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在多年的教学实践中,笔者发现,如果学生始终是将一种思维的方法用于解决某一种特定的约束条件下的问题,那么学生的思维就犹如套上了枷锁般,很容易被界定成思维定势,这种思维将是“硬邦邦”的思维,创新能力的培养也只能是纸上谈兵.线性规划是指在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题,这是试验教材新增内容之一.其思想精髓是在可行域内根据几何意义找到目标函数的最优解,利用这一思想可使数学中的许多问题得到巧妙的解决.这不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液,也促进了新课程的进一步发展.
为了让学生的思维能够延伸,不只是停留在某一个层面或某一个限定的区域,我在教学了线性规划以及学生熟练地利用线性规划解决实际的问题之后,及时地根据学生的实际拓展思维,将非线性问题也引用线性规划的思想来教学,达到以旧思维引新思维的效果,让学生的思维具有生命动力及延续性.
一、意义的延伸:线性与非线性的对比
为了使学生弄清楚线性与非线性的本质区别,教学时我采用延伸对比的方法.所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系,若在直角坐标系上画出来,则是一条直线.由线性函数关系描述的系统叫线性系统,在线性系统中,部分之和等于整体.描述线性系统的方程遵从叠加原理,即方程的不同解加起来仍然是原方程的解.这是线性系统最本质的特征之一.“非线性”则是指两个量之间的关系不是“直线”关系,在直角坐标系中呈一条曲线.最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程.简单地说,一切不是一次的函数关系,如一切高于一次方的多项式函数关系,都是非线性的.由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统.
在一个二维平面上来看,y=ax+b是一条直线,那么x与y是线性关系.而y=ax2+b则是非线性关系.为了使学生能将抽象的思维化为具体的形象,教学时我采用假设的方法,假如一个人从x轴上某点开始作匀速运动,那么,他经过线性关系映射到y轴的投影也是匀速运动,因a的大小导致可能速度不一样,但都是匀速运动.他经过非线性关系映射到y轴的投影则不是均速运动.这样学生就理解了“非线性现象表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变”的含义.在三维坐标系看,ax+by+cz=d是一条直线,那么x,y,z满足线性关系,否则不是线性关系.在多维坐标系中(向量),[y1,y2,...,yk]=A*[x1,x2,...,xk]+B;A,B是一个常系数的k*k矩阵,那么从[x1,x2,...,xk]变换到[y1,y2,...,yk]是线性变换,否则不是线性变换.
二、方法的延伸:非线性问题的线性解法
解决线性规划问题的数学思想,从本质上讲就是用线性约束条件的几何意义来解决目标函数的取值问题.其主要思想就是利用几何形式解决代数问题,它是代数问题几何化的有力处理方式.这种解决线性问题的思维我们也可以将其延伸到解决非线性问题上来,关键是要让学生发现并挖掘出非线性目标函数的几何意义,并利用图形及非线性目标函数几何意义求出目标函数取值范围.
线性规划的数学思想可以延伸到解决线性约束条件下非线性目标函数的最值问题、非线性约束条件下线性目标函数的最值问题和非线性约束条件下非线性目标函数的最值问题,限于篇幅,本文只就非线性约束条件下非线性函数的最值问题为例作探讨.
已知关于t的方程t2+tx+y=0有两个绝对值都不大于1的实根.求z=x2+(y-1)2的取值范围.
我先放手让学生自己先行解决,大部分学生都是想到用常规的方法求解,就在学生都感到迷茫时,我及时地点明要先求出直角坐标系内P(x,y)所对应的区域图形,然后再根据条件利用数形结合“规划”出非线性目标函数的最值.
解答:(1)根据题意可令f(t)=t2+tx+y,由于方程f(t)=0两个根都在[-1,1]上,
故△=x2-4y≥0-1≤≤1f(-1)=1-x+y≥0f(-1)=1+x+y≥0
∴直角坐标系内的P(x,y)所对应的区域图形如阴影部分所示.
(2)∵ z=x2+(y-1)2,∴ z可看作平面区域内的点P(x,y)与定点C(0,1)的距离的平方.由图形可知点P(x,y)取抛物线x2-4y=0在x∈[-2,2]内的点,则z取最小值.
z=x2+(y-1)2=4y+(y-1)2=(y+1)2.
∵y≥0,∴ zmin=1.
当点P(x,y)过点A或M或N时,则z取最大值.
A(0,-1),M(2,1),N(-2,1)
PA2=PM2=PN2=4,故 zmax=4.
∴ z∈[1,4].
至此,学生豁然开朗,思维的延伸达到了效果.
责任编辑罗峰
为了让学生的思维能够延伸,不只是停留在某一个层面或某一个限定的区域,我在教学了线性规划以及学生熟练地利用线性规划解决实际的问题之后,及时地根据学生的实际拓展思维,将非线性问题也引用线性规划的思想来教学,达到以旧思维引新思维的效果,让学生的思维具有生命动力及延续性.
一、意义的延伸:线性与非线性的对比
为了使学生弄清楚线性与非线性的本质区别,教学时我采用延伸对比的方法.所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系,若在直角坐标系上画出来,则是一条直线.由线性函数关系描述的系统叫线性系统,在线性系统中,部分之和等于整体.描述线性系统的方程遵从叠加原理,即方程的不同解加起来仍然是原方程的解.这是线性系统最本质的特征之一.“非线性”则是指两个量之间的关系不是“直线”关系,在直角坐标系中呈一条曲线.最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程.简单地说,一切不是一次的函数关系,如一切高于一次方的多项式函数关系,都是非线性的.由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统.
在一个二维平面上来看,y=ax+b是一条直线,那么x与y是线性关系.而y=ax2+b则是非线性关系.为了使学生能将抽象的思维化为具体的形象,教学时我采用假设的方法,假如一个人从x轴上某点开始作匀速运动,那么,他经过线性关系映射到y轴的投影也是匀速运动,因a的大小导致可能速度不一样,但都是匀速运动.他经过非线性关系映射到y轴的投影则不是均速运动.这样学生就理解了“非线性现象表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变”的含义.在三维坐标系看,ax+by+cz=d是一条直线,那么x,y,z满足线性关系,否则不是线性关系.在多维坐标系中(向量),[y1,y2,...,yk]=A*[x1,x2,...,xk]+B;A,B是一个常系数的k*k矩阵,那么从[x1,x2,...,xk]变换到[y1,y2,...,yk]是线性变换,否则不是线性变换.
二、方法的延伸:非线性问题的线性解法
解决线性规划问题的数学思想,从本质上讲就是用线性约束条件的几何意义来解决目标函数的取值问题.其主要思想就是利用几何形式解决代数问题,它是代数问题几何化的有力处理方式.这种解决线性问题的思维我们也可以将其延伸到解决非线性问题上来,关键是要让学生发现并挖掘出非线性目标函数的几何意义,并利用图形及非线性目标函数几何意义求出目标函数取值范围.
线性规划的数学思想可以延伸到解决线性约束条件下非线性目标函数的最值问题、非线性约束条件下线性目标函数的最值问题和非线性约束条件下非线性目标函数的最值问题,限于篇幅,本文只就非线性约束条件下非线性函数的最值问题为例作探讨.
已知关于t的方程t2+tx+y=0有两个绝对值都不大于1的实根.求z=x2+(y-1)2的取值范围.
我先放手让学生自己先行解决,大部分学生都是想到用常规的方法求解,就在学生都感到迷茫时,我及时地点明要先求出直角坐标系内P(x,y)所对应的区域图形,然后再根据条件利用数形结合“规划”出非线性目标函数的最值.
解答:(1)根据题意可令f(t)=t2+tx+y,由于方程f(t)=0两个根都在[-1,1]上,
故△=x2-4y≥0-1≤≤1f(-1)=1-x+y≥0f(-1)=1+x+y≥0
∴直角坐标系内的P(x,y)所对应的区域图形如阴影部分所示.
(2)∵ z=x2+(y-1)2,∴ z可看作平面区域内的点P(x,y)与定点C(0,1)的距离的平方.由图形可知点P(x,y)取抛物线x2-4y=0在x∈[-2,2]内的点,则z取最小值.
z=x2+(y-1)2=4y+(y-1)2=(y+1)2.
∵y≥0,∴ zmin=1.
当点P(x,y)过点A或M或N时,则z取最大值.
A(0,-1),M(2,1),N(-2,1)
PA2=PM2=PN2=4,故 zmax=4.
∴ z∈[1,4].
至此,学生豁然开朗,思维的延伸达到了效果.
责任编辑罗峰