摘要本文利用最小二乘解概念探讨了关于求无解的线性方程组的最优的近似解的教学,完备了线性方程组解的各种情况的处理方法,也更契合于实际应用。
　　關键词线性方程组 最小二乘解
　　中图分类号:G423文献标识码:A
　　
　　线性方程组是线性代数的重要内容,也是一个基本的数学工具,但是目前的线性代数教材大多数对其讨论的都不完备,一般只是给出线性方程组是否有解的判定以及有解时的解的结构及解法,但对于线性方程组无解的情形则不作讨论。
　　事实上,实际问题中是会经常遇到无解的线性方程组(由实验数据建立起来的方程组很可能无解),而无解线性方程组可以有最优的近似解(最小二乘解)。因此,我们非常有必要补上这一块儿内容,这样既完备了线性方程组各种情况的处理方法,也对实际有利。下面我们就来探讨线性方程组无解情形下的教学。
　　考虑无解的线性方程组:
　　AX=,令=AX-,我们称为剩余向量。在实数域上,使得剩余向量长度最小的向量Y(对于AX=而言)称为方程组AX=的最小二乘解,即对所有的实n维向量X都有||AY-||≤||AX-||。也就是说要在集合{AX}中找到一个向量,使得对任意∈{AX},总是有||-||≤||-||。可以证明(用几何直观解释如图)。
　　
　　||-||最小当且仅当-与{AX}中每个向量正交,因{AX}中每个向量都是由A的列向量张成,故-与A的所有列向量正交,即有AT(-)=0,因=AY,我们有ATAY=AT。因此AY=的最小二乘解即为ATAY=AT的解。
　　事实上,matlab函数库中已有这种情况的算法。下证在实数域上ATAY=AT总有解。
　　例(1)设A为任意矩阵,则秩(ATA) = 秩(A)。
　　证明:考虑齐次线性方程组ATAX=0与AX=0,显然方程组AX=0的解都是方程组ATAX=0的解。另假设向量Y为方程组ATAX=0的解,即ATAY=0,则YTATAY=0,于是可得(AY)TAY=0,从而AY=0。这也就是说方程组ATAX=0的解也都是方程组AX=0的解,从而这两个齐次线性方程组同解,所以秩(ATA) = 秩(A)。
　　例(2)设矩阵A,B,则秩(AB) ≤秩(A)。
　　证明:我们对矩阵A按列分块儿,设A=(1,2…,3),则由矩阵的分块儿乘法得AB的各个列向量均为A的列向量的线性组合,所以AB的列向量组可被A的列向量组线性表出,从而秩(AB)≤秩(A)。
　　例(3)在实数域上ATAY=AT总有解。
　　证明:由线性方程组有解的判定,只需证明增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩,而显然增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩,又由分块儿矩阵乘法秩(ATA AT)=秩(AT(A)),由例(1)及例(2)容易得到秩(AT(A))≤秩(AT)=秩(A)=秩(ATA),所以增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩,因此,在实数域上上述线性方程组ATAY=AT总是有解。
　　通过以上的分析,我们在实际应用中遇到无解线性方程组的时候,只需去求它的最小二乘解就可得到它的最优的近似解。而求解,我们可以用新的计算技术去实现,方便而快捷。
　　这样,在整个线性方程组的教学中,我们把方程组的各种解的情况都考虑到了,让学生对线性方程组得到了全面的掌握,同时,也使线性代数的教学与实际应用有了更紧密的联系,使线性代数与新的计算技术相结合,从而提高学生对线性代数的学习兴趣。
　　笔者希望关于无解的线性方程组的这一点教学思考能起到抛砖引玉的作用,使线性代数这门课的教学能进一步的完善。
　　
　　参考文献
　　[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003(第三版).
　　[2]王萼芳,石生明等.高等代数辅导与习题解答[M].高等教育出版社.