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严谨性是数学学科的基本特点，数学学科的教学目标之一就是培养学生的严谨性.新课程标准下的教学目标更加注重培养学生的思维能力，而教学的严谨性要求，正是发展学生逻辑思维的核心环节.逐步加强教学的严谨性，是逐步培养学生逻辑思维的重要措施.
一、充分发挥教师的表率作用
首先，在日常的教学中，教师要严格要求自己，时时处处注意自己的言行对学生的感染力和影响程度，力求做到语言严谨，做题规范，解题灵活，板书工整，推理清楚，论证严密等，使学生在耳濡目染中受到熏陶，潜移默化，使学生能从老师的言行中体会到数学严谨性的重要及自己该怎样去做.例如：在集合运算教学中，为说明交集和并集的区别，顺口就说出了“交就是公共的，并就是元素的合并.” 这样也许通俗易懂，但对那些不熟悉集合中的元素具有互异性的学生来说，在两个集合有公共元素时就会出现错误.所以教师在课堂教学过程中，对定理，概念要尽量避免口语化，要使用规范的数学语言，为学生起到表率作用.
其次，尊重教材，重视阅读数学课本， 让学生掌握阅读“三步曲”，粗读：先理解这段文字在告诉我们什么；细读：找出语句中的关键字，关键词，关键句；精读：分析语句中的关键字，关键词，关键句的作用是什么？有或无的影响是什么？换成其他词语行吗？因为每个数学概念，符号，术语都有其精确的含义，特别在讲授新课，讲解概念时，要让学生按课本原文逐字、逐句的阅读.
例如： 椭圆的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.在授课时，粗读第一遍，让学生知道椭圆是怎么形成的；细读时，可以让学生找出其中的关键词：平面内，两个定点，和，常数；最后引导学生精读第三遍，让学生思考有什么不理解的地方？抓住时机，反问学生，为什么有（大于|F1F2|）这个条件？去掉可以吗？通过层层递进的思考，提问，让学生体会数学概念的严谨性.原来这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：当常数等于|F1F2| 时，轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时，无轨迹.顺势马上再给出两道题目，加深学生对椭圆定义的理解.
1. 已知F1、F2是定点，|F1F2|=8，动点满足|MF1|+|MF2|=8，则点M的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B） 直线 （C） 圆 （D） 线段
答案：（D）
2.已知B、C是两个定点，|BC|=6，以线段BC为一边画三角形，试问满足条件“△ABC的周长为20”的顶点A的轨迹是什么样的图形？为什么？（以B，C为焦点的椭圆）
这样不仅达到教学目的，更在不知不觉中潜移默化了学生思维的全面性和周密性.使学生不仅学会审题，更养成在审题时不但注意明显的条件，而且留意隐蔽条件，全面思考问题的习惯.
二、严格要求学生的学习行为
1.思而后言，言必有据
“据”是思维严谨的核心，就是要求学生无论在计算，推导，论证中，每一个过程都要有根有据，具体的说，要常常思考：“为什么是这样？”对数学问题一定要知其然而且要知其所以然.
例如：理解在指数函数y=ax中为什么要规定a>0且a≠1 ？
（i）假设a=0，那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；
（ii）假设a<0，那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时， 对于x=1/4，x=1/2，…无意义；
（iii）假设a=1，那么y=1x=1对任意x都是常数，没有研究的必要.为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1.
又如，为什么当f（x-1）=f（1-x）时，函数y=f（x）的图象关于y轴对称，而y=f（x-1）与 y=f（1-x）的图象却关于直线 x=1对称，如果不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆.
2.勤学善思，思必缜密
“缜密”是数学教学过程中着重要培养的思考习惯，具体的说，就是要求学生对定理的条件的限定，公式的适用范围要理解清晰，考虑问题要全面，周密，不能想当然.
比如，在运用公式a+b≥2ab时，一定要注意a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号，即“一正，二定，三等”.例如：已知x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.
常见错解： 因为1=1x+9y≥29xy=6xy
所以xy ≥6，又因为x+y≥2xy≥12.
即x+y的最小值是12.
错误分析：在运用基本不等式时，只注意了大小的传递，而忽视了等号的传递，因为上述解法中的等号是当且仅当x=y，1x=9y同时成立时方可取到，这显然是不可能的.
正解：因为x+y=（x+y）（1x+9y）=10+yx+9xy≥10+29=16.
（等号当且仅当yx=9xy，即x=4，y=12时取到）
即x+y的最小值是16.
又如：求实数m，使方程x2+（m+4i）x+1+2mi=0至少有一个实根.
错误解法：因为方程至少有一个实根， 所以Δ=（m+4i）2-4（1+2mi）=m2-20≥0，
所以m≥45或m≤-45.
错误原因：一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用，而学生常常盲目，想当然地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误.
正确解法：设a是方程的实数根，则
a2+（m+4i）a+1+2mi=0
所以a2+ma+1+（4a+2m）i=0.
由于a，m都是实数，故有a2+ma+1=0且4a+2m=0. 解得m=2或-2.
3.心中有路，路线清晰
就是要求学生对解决一个需要分几个步骤才能完成的问题时，要从几个方面进行思考，要分几种情况进行讨论，都要心中有数，有条不紊，在具体的解题过程中要有清晰的基本思路.
例如：求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点.
常见错解：设所求的直线为：y=kx+1，与抛物线联立后得k2·x2+（2k-2）x+1=0，令Δ=0，解得k=12，故直线方程为y=12x+1.
错误原因：从学生角度，长期接触的都是唯一结果的数学问题，不知不觉中形成答案唯一的思维定势；从知识角度，学生对斜率不存在的直线缺乏敏感，对参数k的讨论没有作到心中有数.
正确解法：要考虑三种情况：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点（0，1），所以即y轴，它正好与抛物线相切.直线方程为x=0；②当所求直线的斜率存在时，可设所求的直线为：y=kx+1，与抛物线联立后得k2x2+（2k-2）x+1=0，若k=0，此时直线平行x轴，与抛物线y2=2x只有一个交点，因为过（0，1），所以直线方程是y=1；若k≠0，令Δ=0，解得k=12，故直线方程为y=12x+1.
综上所求直线方程为x=0， y=1，y=12x+1.
4.有规有矩，规范解题
就是要求学生对新学的知识，要写出具体的程序步骤，将一些法则，公式的运用归纳为一定的程序.规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平.在高中数学中，有些题目的解答过程是有严格的规范和要求的，比如：证明函数单调性的四步骤：
①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1 ②作差变形：作差f（x1）-f（x2），并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形；
③判断定号：确定f（x1）-f（x2）的符号；
④得出结论：根据定义作出结论（若差大于0，则为增函数；若差小于0，则为减函数）.
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”，让学生充分参与用严格的数学符号语言刻划函数单调性的全过程，从而培养学生清晰的思维习惯.
总之，数学是一门严谨的学科，如不及早对学生提出适当的严谨性要求，就会使学生学到的知识不准确，并会养成不求甚解，不问根源，马虎从事的不良习惯，对以后的学习，工作将产生很大的负面影响，因此，在新课程学习的一开始就应逐步切实加强这方面的引导和训练，培养学生学习数学的良好习惯和方法，促使学生素质的良好发展.
福州市第三中学 （350003）
一、充分发挥教师的表率作用
首先，在日常的教学中，教师要严格要求自己，时时处处注意自己的言行对学生的感染力和影响程度，力求做到语言严谨，做题规范，解题灵活，板书工整，推理清楚，论证严密等，使学生在耳濡目染中受到熏陶，潜移默化，使学生能从老师的言行中体会到数学严谨性的重要及自己该怎样去做.例如：在集合运算教学中，为说明交集和并集的区别，顺口就说出了“交就是公共的，并就是元素的合并.” 这样也许通俗易懂，但对那些不熟悉集合中的元素具有互异性的学生来说，在两个集合有公共元素时就会出现错误.所以教师在课堂教学过程中，对定理，概念要尽量避免口语化，要使用规范的数学语言，为学生起到表率作用.
其次，尊重教材，重视阅读数学课本， 让学生掌握阅读“三步曲”，粗读：先理解这段文字在告诉我们什么；细读：找出语句中的关键字，关键词，关键句；精读：分析语句中的关键字，关键词，关键句的作用是什么？有或无的影响是什么？换成其他词语行吗？因为每个数学概念，符号，术语都有其精确的含义，特别在讲授新课，讲解概念时，要让学生按课本原文逐字、逐句的阅读.
例如： 椭圆的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.在授课时，粗读第一遍，让学生知道椭圆是怎么形成的；细读时，可以让学生找出其中的关键词：平面内，两个定点，和，常数；最后引导学生精读第三遍，让学生思考有什么不理解的地方？抓住时机，反问学生，为什么有（大于|F1F2|）这个条件？去掉可以吗？通过层层递进的思考，提问，让学生体会数学概念的严谨性.原来这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：当常数等于|F1F2| 时，轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时，无轨迹.顺势马上再给出两道题目，加深学生对椭圆定义的理解.
1. 已知F1、F2是定点，|F1F2|=8，动点满足|MF1|+|MF2|=8，则点M的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B） 直线 （C） 圆 （D） 线段
答案：（D）
2.已知B、C是两个定点，|BC|=6，以线段BC为一边画三角形，试问满足条件“△ABC的周长为20”的顶点A的轨迹是什么样的图形？为什么？（以B，C为焦点的椭圆）
这样不仅达到教学目的，更在不知不觉中潜移默化了学生思维的全面性和周密性.使学生不仅学会审题，更养成在审题时不但注意明显的条件，而且留意隐蔽条件，全面思考问题的习惯.
二、严格要求学生的学习行为
1.思而后言，言必有据
“据”是思维严谨的核心，就是要求学生无论在计算，推导，论证中，每一个过程都要有根有据，具体的说，要常常思考：“为什么是这样？”对数学问题一定要知其然而且要知其所以然.
例如：理解在指数函数y=ax中为什么要规定a>0且a≠1 ？
（i）假设a=0，那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；
（ii）假设a<0，那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时， 对于x=1/4，x=1/2，…无意义；
（iii）假设a=1，那么y=1x=1对任意x都是常数，没有研究的必要.为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1.
又如，为什么当f（x-1）=f（1-x）时，函数y=f（x）的图象关于y轴对称，而y=f（x-1）与 y=f（1-x）的图象却关于直线 x=1对称，如果不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆.
2.勤学善思，思必缜密
“缜密”是数学教学过程中着重要培养的思考习惯，具体的说，就是要求学生对定理的条件的限定，公式的适用范围要理解清晰，考虑问题要全面，周密，不能想当然.
比如，在运用公式a+b≥2ab时，一定要注意a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号，即“一正，二定，三等”.例如：已知x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.
常见错解： 因为1=1x+9y≥29xy=6xy
所以xy ≥6，又因为x+y≥2xy≥12.
即x+y的最小值是12.
错误分析：在运用基本不等式时，只注意了大小的传递，而忽视了等号的传递，因为上述解法中的等号是当且仅当x=y，1x=9y同时成立时方可取到，这显然是不可能的.
正解：因为x+y=（x+y）（1x+9y）=10+yx+9xy≥10+29=16.
（等号当且仅当yx=9xy，即x=4，y=12时取到）
即x+y的最小值是16.
又如：求实数m，使方程x2+（m+4i）x+1+2mi=0至少有一个实根.
错误解法：因为方程至少有一个实根， 所以Δ=（m+4i）2-4（1+2mi）=m2-20≥0，
所以m≥45或m≤-45.
错误原因：一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用，而学生常常盲目，想当然地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误.
正确解法：设a是方程的实数根，则
a2+（m+4i）a+1+2mi=0
所以a2+ma+1+（4a+2m）i=0.
由于a，m都是实数，故有a2+ma+1=0且4a+2m=0. 解得m=2或-2.
3.心中有路，路线清晰
就是要求学生对解决一个需要分几个步骤才能完成的问题时，要从几个方面进行思考，要分几种情况进行讨论，都要心中有数，有条不紊，在具体的解题过程中要有清晰的基本思路.
例如：求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点.
常见错解：设所求的直线为：y=kx+1，与抛物线联立后得k2·x2+（2k-2）x+1=0，令Δ=0，解得k=12，故直线方程为y=12x+1.
错误原因：从学生角度，长期接触的都是唯一结果的数学问题，不知不觉中形成答案唯一的思维定势；从知识角度，学生对斜率不存在的直线缺乏敏感，对参数k的讨论没有作到心中有数.
正确解法：要考虑三种情况：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点（0，1），所以即y轴，它正好与抛物线相切.直线方程为x=0；②当所求直线的斜率存在时，可设所求的直线为：y=kx+1，与抛物线联立后得k2x2+（2k-2）x+1=0，若k=0，此时直线平行x轴，与抛物线y2=2x只有一个交点，因为过（0，1），所以直线方程是y=1；若k≠0，令Δ=0，解得k=12，故直线方程为y=12x+1.
综上所求直线方程为x=0， y=1，y=12x+1.
4.有规有矩，规范解题
就是要求学生对新学的知识，要写出具体的程序步骤，将一些法则，公式的运用归纳为一定的程序.规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平.在高中数学中，有些题目的解答过程是有严格的规范和要求的，比如：证明函数单调性的四步骤：
①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1 ②作差变形：作差f（x1）-f（x2），并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形；
③判断定号：确定f（x1）-f（x2）的符号；
④得出结论：根据定义作出结论（若差大于0，则为增函数；若差小于0，则为减函数）.
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”，让学生充分参与用严格的数学符号语言刻划函数单调性的全过程，从而培养学生清晰的思维习惯.
总之，数学是一门严谨的学科，如不及早对学生提出适当的严谨性要求，就会使学生学到的知识不准确，并会养成不求甚解，不问根源，马虎从事的不良习惯，对以后的学习，工作将产生很大的负面影响，因此，在新课程学习的一开始就应逐步切实加强这方面的引导和训练，培养学生学习数学的良好习惯和方法，促使学生素质的良好发展.
福州市第三中学 （350003）