解纸条的缠绕方式，把握纸条边长和棱柱底边边长之间数量关系，即AB的长等于三棱柱的底边周长.
解（1） 由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长， ∴ AB=30
∵纸带宽为15， ∴ sin∠DAB=sin∠ABM===， ∴ ∠DAB=30°．
（2） 在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，将图甲中的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形ABCD，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD.
由题意得知：图2中BC=2CF=2×=40，
∴所需矩形纸带的长为MC=MB+BC=30•cos30°+40=55cm．
点评中考紧张的解题节奏中，有的考生舍不得花时间动手操作.事实上，有时对于像本题这样比较抽象但可操作的题目，考生动手操作一下，更容易发现其中隐藏的一些特殊数量关系，从而找到解题的突破口；其次，对于空间立体图形的问题，我们都是转化成平面图形来解决.
四、 巩固练习
1.（2010年浙江省绍兴市）水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2，则α的余弦值为.
2. （2010年江苏省无锡市）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5 km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8km的C处．
（1） 求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2） 如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
3. （2009年湖北省孝感市）三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：① 每个人看守的牧场面积相等；② 在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．
请回答：
（1） 牧童B的划分方案中，牧童（填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；
（2） 牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）
4. （2010年江西省）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，其示意图如图2.当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米．BC=2.0分米.设AP=ｘ分米.
（1） 求ｘ的取值范围；
（2） 若∠CPN=60度，求ｘ的值；
（3） 设阳光直射下伞的阴影（假定为圆面）面积为ｙ，求ｙ与ｘ的关系式（结构保留π）
2. （1） 由题意，得∠BAC=30°+60°=90°
∴ BC=2=16
∴轮船航行的速度为16÷=12km/h
（2） 能
作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则AD=AB•cos∠BAD=20，CE=AC•sin∠CAE=4，AE=AC•cos∠CAE=12．
∵ BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°，又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF
∴=， ∴ =， ∴ EF=8
∴ AF=AE+EF=20．
∵ AM=19.5，AN=20.5， ∴ AM＜AF＜AN
∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．
3. （1）C
（2） 牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则理由如下：如图，在正方形DEFG中，四边形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN=NP=HG．可知EN=NF，S＝S，取正方形边长为2，设HD=x，则HE=2－x.在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG得：EH2+EN2=DH2+DG2，即：（2-x）2+12=x2+22．
解得，x=． ∴ HE=2-=
∴ S= S=1×=，S=2×=． ∴ S≠S．
∴牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则．
4. （1） 因为BC=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10.
所以ｘ的取值范围是0≤x≤10.
（2） 因为CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等边三角形．
所以CP=6，所以AP=AC-PC=12-6=6
即当∠CPN=60°时，ｘ=6分米.
（3） 连接MN、EF，分别交AC与O，H，因为PM=PN=CM=CN，所以四边形PNCM是菱形.
所以MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线PO===6-0.5x
在Rt△MOP中，PM=6，
MO2=PM2-PO2=62-（6-0.5x）2=6x-0.25x2
又因为CE=CF，AC是∠ECF的平分线，所以EH=HF，EF垂直AC.
因为∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，
所以△COM∽△CEH，所以=
所以（）2=（）2
所以ＥＨ２＝９ＭＯ２＝９（6x-0.25x2）
所以y=πEH2=9π（6x-0.25x2）=x2+54πx
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
几何应用性问题常常以现实生活情景为背景，图文并茂、内容新颖，但是背景陌生.通常考查学生识别图形、动手操作图形、运用几何知识解决实际问题以及探索、发现问题等能力，同时也对学生观察、猜想、归纳、分析、综合、数形结合等数学思想方法进行考查.
二、 解题方法指导
1. 解几何应用性问题的一般思路
2.解几何应用性问题的一般步骤（审题→建模→求解→答题）
（１） 审题：阅读理解是解题的一大难点，所以审题在解应用性问题中尤为重要，只有读懂题意，明确背景，才能进行数学抽象、建模，将实际问题数学化.
在几何应用性问题的审题过程中，要能从实际情境中提炼出几何图形，充分运用数形结合的思想，化抽象为直观，理清题目的条件和要求的结论.
（2） 建模：能够根据提炼出的几何图形和条件，联想到相关的数学知识和结论，从而转化成一个纯数学问题.
（3） 求解：运用所学数学知识和技能，对建立的数学模型解答，得出数学结论.
（4） 答题：将得出的数学结论还原到实际问题中去，解决实际问题.
三、 典型例题分析
例1（2010年兰州市）如图是某货站传送货物的平面示意图， 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1） 求新传送带AC的长度；
（2） 如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）
思路点拨第（1）小题由于遇到特殊角，所以可以作垂直，构造直角三角形，解直角三角形即可；第（1）小题转化成纯数学问题，即求线段PC长，比较其与2的大小关系.
解（1）如图，作AD⊥BC于点D
Rt△ABD中，AD=AB•sin45°=4×=2
在Rt△ACD中，
∵ ∠ACD=30°．
∴ＡＣ＝２ＡＤ＝４≈５.６．
即新传送带AC的长度约为５.６米．
（2） 结论：货物MNQP应挪走．
在Rt△ABD中，BD=AB•cos45°=
4×=2．
在Rt△ACD中， CD=AC•cos30°=
4×=2．
∴ CB=CD-BD=2-2≈2.1.
∵ PC=PB-CB≈4-2.1=1.9＜2.
∴货物MNQP应挪走．
点评此类题目中，如果所提炼出的几何图形中出现30°、45°、60°的特殊角，则应考虑运用三角函数的知识，解直角三角形；如果尚不具备直角三角形，则可作垂直构造直角三角形即可.
例2（2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1） 能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2） 至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
思路点拨首先可以将信号覆盖的问题抽象成若干个圆覆盖一个大正方形的数学问题，第（1）小题根据正方形的对称性，通过分析、操作和计算，很容易找到可以达到预设要求的4个安装点（安装方案不唯一）；第（2）小题考生需要合理猜想并进行探究，要找到可实现预设要求的最少安装点，需要经历一个反复“试错”的探究过程，才能最终获得正确结果.
解（1） 将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为×30=15＜31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=DG=CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE=x，则ED=30-x，DH=15．
由BE=DG，得x2+302=152+（30-x）2，
∴ x==， ∴BE=2+302≈３０.２＜31.
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求．
若用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形的一半区域．如图3，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设⊙O经过A，B，⊙O与ＡＤ交于Ｅ，连ＢＥ，则ＡＥ＝=＜15=AD，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD，即安装两个这样的信号转发装置不能覆盖这个城市．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．
点评像这类几何图形方案设计的题目，要充分利用图形本身的对称性有针对性的考虑，不能漫无目的寻找；同时又要学会用数学模型去计算、证明，解释其合理性.
例3如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
思路点拨垂径定理是圆中的重要定理之一，本题的关键是将实际问题转化成有关于圆中半径和弦长的计算，这样联想到垂径定理，问题就迎刃而解了.
解由题意知，AB=7.2m，CD=2.4m，OC⊥AB
∵ OC⊥AB， ∴ AD=3.6m.
设半径OA=xm，则由勾股定理得3.62+（x-2.4）2=x2.
解得x=3.9， ∴ OD=OC-CD=3.9-2.4=1.5m.
∵ OC⊥MN， ∴ NH=1.5m.
由勾股定理得OH==3.6.
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1m>2m.
∴此货船可以通过，不过要小心驾驶．
点评类似的，还有汽车能否安全通过圆弧形（或者抛物线形）隧道、桥洞等实际问题，考生可以结合自己的生活体验去判断，常见的思路有两种：一是恰好满足宽度，比较高度；二是恰好满足高度，比较宽度.像本题就是选择方法一，因为这样运算量较小，过程较简洁.
例4（2010年江苏省无锡市）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
（1） 请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2） 计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
思路点拨本题对考生的空间想象能力、抽象能力、动手操作能力都有较高的要求，本题关键是了解纸条的缠绕方式，把握纸条边长和棱柱底边边长之间数量关系，即AB的长等于三棱柱的底边周长.
解（1） 由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长， ∴ AB=30
∵纸带宽为15， ∴ sin∠DAB=sin∠ABM===， ∴ ∠DAB=30°．
（2） 在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，将图甲中的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形ABCD，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD.
由题意得知：图2中BC=2CF=2×=40，
∴所需矩形纸带的长为MC=MB+BC=30•cos30°+40=55cm．
点评中考紧张的解题节奏中，有的考生舍不得花时间动手操作.事实上，有时对于像本题这样比较抽象但可操作的题目，考生动手操作一下，更容易发现其中隐藏的一些特殊数量关系，从而找到解题的突破口；其次，对于空间立体图形的问题，我们都是转化成平面图形来解决.
四、 巩固练习
1.（2010年浙江省绍兴市）水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2，则α的余弦值为.
2. （2010年江苏省无锡市）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5 km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8km的C处．
（1） 求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2） 如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
3. （2009年湖北省孝感市）三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：① 每个人看守的牧场面积相等；② 在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．
请回答：
（1） 牧童B的划分方案中，牧童（填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；
（2） 牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）
4. （2010年江西省）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，其示意图如图2.当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米．BC=2.0分米.设AP=ｘ分米.
（1） 求ｘ的取值范围；
（2） 若∠CPN=60度，求ｘ的值；
（3） 设阳光直射下伞的阴影（假定为圆面）面积为ｙ，求ｙ与ｘ的关系式（结构保留π）
2. （1） 由题意，得∠BAC=30°+60°=90°
∴ BC=2=16
∴轮船航行的速度为16÷=12km/h
（2） 能
作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则AD=AB•cos∠BAD=20，CE=AC•sin∠CAE=4，AE=AC•cos∠CAE=12．
∵ BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°，又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF
∴=， ∴ =， ∴ EF=8
∴ AF=AE+EF=20．
∵ AM=19.5，AN=20.5， ∴ AM＜AF＜AN
∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．
3. （1）C
（2） 牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则理由如下：如图，在正方形DEFG中，四边形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN=NP=HG．可知EN=NF，S＝S，取正方形边长为2，设HD=x，则HE=2－x.在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG得：EH2+EN2=DH2+DG2，即：（2-x）2+12=x2+22．
解得，x=． ∴ HE=2-=
∴ S= S=1×=，S=2×=． ∴ S≠S．
∴牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则．
4. （1） 因为BC=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10.
所以ｘ的取值范围是0≤x≤10.
（2） 因为CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等边三角形．
所以CP=6，所以AP=AC-PC=12-6=6
即当∠CPN=60°时，ｘ=6分米.
（3） 连接MN、EF，分别交AC与O，H，因为PM=PN=CM=CN，所以四边形PNCM是菱形.
所以MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线PO===6-0.5x
在Rt△MOP中，PM=6，
MO2=PM2-PO2=62-（6-0.5x）2=6x-0.25x2
又因为CE=CF，AC是∠ECF的平分线，所以EH=HF，EF垂直AC.
因为∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，
所以△COM∽△CEH，所以=
所以（）2=（）2
所以ＥＨ２＝９ＭＯ２＝９（6x-0.25x2）
所以y=πEH2=9π（6x-0.25x2）=x2+54πx
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文