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【摘要】极限是高等数学中最基本、最重要的内容，高等数学中的许多概念都是以极限的方式定义的。本文作者结合自己对函数极限求解方法的总结，通过一些典型的例题对求函数极限的方法进行了探讨.
【关键词】高等数学极限求法
高等数学是理工科、经济类学生必修的一门公共基础课程，该门课程学习的好坏直接关系到学生后续数学课程及专业课程的学习。而极限这个概念是高等数学中非常重要的一个概念，是学生在学习高等数学时第一个接触的概念，并且这个概念与后面所要学习的导数、积分都有着密切的联系，因此本文来研究一下求极限的几种方法。
一、 利用函数的连续性求极限
我们知道若函数y=f（x） 在点x0 处连续，则有limf（x）=f（x0） 。而一切初等函数在其定义域内都是连续的。故在求函数极限的时候，若给定的函数是初等函数，且点 x0属于f（x） 的定义域，此时可根据函数的连续性，该点的极限值等于该点的函数值，只须将该点直接代入求值即可。
例1：limx→0 x3-3x 1
解；函数 x3-3x 1是初等函数， x=0是其定义域内的点，所以 limx→0 x3-3x 1=1
例2： ：limx→π （sin3x2）8
解；函数 （sin3x2）8是初等函数， x=π是其定义域内的点，所以 limx→π （sin3x2）8=（sin3x2）8=1
二、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限
利用四则运算法则求极限是极限运算中最基础的方法之一，要特别强调运算法则的最重要前题条件———各项极限都存在（ 对商还有分母极限不为零），此条件是充分而非必要的。因此，利用此法则求极限时，必须对所给函数进行逐一验证，满足条件者，方能运用；不满足条件者不能直接利用此运算法则求之。但是，对有些函数可以进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则来求。而对函数进行恒等变形时，有一些简单技巧如分子或分母有理化、分子分母同乘某一因子、拆项、变量替换等都是常用的.
例3. 求 . limx→3 x-3x2-9
解： limx→3 x-3x2-9= limx→3 x-3（x-3）（x 3）=. limx→3 1x 3=limx→3 1limx→3 （x 3）=16
例4： limx→0 1 x-1-xx
解： limx→0 1 x-1-xx=limx→0 =（1 x-1-x）（1 x 1-xx（1 x1-x）=limx→0 21 x 1-x=1
二、利用无穷小量的一些性质求函数的极限
（1）无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量
例5： limx→0 x2sin1x
解： x→0时， x2→0，故x→0 时， x2为无穷小量；而 ︳sin1x︳≤1， sin1x为有界变量，故 limx→0 x2sin1x=0
（2）在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数为无穷小量，非零的无穷小量的倒数为无穷大量
例6： limx→2 x 3x2-4
解：因为分母极限limx→2 （x2-4）=0 ，不能用极限运算法则，但 limx→2 x2-4x2 3=0，故 x→2时， 为无穷小量，故 limx→2 x 3x2-4=∞
三、利用两个重要极限求函数的极限
（1）重要极限Ⅰ： limx→0 sinxx=1
该极限适用于求未定式 00型的极限，在使用时常使用该极限的演变式 limf（x）→0 sin（f（x））f（x）=1
例7： limx→0 sin2xx=limx→0 sin2x2x2=2
例8：limx→0 tanxx=limx→0 sinxx·1cosx=limx→0 sinxx ·limx→0 1cosx=1
例9： limx→0 1-cosxx2=limx→0 2sin2xx2=2（limx→0 sinxx）2=2
注：若极限形式不是“ 00”型，则不能利用上述公式。
（2）重要极限Ⅱ：limx→∞ （1 1x）x=e（或 limx→∞ （1 x）1x=e）
该极限适用于求未定式 1∞型的极限，在使用时常使用该极限的演变式
limf（x）→∞ （1 1f（x））f（x）（或 limf（x）→0 （1 f（x））1f（x）=e）
例10： limx→∞ （1 1x）2x=limx→∞ [（1 1x）x]2=e2
例11： limx→∞ （1 13x）x=limx→∞ [（1 13x）3x]13=e13
例12： limx→∞ （1 tanx）cotx=limx→∞ （1 tanx）1cotx=e
注意：在求解过程中通常采用恒等变形的方式凑成重要极限的形式来求极限。
五、等价无穷小替换
利用等价无穷小替换定理计算极限，可以使极限计算简单化.
常用的等价无穷小：
当 x→0时，sinx□x ，tanx□x ， arcsinx□x， arctanx□x
1-cosx□12x2 ，ln（1 x）□x ， ex-1□x
例13： limx→0 1-cosxxsinx
解：由于当 x→0时，sinx □x，1-cosx□12x2 ，所以有 limx→0 1cosxxsinx=limx→0 12x2x2=12
例14： limx→0 ln（1 2x）e3x-1
解：由于当 x→0时，ln（1 2x） □2x，e3x-1 □3x，所以有 limx→0 ln（1 2x）e3x-1=2x3x=23 例15： limx→0 tanx-sinxx3
解：由于 tanx-sinx=tanx（1-cosx），而当 x→0时，tanx □x，1-cosx□12x2
limx→0 tanx-sinxx3= limx→0 tanx（1-cosx）x3 =limx→0 x·12x2x3=12
注意：在乘除运算中的无穷小量都可用各自的等价无穷小量替换，但在加减运算中的各项不能作等价无穷小替换。
六、洛必达法则
洛必达（L’Hospital）法则是处理不定式极限的重要工具，是计算00 型、 ∞∞型极限的简单而有效的法则。
例16：求 limx→2 x3-12x 16x3-2x2-4x 8 .
解：limx→2 x3-12x 16x3-2x2-4x 8 =limx→2 3x2-123x2-4x-4 limx→2 6x6x-4=32.
例17 求 limx→ ∞ -π2-arctanx1x.
解： limx→ ∞ -π2-arctanx1x=limx→ ∞ 1--11-x2x2=limx→ ∞ x21-x2=1
例18：求limx→ ∞ lnxxa （a>0）.
解： limx→ ∞ lnxxa =limx→ ∞ 1xaxa-1=limx→ ∞ 1axa=0.
注意：（1）对于函数极限的其他一些不定式，例如 0·∞，∞-∞ ， 00，1∞ 和∞0 型等，处理它们的总原则是设法将其转化为 00或 ∞∞型，再应用洛必达法则.
（2）洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但不是万能的.我们要学会善于根据具体问题采取不同的方法求解，最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷.
以上列举的几种求极限的方法都是常用的，除此之外，还可以灵活的运用高等数学的其他概念来解决极限的计算问题。只有在学习的过程中不断的进行总结，才能在解题思路中有所创新，还有更多更好的方法和思路，需要我们进一步去总结
参考文献
[1]高等数学中求极限的方法探究. 张先荣. 安阳师范学院学报. 2013.（5）
[2]高等数学[M]. 北京：北京大学出版社.2006
【关键词】高等数学极限求法
高等数学是理工科、经济类学生必修的一门公共基础课程，该门课程学习的好坏直接关系到学生后续数学课程及专业课程的学习。而极限这个概念是高等数学中非常重要的一个概念，是学生在学习高等数学时第一个接触的概念，并且这个概念与后面所要学习的导数、积分都有着密切的联系，因此本文来研究一下求极限的几种方法。
一、 利用函数的连续性求极限
我们知道若函数y=f（x） 在点x0 处连续，则有limf（x）=f（x0） 。而一切初等函数在其定义域内都是连续的。故在求函数极限的时候，若给定的函数是初等函数，且点 x0属于f（x） 的定义域，此时可根据函数的连续性，该点的极限值等于该点的函数值，只须将该点直接代入求值即可。
例1：limx→0 x3-3x 1
解；函数 x3-3x 1是初等函数， x=0是其定义域内的点，所以 limx→0 x3-3x 1=1
例2： ：limx→π （sin3x2）8
解；函数 （sin3x2）8是初等函数， x=π是其定义域内的点，所以 limx→π （sin3x2）8=（sin3x2）8=1
二、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限
利用四则运算法则求极限是极限运算中最基础的方法之一，要特别强调运算法则的最重要前题条件———各项极限都存在（ 对商还有分母极限不为零），此条件是充分而非必要的。因此，利用此法则求极限时，必须对所给函数进行逐一验证，满足条件者，方能运用；不满足条件者不能直接利用此运算法则求之。但是，对有些函数可以进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则来求。而对函数进行恒等变形时，有一些简单技巧如分子或分母有理化、分子分母同乘某一因子、拆项、变量替换等都是常用的.
例3. 求 . limx→3 x-3x2-9
解： limx→3 x-3x2-9= limx→3 x-3（x-3）（x 3）=. limx→3 1x 3=limx→3 1limx→3 （x 3）=16
例4： limx→0 1 x-1-xx
解： limx→0 1 x-1-xx=limx→0 =（1 x-1-x）（1 x 1-xx（1 x1-x）=limx→0 21 x 1-x=1
二、利用无穷小量的一些性质求函数的极限
（1）无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量
例5： limx→0 x2sin1x
解： x→0时， x2→0，故x→0 时， x2为无穷小量；而 ︳sin1x︳≤1， sin1x为有界变量，故 limx→0 x2sin1x=0
（2）在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数为无穷小量，非零的无穷小量的倒数为无穷大量
例6： limx→2 x 3x2-4
解：因为分母极限limx→2 （x2-4）=0 ，不能用极限运算法则，但 limx→2 x2-4x2 3=0，故 x→2时， 为无穷小量，故 limx→2 x 3x2-4=∞
三、利用两个重要极限求函数的极限
（1）重要极限Ⅰ： limx→0 sinxx=1
该极限适用于求未定式 00型的极限，在使用时常使用该极限的演变式 limf（x）→0 sin（f（x））f（x）=1
例7： limx→0 sin2xx=limx→0 sin2x2x2=2
例8：limx→0 tanxx=limx→0 sinxx·1cosx=limx→0 sinxx ·limx→0 1cosx=1
例9： limx→0 1-cosxx2=limx→0 2sin2xx2=2（limx→0 sinxx）2=2
注：若极限形式不是“ 00”型，则不能利用上述公式。
（2）重要极限Ⅱ：limx→∞ （1 1x）x=e（或 limx→∞ （1 x）1x=e）
该极限适用于求未定式 1∞型的极限，在使用时常使用该极限的演变式
limf（x）→∞ （1 1f（x））f（x）（或 limf（x）→0 （1 f（x））1f（x）=e）
例10： limx→∞ （1 1x）2x=limx→∞ [（1 1x）x]2=e2
例11： limx→∞ （1 13x）x=limx→∞ [（1 13x）3x]13=e13
例12： limx→∞ （1 tanx）cotx=limx→∞ （1 tanx）1cotx=e
注意：在求解过程中通常采用恒等变形的方式凑成重要极限的形式来求极限。
五、等价无穷小替换
利用等价无穷小替换定理计算极限，可以使极限计算简单化.
常用的等价无穷小：
当 x→0时，sinx□x ，tanx□x ， arcsinx□x， arctanx□x
1-cosx□12x2 ，ln（1 x）□x ， ex-1□x
例13： limx→0 1-cosxxsinx
解：由于当 x→0时，sinx □x，1-cosx□12x2 ，所以有 limx→0 1cosxxsinx=limx→0 12x2x2=12
例14： limx→0 ln（1 2x）e3x-1
解：由于当 x→0时，ln（1 2x） □2x，e3x-1 □3x，所以有 limx→0 ln（1 2x）e3x-1=2x3x=23 例15： limx→0 tanx-sinxx3
解：由于 tanx-sinx=tanx（1-cosx），而当 x→0时，tanx □x，1-cosx□12x2
limx→0 tanx-sinxx3= limx→0 tanx（1-cosx）x3 =limx→0 x·12x2x3=12
注意：在乘除运算中的无穷小量都可用各自的等价无穷小量替换，但在加减运算中的各项不能作等价无穷小替换。
六、洛必达法则
洛必达（L’Hospital）法则是处理不定式极限的重要工具，是计算00 型、 ∞∞型极限的简单而有效的法则。
例16：求 limx→2 x3-12x 16x3-2x2-4x 8 .
解：limx→2 x3-12x 16x3-2x2-4x 8 =limx→2 3x2-123x2-4x-4 limx→2 6x6x-4=32.
例17 求 limx→ ∞ -π2-arctanx1x.
解： limx→ ∞ -π2-arctanx1x=limx→ ∞ 1--11-x2x2=limx→ ∞ x21-x2=1
例18：求limx→ ∞ lnxxa （a>0）.
解： limx→ ∞ lnxxa =limx→ ∞ 1xaxa-1=limx→ ∞ 1axa=0.
注意：（1）对于函数极限的其他一些不定式，例如 0·∞，∞-∞ ， 00，1∞ 和∞0 型等，处理它们的总原则是设法将其转化为 00或 ∞∞型，再应用洛必达法则.
（2）洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但不是万能的.我们要学会善于根据具体问题采取不同的方法求解，最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷.
以上列举的几种求极限的方法都是常用的，除此之外，还可以灵活的运用高等数学的其他概念来解决极限的计算问题。只有在学习的过程中不断的进行总结，才能在解题思路中有所创新，还有更多更好的方法和思路，需要我们进一步去总结
参考文献
[1]高等数学中求极限的方法探究. 张先荣. 安阳师范学院学报. 2013.（5）
[2]高等数学[M]. 北京：北京大学出版社.2006