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［摘 要］高等数学由于自身特点的原因，他的教学设计应当更密切地与数学问题-情景、教学对象相联系着.本文探讨了高等数学课问题-情景教学的主要特点和实施途径，给出了两个教学设计的片断.
［关键词］高等数学 问题-情景教学 数学创造 知情互动
［中图分类号］ ［文献标识码］ ［文章编号］ 2095-3437（2013）02-0109-03
一、数学问题-情景教学的必要性
张奠宙教授指出：“数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创新时代火热的思考。只有经过思考，才能最后理解这份冰冷的美丽。”
在高等数学教学中，如何提高教学质量、培养学生的创新能力，是当前高等数学教学质量工程中的核心问题，也是紧迫问题。高数课中传统的教学方法基本持“去情景”的观点，往往只注重数学知识的传授，教师讲的主要是定义、定理及其证明、公式、法则及例题等冰冷的数学知识，很少介绍知识的背景、理论是如何被发现的、知识产生的过程中火热的思考是怎样的。这样，使不少学生对高等数学感到枯燥乏味，甚至望而生畏。 因此，笔者和一些教师认为可以把高数课的“问题-情景教学”的数学问题-情景的教学设计当做高等数学教学质量提升的切入点。
二、数学问题-情景教学的特点及其实施途径
数学问题-情景教学，就是要把让学生学习的知识、结论和方法不作直接展示，而是通过创设问题情景，提出启发性和挑战性的问题，给学生动手、动笔、动脑、参与的机会，让学生通过实验、计算、观察、猜想、尝试、分析、综合、类比发现的探索过程；学会交流、学会学习、学会接受问题、提出问题、分析问题和解决问题，并上升为理性认识，形式新的认知结构。从而使学生了解、接触数学创造的真实过程，有助于学生创新意识和创新能力的培养。
数学问题-情景教学设计的准备工作主要是教师在了解学生的知识基础、专业需求的基础上，明确教学内容的核心概念或关键知识点是什么，寻找其历史和现实的背景材料，分析相关的衔接过渡知识，预定讨论要达到的目标（适当留有余地），联系本学段教学的主线，考虑如何定出学生参与的切入点，要使用的教具等。
数学问题-情景要围绕教学内容的核心概念或关键知识点精选素材，精选作铺路搭桥的基础知识的过渡问题。 数学问题-情景的设置，要密切联系学生实际，设计让学生跳一跳就能够得着的“学生知识的最近发展区”的问题，也让学生感到对数学的需要是必须解决的问题，能有效地激发学生的学习欲望，使学习变得生动、有趣，教学过程开放，学生变得主动、自觉、积极性高，乐于自主地探索相关的数学问题。并能不断提问和讨论，形成多维互动的教与学的良好局面。教师则要灵活多样地做好导演，适时适度地点拨、分析、激疑、激趣，不断引起学生认识上的不平衡状态，使学生不断领悟、理解、熟悉相关的数学思想、数学方法。进而使学生主动自觉地建构新的认知结构，有效利用原有的认知结构使新知识得到同化或顺应，以达到对新知识点掌握的目的。师生在轻松愉快的情境下知情互动，学生变被动接受为主动探究，富有个性地自我建构，极大地激发他们的学习热情。
三、数学问题-情景教学设计的实践案例
以下给出教学实践中的两个案例的片断，权当抛砖引玉。
（一）格林公式教学的问题-情景教学设计
格林公式的提出，往往会使学生感觉突然，别扭。为了改变这种状况，可以根据联想和类比的数学思维设计问题情景，尝试数学问题-情景教学。
1.首先布置复习性练习
练习1 设闭区域D的边界曲线L由L1和L2构成，正向如图1所示，计算下列各式后观察、比较；并假设P=P（x，y）=-2xy，Q=Q（x，y）=-2x2，进行猜想。
■
■
其中，L1∶y=x2，x从0变到1；L2∶y=■，x从1变到0.
2.学生会得到第一层次的结论
■
3.同学中适当讨论，有人会得到第二层次的结论
■＝-2x，-■＝2x（引导：是二重积分■2xdxdy的被积函数）；
■=4x（学生会观察到：是二重积分■4xdxdy的被积函数）。
4.让学生猜想，不难得到
■
这就是格林公式的雏形，是将等式（1）和（2）一般化后得到（i）和（ii）。
让学生寻找函数P=P（x，y）、Q=Q（x，y）和积分曲线L及积分区域D分别要满足的条件。
5.先从练习1的具体图形中发现如下条件
①闭曲线L是闭区域D的边界曲线且取正向； ②P=P（x，y）、Q=Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数；③区域D既是X-型区域又是Y-型区域。
事实上，D是X-型区域时，可证明（i）式成立；D是Y-型区域时，可证明（ii）式成立。在条件D既是X-型区域又是Y-型区域时，两式两端分别相加得：
■
这是格林公式的奠基，也是格林公式的第一步证明。
6.在以上结论的基础上，如何作推广应用
（1）保持条件①②把条件③的闭区域D既是X-型区域又是Y-型区域推广到一般的单联通区域；（可以证明（a）式仍然成立）。
（2）保持条件①②把条件③的闭区域D一般的单联通区域推广到复联通区域。 （可以证明（a）式仍然成立）。
这就是完整的格林公式（的条件和结论）。
7.公式如何应用
格林公式研究的必要性及重要性可以在下面四方面应用中体现：
（1）计算某些曲线积分，一般是当■-■=常数，且D的面积易求（例略）；
（2）计算一些二重积分难于解决的二重积分。 例如，计算■e-y2dxdy，其中D为O（0，0），A（1，1），B（0，1）为顶点的三角形闭区域。
（3）曲线积分与路径无关的条件及其应用（后续）；
（4）二元函数全微分求积的充要条件及其应用（后续）。
（二）常数项级数概念教学的问题-情景设计
常数项级数及其敛散性的概念的教学，往往会比较呆板，使学生感到味同嚼蜡。为了改善学生对数学及其内容的认识，使之亲近数学，可以设计较为抒情的寓意历史文化内涵的数学问题-情景。
1.首先介绍春秋战国时期哲学家庄子在《庄子·天下篇》中对“截丈问题”的一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”要求学生：（1）把这1尺的棒，每天截下的那一部分长度“加起来”，写出数学表示式；（2）对你的数学表示式观察思考，提出你的若干问题。
学生会表示成：■+■+■+…+■+… （*）
（视情况点拨：初等数学里知，有限个数相加的和是一个确定的数，（*）式是无限个相加，其结果会是怎样？）适当选出学生的问题，如：
（1）无限个数相加有意义吗？
（2）无限个数相加即使有意义，会是一个确定的数吗？
（3）无限个数相加即使是一个确定的数（称为“和”），那怎么求？
2.引导猜想探索
直观地猜想每天截下的那一部分长度“加起来”的“和”是多少？
答：1。
为什么？讨论理由。
可能回答：因为长度1尺的木棒，无限次地截取剩下部分趋于0，所以每天截下的那一部分长度“加起来”的“和”应该是1。
3.提升探索层次
我们从原来客观问题实际意义猜想（*）的“和”是１，建议大家尝试把未知的问题转化为已知的问题来求解的方法，试一试如何用所学过的数学知识来证明这个猜想。（让学生动笔，动脑，也鼓励讨论，选出如下线索）
前２天截下的那部分长度加起来的和是■+■＝■.（＝1-■）；
前３天截下的那部分长度加起来的和是■+■+■＝■.（＝1-■）；
前４天截下的那部分长度加起来的和是■+■+■+■＝■（＝1-■）；
前ｎ天截下的那部分长度加起来的和是■+■+■+…+■＝1-■）。
点拨：可以找到什么规律吗？（思考，讨论）
前１，２，３，４，…，ｎ，…，天截下的那部分长度加起来的和是一个数列：a1=■，a2=■，a3=■，…，an=1-■.…
学生还会观察到这一数列是单调增加数列，并且有上界，所以它的极限存在，而且就是１。
4.抽象出概念
定义１ 设给定一个数列a1，a2，a3，…，an，…，则a1+a2+，a3，+…+an+…，或记为■an称为（常数项）无穷级数，简称级数。其中称为一般项或通项。
有限和式■ak称为级数■an的前ｎ项部分和，简称部分和；无穷数列S1，S2，…，Sn，…称为级数■an的部分和数列，记作｛Sn｝。
定义２ 若级数■an的部分和数列｛Sn｝的极限存在，即■Sn=S，则称级数收敛，其和为S，记作■an=S。
类似地，可以引导学生得到级数发散的概念，详细可参考文献［5］。
5.强化
收敛级数中体现的“极限思想”在实际应用中屡见不鲜。如刘徽的《九章算术注》中，对圆的面积计算写有“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
如何计算圆的面积？运用化未知为已知、以直（线性）代曲（圆）、从近似到精确的转化思想，结合构造级数来解决。
（１）一圆的半径（设为R）为边长作圆内接正６（6=3·2）边形，设其面积为u1；u1作为圆的面积近似值，误差较大（如图2）；
（２）分别以６边形各边为底边作等腰三角形，设这６个三角形面积之和为u2，则以正１２（12=3·22）边形的面积u1+u2作为圆面积的近似值，误差小一些；
（３）分别以１２边形各边为底边作等腰三角形，设这１２个三角形面积之和为u3，则以正２４（24＝3·22）边形的面积u1+u2+u3作为圆面积的近似值，误差再小些；
（４）分别以3·2n-1边形各边为底边作等腰三角形，设这3·2n-1个三角形面积之和为un，则以3·2n正边形的面积u1+u2+u3+…+un作为圆面积的近似值，误差更小了；
……
由此，我们得到一个数项级数：u1+u2+u3+…+un+…，直观判断它的和就是圆的面积。
通过对刘徽“割圆术”的分析，可以强化级数收敛概念。
一堂生动活泼、具有教学艺术魅力的好课犹如一支悠扬的乐曲，起调扣人心弦；主旋律引人入胜；“高潮”让人心潮澎湃；终曲余音绕梁。高等数学课的“起调”和“主旋律”都可以设计有效的数学问题-情景，对学生能拨动心弦，立疑激趣，促使学生的学习情绪高涨，激情迸发，调动智力的振奋状态，使之主动自觉地探求和构建新知识，造就主动学习的良性循环。 大学里数学老师都来关注各种类型的数学课的数学问题-情景的教学设计，必将大大提高大学数学的教学质量，也将对培养创新型人才培养作出有益的贡献。
［ 参 考 文 献 ］
［1］ 张奠宙.关于数学知识的教育形态［J］.数学通报，2001，（5）：3.
［2］ 周桂林.巧妙提问，创设问题情景——高等数学教学方法谈［J］.高等教育研究学报，2003，（4）：48-49.
［3］ 吐洪江.高等数学主题情景教学模式探索［J］.高等数学研究，2007，（2）：41-43.
［4］ 邬振明.试论《数学课程标准》的情感目标的贯彻［J］.惠州学院学报，2004，（6）：109-112.
［5］ 周秀琴，霍曙明.高等数学“问题－情景教学法”教学实践［J］.科技信息－高校理科研究，2008，（2）：137-138.
［责任编辑：林志恒］
［关键词］高等数学 问题-情景教学 数学创造 知情互动
［中图分类号］ ［文献标识码］ ［文章编号］ 2095-3437（2013）02-0109-03
一、数学问题-情景教学的必要性
张奠宙教授指出：“数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创新时代火热的思考。只有经过思考，才能最后理解这份冰冷的美丽。”
在高等数学教学中，如何提高教学质量、培养学生的创新能力，是当前高等数学教学质量工程中的核心问题，也是紧迫问题。高数课中传统的教学方法基本持“去情景”的观点，往往只注重数学知识的传授，教师讲的主要是定义、定理及其证明、公式、法则及例题等冰冷的数学知识，很少介绍知识的背景、理论是如何被发现的、知识产生的过程中火热的思考是怎样的。这样，使不少学生对高等数学感到枯燥乏味，甚至望而生畏。 因此，笔者和一些教师认为可以把高数课的“问题-情景教学”的数学问题-情景的教学设计当做高等数学教学质量提升的切入点。
二、数学问题-情景教学的特点及其实施途径
数学问题-情景教学，就是要把让学生学习的知识、结论和方法不作直接展示，而是通过创设问题情景，提出启发性和挑战性的问题，给学生动手、动笔、动脑、参与的机会，让学生通过实验、计算、观察、猜想、尝试、分析、综合、类比发现的探索过程；学会交流、学会学习、学会接受问题、提出问题、分析问题和解决问题，并上升为理性认识，形式新的认知结构。从而使学生了解、接触数学创造的真实过程，有助于学生创新意识和创新能力的培养。
数学问题-情景教学设计的准备工作主要是教师在了解学生的知识基础、专业需求的基础上，明确教学内容的核心概念或关键知识点是什么，寻找其历史和现实的背景材料，分析相关的衔接过渡知识，预定讨论要达到的目标（适当留有余地），联系本学段教学的主线，考虑如何定出学生参与的切入点，要使用的教具等。
数学问题-情景要围绕教学内容的核心概念或关键知识点精选素材，精选作铺路搭桥的基础知识的过渡问题。 数学问题-情景的设置，要密切联系学生实际，设计让学生跳一跳就能够得着的“学生知识的最近发展区”的问题，也让学生感到对数学的需要是必须解决的问题，能有效地激发学生的学习欲望，使学习变得生动、有趣，教学过程开放，学生变得主动、自觉、积极性高，乐于自主地探索相关的数学问题。并能不断提问和讨论，形成多维互动的教与学的良好局面。教师则要灵活多样地做好导演，适时适度地点拨、分析、激疑、激趣，不断引起学生认识上的不平衡状态，使学生不断领悟、理解、熟悉相关的数学思想、数学方法。进而使学生主动自觉地建构新的认知结构，有效利用原有的认知结构使新知识得到同化或顺应，以达到对新知识点掌握的目的。师生在轻松愉快的情境下知情互动，学生变被动接受为主动探究，富有个性地自我建构，极大地激发他们的学习热情。
三、数学问题-情景教学设计的实践案例
以下给出教学实践中的两个案例的片断，权当抛砖引玉。
（一）格林公式教学的问题-情景教学设计
格林公式的提出，往往会使学生感觉突然，别扭。为了改变这种状况，可以根据联想和类比的数学思维设计问题情景，尝试数学问题-情景教学。
1.首先布置复习性练习
练习1 设闭区域D的边界曲线L由L1和L2构成，正向如图1所示，计算下列各式后观察、比较；并假设P=P（x，y）=-2xy，Q=Q（x，y）=-2x2，进行猜想。
■
■
其中，L1∶y=x2，x从0变到1；L2∶y=■，x从1变到0.
2.学生会得到第一层次的结论
■
3.同学中适当讨论，有人会得到第二层次的结论
■＝-2x，-■＝2x（引导：是二重积分■2xdxdy的被积函数）；
■=4x（学生会观察到：是二重积分■4xdxdy的被积函数）。
4.让学生猜想，不难得到
■
这就是格林公式的雏形，是将等式（1）和（2）一般化后得到（i）和（ii）。
让学生寻找函数P=P（x，y）、Q=Q（x，y）和积分曲线L及积分区域D分别要满足的条件。
5.先从练习1的具体图形中发现如下条件
①闭曲线L是闭区域D的边界曲线且取正向； ②P=P（x，y）、Q=Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数；③区域D既是X-型区域又是Y-型区域。
事实上，D是X-型区域时，可证明（i）式成立；D是Y-型区域时，可证明（ii）式成立。在条件D既是X-型区域又是Y-型区域时，两式两端分别相加得：
■
这是格林公式的奠基，也是格林公式的第一步证明。
6.在以上结论的基础上，如何作推广应用
（1）保持条件①②把条件③的闭区域D既是X-型区域又是Y-型区域推广到一般的单联通区域；（可以证明（a）式仍然成立）。
（2）保持条件①②把条件③的闭区域D一般的单联通区域推广到复联通区域。 （可以证明（a）式仍然成立）。
这就是完整的格林公式（的条件和结论）。
7.公式如何应用
格林公式研究的必要性及重要性可以在下面四方面应用中体现：
（1）计算某些曲线积分，一般是当■-■=常数，且D的面积易求（例略）；
（2）计算一些二重积分难于解决的二重积分。 例如，计算■e-y2dxdy，其中D为O（0，0），A（1，1），B（0，1）为顶点的三角形闭区域。
（3）曲线积分与路径无关的条件及其应用（后续）；
（4）二元函数全微分求积的充要条件及其应用（后续）。
（二）常数项级数概念教学的问题-情景设计
常数项级数及其敛散性的概念的教学，往往会比较呆板，使学生感到味同嚼蜡。为了改善学生对数学及其内容的认识，使之亲近数学，可以设计较为抒情的寓意历史文化内涵的数学问题-情景。
1.首先介绍春秋战国时期哲学家庄子在《庄子·天下篇》中对“截丈问题”的一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”要求学生：（1）把这1尺的棒，每天截下的那一部分长度“加起来”，写出数学表示式；（2）对你的数学表示式观察思考，提出你的若干问题。
学生会表示成：■+■+■+…+■+… （*）
（视情况点拨：初等数学里知，有限个数相加的和是一个确定的数，（*）式是无限个相加，其结果会是怎样？）适当选出学生的问题，如：
（1）无限个数相加有意义吗？
（2）无限个数相加即使有意义，会是一个确定的数吗？
（3）无限个数相加即使是一个确定的数（称为“和”），那怎么求？
2.引导猜想探索
直观地猜想每天截下的那一部分长度“加起来”的“和”是多少？
答：1。
为什么？讨论理由。
可能回答：因为长度1尺的木棒，无限次地截取剩下部分趋于0，所以每天截下的那一部分长度“加起来”的“和”应该是1。
3.提升探索层次
我们从原来客观问题实际意义猜想（*）的“和”是１，建议大家尝试把未知的问题转化为已知的问题来求解的方法，试一试如何用所学过的数学知识来证明这个猜想。（让学生动笔，动脑，也鼓励讨论，选出如下线索）
前２天截下的那部分长度加起来的和是■+■＝■.（＝1-■）；
前３天截下的那部分长度加起来的和是■+■+■＝■.（＝1-■）；
前４天截下的那部分长度加起来的和是■+■+■+■＝■（＝1-■）；
前ｎ天截下的那部分长度加起来的和是■+■+■+…+■＝1-■）。
点拨：可以找到什么规律吗？（思考，讨论）
前１，２，３，４，…，ｎ，…，天截下的那部分长度加起来的和是一个数列：a1=■，a2=■，a3=■，…，an=1-■.…
学生还会观察到这一数列是单调增加数列，并且有上界，所以它的极限存在，而且就是１。
4.抽象出概念
定义１ 设给定一个数列a1，a2，a3，…，an，…，则a1+a2+，a3，+…+an+…，或记为■an称为（常数项）无穷级数，简称级数。其中称为一般项或通项。
有限和式■ak称为级数■an的前ｎ项部分和，简称部分和；无穷数列S1，S2，…，Sn，…称为级数■an的部分和数列，记作｛Sn｝。
定义２ 若级数■an的部分和数列｛Sn｝的极限存在，即■Sn=S，则称级数收敛，其和为S，记作■an=S。
类似地，可以引导学生得到级数发散的概念，详细可参考文献［5］。
5.强化
收敛级数中体现的“极限思想”在实际应用中屡见不鲜。如刘徽的《九章算术注》中，对圆的面积计算写有“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
如何计算圆的面积？运用化未知为已知、以直（线性）代曲（圆）、从近似到精确的转化思想，结合构造级数来解决。
（１）一圆的半径（设为R）为边长作圆内接正６（6=3·2）边形，设其面积为u1；u1作为圆的面积近似值，误差较大（如图2）；
（２）分别以６边形各边为底边作等腰三角形，设这６个三角形面积之和为u2，则以正１２（12=3·22）边形的面积u1+u2作为圆面积的近似值，误差小一些；
（３）分别以１２边形各边为底边作等腰三角形，设这１２个三角形面积之和为u3，则以正２４（24＝3·22）边形的面积u1+u2+u3作为圆面积的近似值，误差再小些；
（４）分别以3·2n-1边形各边为底边作等腰三角形，设这3·2n-1个三角形面积之和为un，则以3·2n正边形的面积u1+u2+u3+…+un作为圆面积的近似值，误差更小了；
……
由此，我们得到一个数项级数：u1+u2+u3+…+un+…，直观判断它的和就是圆的面积。
通过对刘徽“割圆术”的分析，可以强化级数收敛概念。
一堂生动活泼、具有教学艺术魅力的好课犹如一支悠扬的乐曲，起调扣人心弦；主旋律引人入胜；“高潮”让人心潮澎湃；终曲余音绕梁。高等数学课的“起调”和“主旋律”都可以设计有效的数学问题-情景，对学生能拨动心弦，立疑激趣，促使学生的学习情绪高涨，激情迸发，调动智力的振奋状态，使之主动自觉地探求和构建新知识，造就主动学习的良性循环。 大学里数学老师都来关注各种类型的数学课的数学问题-情景的教学设计，必将大大提高大学数学的教学质量，也将对培养创新型人才培养作出有益的贡献。
［ 参 考 文 献 ］
［1］ 张奠宙.关于数学知识的教育形态［J］.数学通报，2001，（5）：3.
［2］ 周桂林.巧妙提问，创设问题情景——高等数学教学方法谈［J］.高等教育研究学报，2003，（4）：48-49.
［3］ 吐洪江.高等数学主题情景教学模式探索［J］.高等数学研究，2007，（2）：41-43.
［4］ 邬振明.试论《数学课程标准》的情感目标的贯彻［J］.惠州学院学报，2004，（6）：109-112.
［5］ 周秀琴，霍曙明.高等数学“问题－情景教学法”教学实践［J］.科技信息－高校理科研究，2008，（2）：137-138.
［责任编辑：林志恒］