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摘要：供应链是一个典型的动态系统，如何协调系统中各成员之间的利益和关系，寻找供应链网络的最终均衡状态，是供应链管理中的一个重要问题，文章首先以变分不等式为工具，介绍了确定性和不确定性需求条件下的供应链网络均衡模型，然后将该类模型转化为非线性互补问题，运用评价函数（merit function）将其转化为无约束最优化问题，最后通过拟牛顿算法求解该类模型，有效解决了该类模型的求解问题。
关键词：供应链网络；变分不等式；网络均衡；无约束 最优化；拟牛顿算法
中图分类号：F224文献标识码：A
文章编号：1002-3100(2008)07-0023-05
Abstract: Supply chain is a typical dynamic system. In order to coordinate the relationships and benefits of the partners in supply chain management and find the final supply chain network equilibrium status, based on the variational inequality, two types of supply chain network equilibrium models are introduced in this paper. It demonstrates that these models possess the unconstrained continuously differentiable minimization formulations and Quasi-Newton algorithm is capable of finding a solution of the model effectively. Finally, two examples in different conditions are employed to show the effectiveness of the Quasi-Newton algorithm.
Key words: supply chain network; variational inequality; network equilibrium; unconstrained minimization; Quasi-Newton algorithm
0引言
供应链管理主要是如何协调供应商、制造商、批发商、销售商、消费市场等各成员之间的关系。在各成员利益均能得到保证的基础上，共同合作，最终实现总体利益的最大化。而要实现上述目标，必须有合理的供应链运作与决策，使得供应链各成员在面对快速变化的市场结构时，能及时地进行调整，维持整个供应链的竞争优势。本文采用定量分析的方法，通过研究相当的数学模型并进行求解，为各成员提供一个具体可行的运作与决策方法。
传统分散式供应链通常包括三类决策者：生产商、消费商、零售商。这三类决策者在产品的整个商业流程（从制造商到零售商到消费者）中是相互影响、相互联系的。我们分别用一组均衡条件来描述以上三类在产品供应链中的行为。Nagurney 2002年给出了供应链网络的均衡模型（消费者需求函数确定），并进一步指出该模型可用变分不等式来表示（VI Variational Inequality）。Dong 2004年在Nagurney的基础上给出了消费者需求随机（已知概率分布条件下的随机变量）条件下的供应链均衡模型并且给出了变分不等式形式。以上两人都采用改良投影法（Modified Projection Method）作为求解供应链模型变分不等式的基本方法。而事实上，改良投影算法的收敛性依赖于Lipschitz常数的估计及迭代步长的选择[1]。因此，在用该方法求解供应链均衡变分不等式的过程中，往往所需计算量较为庞大，消耗时间也较长。
本文通过研究拟牛顿方法的超线性收敛性[2]，为供应链均衡变分不等式的求解问题提供了新的解法。不论是Nagurney或者是Dong的VI问题都可以转化为非线性互补问题（NCP）。于是用评价函数（merit function）方法，我们将非线性互补问题转化为无约束连续可微最优化问题，通过研究拟牛顿方法的求解过程，很好地解决了该类无约束最优化问题，从而得出原始变分不等式的解。文章最后举例说明了拟牛顿方法解决供应链网络均衡模型的变分不等式求解问题的有效性。
1供应链网络均衡模型
4结束语
本文首先介绍了确定需求与随机需求两种情况下的供应链变分不等式均衡模型，然后将其转化为非线性互补问题，以及无约束连续可微最优化问题，最后运用拟牛顿方法求解该类问题。该方法为求解该类变分不等式问题提供了新的有效算法，它的超线性收敛性也解决了过去求解该类问题计算时间过多的问题，本文最后通过列举确定需求条件与随机需求条件下的两个例子说明了拟牛顿方法在解决供应链均衡问题上的有效性。
参考文献：
[1] 何炳生，论求解单调变分不等式的一些投影收缩算法[J]. 计算数学，1996(1):54-60.
[2]C. G. Broyden, J. E. Dennis, Jr., and J. J. More. On the local superlinear convergence of quasi-Newton methods[J]. Institute of Mathematics and Applications, 1973(12):223-246.
[3]Dong, J., Zhang, D., Nagurney, A. A supply chain network equilibrium model with random demands[J]. European Journal of Operational Research, 2004(156):194-212.
[4]Nagurney, A., Dong, J., Zhang, D.. A supply chain network equilibrium model[J]. Transportation Research, 2002(38S):281-303.
[5]Nagurney, A.. Network Economics: A Variational Inequality Approach, Revised Second ed[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1999.
[6]Kanzow, C., Yamashita, Fukushima, M.. New NCP-functions and their properties[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 1997(94):115-135.
[7]Fischer, A. A special Newton-type optimization method[J]. Optimization, 1992(24):269-284.
[8]Geiger, C., Kanzow, C. On the resolution of Monotone complementarity problems[J]. Computational Optimization and Applications, 1996(5):155-173.
[9]R. Flecher. Practical Methods of Optimization, Second edition[M]. Chichester: John Wiley and Sons, 1987.
[10]R. H. Byrd and J. Nocedal. A tool for the analysis of quasi-Newton methods with application to unconstrained minimization[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1989(26):727-739.
[11]Nagurney, A., Cruz, J., Matsypura, D.. Dynamics of global supply chain supernetworks[J]. Mathematical and Computer Modeling, 2003(37):963-983.
关键词：供应链网络；变分不等式；网络均衡；无约束 最优化；拟牛顿算法
中图分类号：F224文献标识码：A
文章编号：1002-3100(2008)07-0023-05
Abstract: Supply chain is a typical dynamic system. In order to coordinate the relationships and benefits of the partners in supply chain management and find the final supply chain network equilibrium status, based on the variational inequality, two types of supply chain network equilibrium models are introduced in this paper. It demonstrates that these models possess the unconstrained continuously differentiable minimization formulations and Quasi-Newton algorithm is capable of finding a solution of the model effectively. Finally, two examples in different conditions are employed to show the effectiveness of the Quasi-Newton algorithm.
Key words: supply chain network; variational inequality; network equilibrium; unconstrained minimization; Quasi-Newton algorithm
0引言
供应链管理主要是如何协调供应商、制造商、批发商、销售商、消费市场等各成员之间的关系。在各成员利益均能得到保证的基础上，共同合作，最终实现总体利益的最大化。而要实现上述目标，必须有合理的供应链运作与决策，使得供应链各成员在面对快速变化的市场结构时，能及时地进行调整，维持整个供应链的竞争优势。本文采用定量分析的方法，通过研究相当的数学模型并进行求解，为各成员提供一个具体可行的运作与决策方法。
传统分散式供应链通常包括三类决策者：生产商、消费商、零售商。这三类决策者在产品的整个商业流程（从制造商到零售商到消费者）中是相互影响、相互联系的。我们分别用一组均衡条件来描述以上三类在产品供应链中的行为。Nagurney 2002年给出了供应链网络的均衡模型（消费者需求函数确定），并进一步指出该模型可用变分不等式来表示（VI Variational Inequality）。Dong 2004年在Nagurney的基础上给出了消费者需求随机（已知概率分布条件下的随机变量）条件下的供应链均衡模型并且给出了变分不等式形式。以上两人都采用改良投影法（Modified Projection Method）作为求解供应链模型变分不等式的基本方法。而事实上，改良投影算法的收敛性依赖于Lipschitz常数的估计及迭代步长的选择[1]。因此，在用该方法求解供应链均衡变分不等式的过程中，往往所需计算量较为庞大，消耗时间也较长。
本文通过研究拟牛顿方法的超线性收敛性[2]，为供应链均衡变分不等式的求解问题提供了新的解法。不论是Nagurney或者是Dong的VI问题都可以转化为非线性互补问题（NCP）。于是用评价函数（merit function）方法，我们将非线性互补问题转化为无约束连续可微最优化问题，通过研究拟牛顿方法的求解过程，很好地解决了该类无约束最优化问题，从而得出原始变分不等式的解。文章最后举例说明了拟牛顿方法解决供应链网络均衡模型的变分不等式求解问题的有效性。
1供应链网络均衡模型
4结束语
本文首先介绍了确定需求与随机需求两种情况下的供应链变分不等式均衡模型，然后将其转化为非线性互补问题，以及无约束连续可微最优化问题，最后运用拟牛顿方法求解该类问题。该方法为求解该类变分不等式问题提供了新的有效算法，它的超线性收敛性也解决了过去求解该类问题计算时间过多的问题，本文最后通过列举确定需求条件与随机需求条件下的两个例子说明了拟牛顿方法在解决供应链均衡问题上的有效性。
参考文献：
[1] 何炳生，论求解单调变分不等式的一些投影收缩算法[J]. 计算数学，1996(1):54-60.
[2]C. G. Broyden, J. E. Dennis, Jr., and J. J. More. On the local superlinear convergence of quasi-Newton methods[J]. Institute of Mathematics and Applications, 1973(12):223-246.
[3]Dong, J., Zhang, D., Nagurney, A. A supply chain network equilibrium model with random demands[J]. European Journal of Operational Research, 2004(156):194-212.
[4]Nagurney, A., Dong, J., Zhang, D.. A supply chain network equilibrium model[J]. Transportation Research, 2002(38S):281-303.
[5]Nagurney, A.. Network Economics: A Variational Inequality Approach, Revised Second ed[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1999.
[6]Kanzow, C., Yamashita, Fukushima, M.. New NCP-functions and their properties[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 1997(94):115-135.
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[9]R. Flecher. Practical Methods of Optimization, Second edition[M]. Chichester: John Wiley and Sons, 1987.
[10]R. H. Byrd and J. Nocedal. A tool for the analysis of quasi-Newton methods with application to unconstrained minimization[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1989(26):727-739.
[11]Nagurney, A., Cruz, J., Matsypura, D.. Dynamics of global supply chain supernetworks[J]. Mathematical and Computer Modeling, 2003(37):963-983.