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摘 要：“自然学习设计”是目前美国当代中小学教育改革的一种重要模式，其核心内容是学习循环圈，借助四个象限呈现，这四个象限关注四类学习风格者. 本文基于“学习循环圈”设计数学学习过程模式，分“为什么——是什么——应怎样——该是否”四个循环阶段. 以对数运算性质为样例，阐明学习循环圈符合数学知识发生发展的过程，关注学生思维的全面发展.
关键词：学习循环圈；差异施教；对数运算性质
“学习循环圈”理论概述
美国教育心理学博士伯尼斯·麦卡锡以提供教学指导为目的，借助四个象限（见图1）提出了完整的“学习循环圈”. 它就像倒置的冰激凌甜筒，随着课程的螺旋上升，循环圈上的每一个点所产生的相互关系也会越来越复杂，最佳状态要等到整个课程螺旋上升结束. 图1是它的俯视图，好似一个时钟，以“感知信息”和“加工信息”为经纬，学习依次经历了“直接体验”（12：00）——“反思学习”（3：00）——“抽象概念”（6：00）——“行动学习”（9：00），再融会贯通. 最后带着新的起点又重新回到“直接体验”开始新一轮的学习循环圈.
依据学习循环圈开展学习就是学习过程本身，完整的自然学习过程包括“为什么”、“是什么”、“应怎样”、“该是否”四个象限（见图2），四个象限关注四类学习风格者. 象限Ⅰ关注想象型学习者：他们倾向于在12：00逗留久一点，最爱问“为什么”，渴望了解知识的内在价值和意义；象限Ⅱ对应分析型学习者：他们倾向于在3：00逗留久一点，最爱问“是什么”，渴望理清知识的内在结构和知识间的联系，力求掌握概念、理论；象限Ⅲ关注尝试型学习者：他们倾向于在6：00逗留久一点，最爱问“如何运作”，寻求理论的实用价值，追求做事效率，动手能力强；象限Ⅳ关注创造型学习者：他们倾向于在9：00逗留久一点，最爱问“假如……那该会怎样”，喜欢从自身的感知和体验出发，去反思和质疑现有的各种理论，对理论进行补充和修正.要注意，学习循环圈是自变量，四类学习风格者是因变量. 学习循环圈是在符合认知规律的前提下有效地进行差异施教.
基于“学习循环圈”的数学学习过程设计模式
上文提到四类学习风格者，他们喜欢在各自象限逗留久一些，但并不代表他们不需要经历其他象限. 由加涅的学习与记忆的信息加工模型可知，学习循环圈与学生的认知过程（见图3）相吻合，而循环圈的独特性在于既注重学生的认知发展过程，又关注四类学习风格者.
因此每个人的学习都应该经历这四个阶段.
因此在教学中可以依据学习循环圈开展教学，在教师的指导下，开展数学学习，我们将学习过程分为四个阶段（见图1和图2），如下.
第一阶段：“为什么”阶段——为意义而教. 从直接体验（12：00）——反思学习（03：00），发现学习内容的意义和价值.这一阶段教师激发学生的想象力，学生建立新旧知识联系.
第二阶段：“是什么”阶段——为理解而教. 从反思学习（03：00）——形成概念（06：00），透彻掌握概念. 这一阶段教师传授知识，学生建立专家知识.
第三阶段：“应怎样”阶段——为掌握而学. 从形成概念（06：00）——解决问题（09：00）时，积极利用新学内容解决问题. 这一阶段教师辅导学生，答疑解惑，学生熟练掌握知识技能，解决问题.
第四阶段：“该是否”阶段——为创新而学. 从解决问题（09：00）——融会贯通（无限趋近于12：00），加深知识理解，接受新的挑战. 这一阶段教师鼓励学生积极思维，学生将所学知识融会贯通，灵活应用. 最后学生带着新的起点又重新回到“直接体验”开始新一轮的学习循环圈.
基于“学习循环圈”数学学习过程模式既注重数学知识的发生发展过程，又关注学生思维的全面发展和个性差异. 下面以对数运算性质数学学习过程设计为例，阐明学习循环圈为数学教学带来的启示和帮助，为学生提供合理的知识学习途径，为数学教师指出教学实施的有效设计.
基于“学习循环圈”的数学学习过程设计样例
教材分析：本节选自北师大版普通高中课程标准实验教科书《数学（必修一）》第三章第四节第二课时. 在前一节学生已经学习了对数概念和对数运算，为本节储备了知识和技能，由于对数与指数紧密关联，故对数运算性质学习应类比指数学习步骤. 在本节课中让学生经历猜想和推导对数运算性质的过程，养成猜想、归纳和化归的意识，培养学生提出问题、分析问题、解决问题、创造性思维的能力；让学生感悟一级运算加减、二级运算乘除、三级运算乘方间的运算关系，感受对数运算的优越性；让学生深切感受新旧知识间的联系，学会将复杂的问题简单化.
教学过程：
1. “为什么”阶段
引语：上节课我们一起学习了对数与对数运算，了解了对数在生活中应用广泛.例如以对数为坐标将天上的星星划分等级，使用对数求解水溶液的PH值，利用对数算人口增长率、原子的核衰变、地震级数等等. 今天让我们对对数进行更深入的研究.
（1）引入（使用多媒体PPT）
教师活动1：我们要研究对数，想想对数和哪些知识有关？
学生活动1：回顾旧知（对数源于指数，互化式ab=N?b=logaN（a>0，a≠1且N>0））.
教师活动2：回想我们是如何研究指数的？
学生活动2：思考研究指数的步骤和方法（先是指数概念，再是指数运算性质，最后是指数函数）.
教师活动3：仿照指数，接下来我们应该研究对数的什么内容？如何研究？
学生活动3：学生类比思考答案（指数运算性质对应对数运算性质）.
教师活动4：我们要研究对数的运算，首先清楚基本的数学运算有哪些？
学生活动4：思考基本数学运算有哪些（加、减、乘、除）. 【设计意图】 就学习过程的本身，只有让学生意识到知识“为什么”的价值性，学生才会探究知识“是什么”的重要性. 因此“为什么”阶段是教师必须完成的过程. 在此阶段，教师扮演激发者角色，通过列举让学生直接感受所学内容的意义，接着采用类比思想让学生发现研究对数的方法，紧接着想到如何研究对数运算性质？引发学生认知冲突，抛出课题，完成“为什么”阶段. 这一阶段关注想象型学习者，使学生明白学习对数的意义和价值，发现指数与对数紧密联系，明白为什么这样研究对数.
2. “是什么”阶段
（1）猜想
（说明由于对数运算分底数相同和底数不同，本节课解决相较简单的同底数对数运算）
探究一
教师活动5：请同学们4人小组完成表格.第一组数据：M=8，N=32，计算log2M log2N，log2M-log2N，log2M·log2N，，log2（M N），log2（M-N），log2（M·N），log2. 第二组数据：M=3.141596，N=2.718281，计算lgM lgN，lgM-lgN，lgM·lgN，，lg（M N），lg（M-N），lg（MN），lg. 通过计算猜想对数运算性质（计算器辅助）.
学生活动5：小组计算，讨论，得出猜想.
（1）logaM logaN=loga（M·N）.
（2）logaM-logaN=log（a>0且a≠1，M>0，N>0）.
【设计意图】 依据“是什么”阶段，这是循环圈的传授环节，教师扮演传授者的角色帮助学生建立与专家知识间的联系. 对于本节课而言，设置猜想环节，根据最基本的加减乘除和指数运算性质，探索对数运算性质. 让学生经历猜想、归纳、化归的过程. 这一阶段关注分析型学习者，帮助他们学会分析问题，为发现理论和公式打下基础.
（2）证明
探究二
教师活动6：如何证明对数运算性质logaM logaN=loga（M·N）？
学生活动6：思考证明对数的方法.
【设计意图】 学生正在经历“是什么”阶段，在探索二中，学生对于对数源于指数十分熟悉，证明方法多样. 设置预设补充环节，帮助学生理解化归这一数学思想方法. 通过探究三和探究四，学生可以发现知识间紧密联系，从而加深他们对知识的理解，深入认识划归思想. 提高推理归纳能力、分析问题的能力，完成“是什么”阶段. 这一阶段关注分析型学习者，帮助他们完善知识结构，理清知识脉络.
3. “应怎样”阶段
教师活动12：讲解例题，辅导练习.
学生活动12：进行“左推右”，“右推左”两种方式的运算，掌握解题方法和技巧.
【设计意图】 依据“应怎样”阶段，利用何小亚教授设计的对数运算测试量表优化例题，设置有梯度的题目. 设计例1、例2和例3可以加深学生对对数运算性质的理解和掌握. 有利于学生建立“A=B”时，“左推右”——将一级运算化为二级运算，实现了式子的简化；“右推左”——将二级运算或三级运算化为一级运算，实现了将“大数”化为“小数”，这两种运算途径. 最后完成“应怎样”阶段.这一阶段关注常识型学习者，教师帮助他们发现对数运算规律和技巧，培养学生的解决问题的能力.
4. “该是否”阶段
教师活动13：请同学们谈谈这节课的收获.
学生活动13：回想本节课所学知识内容和思想方法.
思考1：还有没有其他证明对数运算性质的方法（提示：使用alogaN=N，logaab=b）.
思考2：如果底数不同又该如何计算？为什么计算器上只有以10为底的对数？
【设计意图】 学生活动13旨在让学生对本节课的内容融会贯通. 思考1是依据“该是否”阶段，为创造而学，提示学生证明对数运算性质还有其他方法，激发学生的兴趣和求知欲. 思考2则是为下节课的开展打好基础，让学生做好预习. 通过课后学习完成“该是否”阶段. 这一阶段关注创造型学习者，为他们获得更多的证明方法和增生新的问题提供指导和方向.
基于“学习循环圈”进行数学学习过程设计的优势
对数学教学而言，要特别关注两个过程：一是数学知识的发生发展过程；二是学生的思维过程. 依据“学习循环圈”设计的数学学习过程模式正是从数学知识发生发展过程的角度构建的学习过程，并且设计的数学学习过程与学生认知过程相融合，进而有效培养学生思维能力.
1. 符合数学知识发生发展过程
一般来说，数学研究的问题可以归纳为两类：一类是研究对象与对象之间的关系，另一类是研究对象要素之间的关系. 对数学教学而言就是引导学生探索对象之间或对象要素之间的关系，并在此过程中暴露知识的发生发展过程. 本文依据“学习循环圈”设计的样例《对数运算性质》正是在研究指数与对数两个对象间的关系，以及对数的和、差、乘方要素间的关系，因此“学习循环圈”能有效帮助学生经历知识发生发展过程，培养学生发现研究对象的能力、围绕研究对象确定研究角度的能力以及寻找知识之间联系规律的能力.
2. 注重学生思维全面发展
首先，符合学生的认知规律. 依据加涅的学习与记忆的信息加工模型，我们可以知道基于“学习循环圈”数学学习过程设计把学生的认知规律和数学知识发生发展的过程相融合，如类比指数学习方式研究对数，再如通过公式（1）推导出减法公式和乘方公式，强调问题的预设和生成. 其次，培养学生的“四能”.数学学习过程的四个阶段依次培养学生提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力、创新性思维能力，这一学习过程有效促进学生思维的全面发展. 最后，注重因材施教. 在学习过程设计模式的不同阶段中，教师关注不同的学习风格者. 总之，就是“投其所好”，差异施教，促进四类学习者的个性发展.
关键词：学习循环圈；差异施教；对数运算性质
“学习循环圈”理论概述
美国教育心理学博士伯尼斯·麦卡锡以提供教学指导为目的，借助四个象限（见图1）提出了完整的“学习循环圈”. 它就像倒置的冰激凌甜筒，随着课程的螺旋上升，循环圈上的每一个点所产生的相互关系也会越来越复杂，最佳状态要等到整个课程螺旋上升结束. 图1是它的俯视图，好似一个时钟，以“感知信息”和“加工信息”为经纬，学习依次经历了“直接体验”（12：00）——“反思学习”（3：00）——“抽象概念”（6：00）——“行动学习”（9：00），再融会贯通. 最后带着新的起点又重新回到“直接体验”开始新一轮的学习循环圈.
依据学习循环圈开展学习就是学习过程本身，完整的自然学习过程包括“为什么”、“是什么”、“应怎样”、“该是否”四个象限（见图2），四个象限关注四类学习风格者. 象限Ⅰ关注想象型学习者：他们倾向于在12：00逗留久一点，最爱问“为什么”，渴望了解知识的内在价值和意义；象限Ⅱ对应分析型学习者：他们倾向于在3：00逗留久一点，最爱问“是什么”，渴望理清知识的内在结构和知识间的联系，力求掌握概念、理论；象限Ⅲ关注尝试型学习者：他们倾向于在6：00逗留久一点，最爱问“如何运作”，寻求理论的实用价值，追求做事效率，动手能力强；象限Ⅳ关注创造型学习者：他们倾向于在9：00逗留久一点，最爱问“假如……那该会怎样”，喜欢从自身的感知和体验出发，去反思和质疑现有的各种理论，对理论进行补充和修正.要注意，学习循环圈是自变量，四类学习风格者是因变量. 学习循环圈是在符合认知规律的前提下有效地进行差异施教.
基于“学习循环圈”的数学学习过程设计模式
上文提到四类学习风格者，他们喜欢在各自象限逗留久一些，但并不代表他们不需要经历其他象限. 由加涅的学习与记忆的信息加工模型可知，学习循环圈与学生的认知过程（见图3）相吻合，而循环圈的独特性在于既注重学生的认知发展过程，又关注四类学习风格者.
因此每个人的学习都应该经历这四个阶段.
因此在教学中可以依据学习循环圈开展教学，在教师的指导下，开展数学学习，我们将学习过程分为四个阶段（见图1和图2），如下.
第一阶段：“为什么”阶段——为意义而教. 从直接体验（12：00）——反思学习（03：00），发现学习内容的意义和价值.这一阶段教师激发学生的想象力，学生建立新旧知识联系.
第二阶段：“是什么”阶段——为理解而教. 从反思学习（03：00）——形成概念（06：00），透彻掌握概念. 这一阶段教师传授知识，学生建立专家知识.
第三阶段：“应怎样”阶段——为掌握而学. 从形成概念（06：00）——解决问题（09：00）时，积极利用新学内容解决问题. 这一阶段教师辅导学生，答疑解惑，学生熟练掌握知识技能，解决问题.
第四阶段：“该是否”阶段——为创新而学. 从解决问题（09：00）——融会贯通（无限趋近于12：00），加深知识理解，接受新的挑战. 这一阶段教师鼓励学生积极思维，学生将所学知识融会贯通，灵活应用. 最后学生带着新的起点又重新回到“直接体验”开始新一轮的学习循环圈.
基于“学习循环圈”数学学习过程模式既注重数学知识的发生发展过程，又关注学生思维的全面发展和个性差异. 下面以对数运算性质数学学习过程设计为例，阐明学习循环圈为数学教学带来的启示和帮助，为学生提供合理的知识学习途径，为数学教师指出教学实施的有效设计.
基于“学习循环圈”的数学学习过程设计样例
教材分析：本节选自北师大版普通高中课程标准实验教科书《数学（必修一）》第三章第四节第二课时. 在前一节学生已经学习了对数概念和对数运算，为本节储备了知识和技能，由于对数与指数紧密关联，故对数运算性质学习应类比指数学习步骤. 在本节课中让学生经历猜想和推导对数运算性质的过程，养成猜想、归纳和化归的意识，培养学生提出问题、分析问题、解决问题、创造性思维的能力；让学生感悟一级运算加减、二级运算乘除、三级运算乘方间的运算关系，感受对数运算的优越性；让学生深切感受新旧知识间的联系，学会将复杂的问题简单化.
教学过程：
1. “为什么”阶段
引语：上节课我们一起学习了对数与对数运算，了解了对数在生活中应用广泛.例如以对数为坐标将天上的星星划分等级，使用对数求解水溶液的PH值，利用对数算人口增长率、原子的核衰变、地震级数等等. 今天让我们对对数进行更深入的研究.
（1）引入（使用多媒体PPT）
教师活动1：我们要研究对数，想想对数和哪些知识有关？
学生活动1：回顾旧知（对数源于指数，互化式ab=N?b=logaN（a>0，a≠1且N>0））.
教师活动2：回想我们是如何研究指数的？
学生活动2：思考研究指数的步骤和方法（先是指数概念，再是指数运算性质，最后是指数函数）.
教师活动3：仿照指数，接下来我们应该研究对数的什么内容？如何研究？
学生活动3：学生类比思考答案（指数运算性质对应对数运算性质）.
教师活动4：我们要研究对数的运算，首先清楚基本的数学运算有哪些？
学生活动4：思考基本数学运算有哪些（加、减、乘、除）. 【设计意图】 就学习过程的本身，只有让学生意识到知识“为什么”的价值性，学生才会探究知识“是什么”的重要性. 因此“为什么”阶段是教师必须完成的过程. 在此阶段，教师扮演激发者角色，通过列举让学生直接感受所学内容的意义，接着采用类比思想让学生发现研究对数的方法，紧接着想到如何研究对数运算性质？引发学生认知冲突，抛出课题，完成“为什么”阶段. 这一阶段关注想象型学习者，使学生明白学习对数的意义和价值，发现指数与对数紧密联系，明白为什么这样研究对数.
2. “是什么”阶段
（1）猜想
（说明由于对数运算分底数相同和底数不同，本节课解决相较简单的同底数对数运算）
探究一
教师活动5：请同学们4人小组完成表格.第一组数据：M=8，N=32，计算log2M log2N，log2M-log2N，log2M·log2N，，log2（M N），log2（M-N），log2（M·N），log2. 第二组数据：M=3.141596，N=2.718281，计算lgM lgN，lgM-lgN，lgM·lgN，，lg（M N），lg（M-N），lg（MN），lg. 通过计算猜想对数运算性质（计算器辅助）.
学生活动5：小组计算，讨论，得出猜想.
（1）logaM logaN=loga（M·N）.
（2）logaM-logaN=log（a>0且a≠1，M>0，N>0）.
【设计意图】 依据“是什么”阶段，这是循环圈的传授环节，教师扮演传授者的角色帮助学生建立与专家知识间的联系. 对于本节课而言，设置猜想环节，根据最基本的加减乘除和指数运算性质，探索对数运算性质. 让学生经历猜想、归纳、化归的过程. 这一阶段关注分析型学习者，帮助他们学会分析问题，为发现理论和公式打下基础.
（2）证明
探究二
教师活动6：如何证明对数运算性质logaM logaN=loga（M·N）？
学生活动6：思考证明对数的方法.
【设计意图】 学生正在经历“是什么”阶段，在探索二中，学生对于对数源于指数十分熟悉，证明方法多样. 设置预设补充环节，帮助学生理解化归这一数学思想方法. 通过探究三和探究四，学生可以发现知识间紧密联系，从而加深他们对知识的理解，深入认识划归思想. 提高推理归纳能力、分析问题的能力，完成“是什么”阶段. 这一阶段关注分析型学习者，帮助他们完善知识结构，理清知识脉络.
3. “应怎样”阶段
教师活动12：讲解例题，辅导练习.
学生活动12：进行“左推右”，“右推左”两种方式的运算，掌握解题方法和技巧.
【设计意图】 依据“应怎样”阶段，利用何小亚教授设计的对数运算测试量表优化例题，设置有梯度的题目. 设计例1、例2和例3可以加深学生对对数运算性质的理解和掌握. 有利于学生建立“A=B”时，“左推右”——将一级运算化为二级运算，实现了式子的简化；“右推左”——将二级运算或三级运算化为一级运算，实现了将“大数”化为“小数”，这两种运算途径. 最后完成“应怎样”阶段.这一阶段关注常识型学习者，教师帮助他们发现对数运算规律和技巧，培养学生的解决问题的能力.
4. “该是否”阶段
教师活动13：请同学们谈谈这节课的收获.
学生活动13：回想本节课所学知识内容和思想方法.
思考1：还有没有其他证明对数运算性质的方法（提示：使用alogaN=N，logaab=b）.
思考2：如果底数不同又该如何计算？为什么计算器上只有以10为底的对数？
【设计意图】 学生活动13旨在让学生对本节课的内容融会贯通. 思考1是依据“该是否”阶段，为创造而学，提示学生证明对数运算性质还有其他方法，激发学生的兴趣和求知欲. 思考2则是为下节课的开展打好基础，让学生做好预习. 通过课后学习完成“该是否”阶段. 这一阶段关注创造型学习者，为他们获得更多的证明方法和增生新的问题提供指导和方向.
基于“学习循环圈”进行数学学习过程设计的优势
对数学教学而言，要特别关注两个过程：一是数学知识的发生发展过程；二是学生的思维过程. 依据“学习循环圈”设计的数学学习过程模式正是从数学知识发生发展过程的角度构建的学习过程，并且设计的数学学习过程与学生认知过程相融合，进而有效培养学生思维能力.
1. 符合数学知识发生发展过程
一般来说，数学研究的问题可以归纳为两类：一类是研究对象与对象之间的关系，另一类是研究对象要素之间的关系. 对数学教学而言就是引导学生探索对象之间或对象要素之间的关系，并在此过程中暴露知识的发生发展过程. 本文依据“学习循环圈”设计的样例《对数运算性质》正是在研究指数与对数两个对象间的关系，以及对数的和、差、乘方要素间的关系，因此“学习循环圈”能有效帮助学生经历知识发生发展过程，培养学生发现研究对象的能力、围绕研究对象确定研究角度的能力以及寻找知识之间联系规律的能力.
2. 注重学生思维全面发展
首先，符合学生的认知规律. 依据加涅的学习与记忆的信息加工模型，我们可以知道基于“学习循环圈”数学学习过程设计把学生的认知规律和数学知识发生发展的过程相融合，如类比指数学习方式研究对数，再如通过公式（1）推导出减法公式和乘方公式，强调问题的预设和生成. 其次，培养学生的“四能”.数学学习过程的四个阶段依次培养学生提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力、创新性思维能力，这一学习过程有效促进学生思维的全面发展. 最后，注重因材施教. 在学习过程设计模式的不同阶段中，教师关注不同的学习风格者. 总之，就是“投其所好”，差异施教，促进四类学习者的个性发展.