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学生在数学学习时并不是一张白纸，他们已经或多或少地具备了一些初步的数学学习经验。这些经验可能来自于学生的日常生活，也可能来自于参与的数学活动，还可能是在学科综合学习中获得的。那么，教师在教学时应如何巧用学生的经验，让数学学习的过程变得“鲜活”起来，从而让数学教学更加有效呢？笔者结合自己的教学实践，认为可以从激活课前“日常生活经验”、盘活课中“数学活动经验”、用活课后“学科综合经验”三方面入手。
一、激活“日常生活经验”，把握知识起点
现代社会信息丰富，各种各样的生活现象进入学生的认知领域，成为了他们的日常生活经验，并作为他们数学学习经验的一部分，构成学习新知前的“数学现实”。学生的生活经验就像火把，需要教师去点燃、激活，准确把握数学知识学习的起点。
（一）顺势调用“正确经验”，促进新知生成
生活经验能够帮助学生理解和内化知识。教师在充分了解学生经验的基础上，可以创设学生熟悉的生活情境，促使他们在学习的过程中自然调用生活经验，并在教师引导下，从形象逐渐趋于抽象，促进新知生成。
例如，一年级上“11～20各数的认识”的教学重点是“计数单位十”的建立。传统的教学是通过学生自己数小棒，掌握10进制的摆法，从而引入新知。但笔者在课堂中观察发现，全班只有一名学生出现了10进制的摆法，并且得不到大家的认同，而在教师引导10根扎成一捆后，在巩固环节中还是有学生将11根扎成一捆。这说明，传统教学没有将“计数单位十”与学生的生活经验发生关联，学生还只是表面上的接受，没有很好地深入理解。再次教学该课时，笔者在上课伊始创设了低年级儿童喜爱的“到喜羊羊杂货铺买东西”的生活情境，选取了“香肠、餐巾纸、牛奶、铅笔”等生活中经常是10个一包装的材料，唤醒学生“计数单位十”的生活原型（如图1）。经过一次次的“买卖”，让学生在感性描述中逐步感受到计数单位“十”建立的必要性；尤其是“铅笔”和教材上的小棒更是有异曲同工之处，在帮助喜羊羊整理铅笔的过程中，学生就会不自觉地将10支扎成一捆了。
图1
（二）主动调整“错误经验”，激发学习内需
有时生活经验的模糊和不够准确，也会为数学学习制造“障碍”，形成对知识的错误解读。面对错误的生活经验，教师不能简单回避，也不能强制取代，而应该通过制造矛盾冲突，来激发学生的学习内需，经历原有经验向数学新知不断调整和发展的过程，让学生的认知从模糊逐渐走向清晰。
例如，五年级下”轴对称”的教学难点是进一步认识“两个图形成轴对称”。笔者通过课前调查发现，学生在生活中经常看到的是一个图形的轴对称图形，例如窗花、面具等等；而对于轴对称的另一种形式——两个图形形成轴对称则并不认可。面对学生对“轴对称”的片面解读，笔者借助多媒体课件的动态演示，将人教版教材提供的一个图形的轴对称图形“松树”，按对称轴的两边拉开（如图2），凸显认知矛盾“一个图形变成两个图形了，它们还是轴对称吗？”“再拉开呢？”激发学生不断地去辨析、思考，并通过课件演示沿着对称轴对折、重合验证猜测；接下来，将拉开的两部分再逐渐合拢，最后还原到原来的一个图形。学生在这一过程中将原有经验不断调整，理解了“轴对称可以是一个图形（轴对称图形），也可以是两个图形关于某条直线成轴对称”，并进一步感悟两者的联系，即如果把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看成两个图形，那么也就是两个图形关于这条直线成轴对称。
图2
二、盘活“数学活动经验”，构建知识体系
数学活动经验是指学生在学习数学知识过程中通过参与数学活动积累的经验，包括形成的感性知识、情绪体验和应用意识等等。教师应有意识地将这些经验进行资源整合，通过提炼和提升及时调整运作，帮助学生建构起较为规范和系统的数学知识体系。
（一）类比打通“显性经验”，抓住数学本质
在操作层面的数学活动中，让学生获得显性经验，即学生个人意义的过程性知识，也包括学生大脑中那些未经训练的、不那么严密的数学知识。教师可以通过类比的方法来打通学生的思路，从直观的显性经验中提炼出抽象的数学本质。
例如，在五年级下“真分数、假分数”的教学中，因为教材没有很好地呈现假分数产生的过程，学生难以从本质上理解“假分数的意义”，学习后许多学生仍心存疑惑：平均分成4份，怎么可以取出5份呢？为此，教师通过教材重组，设计了“分饼”的操作活动（如图3），让学生用除法算式表示分饼的过程，用分数表示分饼的结果，使学生经历假分数直观产生的过程，有了显性经验的丰富积累。教师引导学生进一步观察算式，从1个到2个、3个、4个、5个就产生了；再以此类推，6个就产生了，7个就产生了……N个是；最终提炼出真分数和假分数都是分数单位不断累加的结果。
图3
（二）对比贯穿“隐性经验”，建立数学模型
在思维层面的数学活动中，学生还获得了隐形经验，即获得的成功体验，对数学严谨性和美的感受，应用数学解决问题的策略和数学的思想方法，以及拓展知识应用领域的创新意识等等。教师可以通过对比的方法来贯穿学生的思考，将内在的隐形经验提升为外在的数学模型。
例如，在四年级下“植树问题”的教学中，需要理解三种不同类型的植树情况，即“两端都种”“只种一端”“两端都不种”，造成学生记忆负担较重，往往掌握不够理想。笔者思考，如果将这三种类型都罗列在表格中，进一步挖掘其中蕴含的隐形经验，能否上升为一种更具有普遍意义的数学模型，从而帮助学生更好地解决问题呢？笔者先将不同道路长度的种植情况记录在表格里（见下表所示）：
如道路长度为15米，每隔5米种一棵树，可能是种4棵、3棵、也可能是2棵，算式是15÷5=3。接着，借助表格，先引导学生横向对比思考，不同的道路长度的种植情况，有没有共同点？学生发现，它们都有三种不同的棵数，都运用了数量关系“总数（道路长度）÷每份数（间隔长度）=份数（间隔数）”来解决问题。再引导学生纵向对比思考，为什么对结果的处理，有时候棵数是“商 1”，有时候棵数是“商-1”，而有时候棵数就是“商”？学生结合图形，体会“一一对应”的数学思想。将植树问题较复杂的数学模型还原成最基本的数学模型，即除法模型；三种不同类型，就是根据实际情况对商的处理。以此帮助学生更好地建构知识体系。 三、用活“学科综合经验”，编织知识网络
学科综合经验来自于课内教材提供的数学课程内容，在学习时积累的间接经验；也包括课外主动面对社会生活，在解决实际问题时发展的直接经验。学生学习了新知后，教师要有整体谋划意识，让学生在大背景下活学活用，编织出更为广阔的知识网络。
（一）变式延伸“间接经验”，沟通知识联系
小学数学学习内容可划分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域，这些领域下面又划分出各知识板块，而每个知识板块都要经过若干课时的学习。知识和知识之间并不是孤立存在的，而是相互之间有着千丝万缕的联系。通过变式延伸，可以唤起不同领域、不同板块、不同课时学习时的相关经验，沟通知识之间的彼此联系。
以延伸图形变换的学习经验为例，该经验可以促进学生对“图形与几何”其他板块的学习：在“图形的认识”中可以从“动态”的角度，运用对称变换和旋转变换进一步认识图形特征，如“圆是轴对称图形，有无数条对称轴”，“长方形以长或宽为轴旋转成圆柱”等；在“图形的测量”中有时可以运用平移、旋转变换来灵活解决一些较复杂的周长、面积计算；在“图形与位置”中，也有将图形置于直角坐标系中，研究变换前后图形的位置关系，进一步感受数对的变化特点。又如，解决教材中“乘车限载”这样的综合问题（如图4），不仅要掌握“数与代数”领域的除法计算，还要同时考虑“数学广角”中的统筹安排等。
图4
（二）引导拓展“直接经验”，增强知识应用
“综合与实践”为学生走出课堂，亲身去做数学、学数学、理解数学，提供了契机。教师可以用“任务驱动”的形式合理重组教材内容，从课内引导逐步过渡到课外拓展，保证学生充分的探究时间和空间，让学生选择自己感兴趣的主题，开展同类任务研究，增强一类问题的解决经验。
例如，在四年级上教材的单元学习后，笔者以“明明”为主人公，设计了一系列活动，形成一份具有连贯性、丰富的活动菜单。如果说课内任务是“压缩的精华”，那么课外任务就是“释放的精彩”，一周的探索时间，能让学生更加充分地经历问题解决的过程，获得丰富的直接经验。下表列举了其中部分单元的内容。
单元 课内共同研究任务 课外自主选择任务
四单元 估计学校图书室藏书量 估计学校学生人数
估计新华书店二楼的藏书量
估计游泳馆的座位数量
估计地下车库车的数量……
五单元 有趣的七巧板拼图形 用七巧板设计蝎子
用七巧板设计房子
用七巧板设计小船
用七巧板拼蝴蝶……
六单元 合理设计秋游租车方案 合理设计西湖租船方案
合理设计购买公园门票方案
合理设计银泰购物方案
合理设计必胜客下午茶方案……
七单元 你选择怎样的新年祝福？ 你用什么交通工具上班？
你是怎样使用废水的？
你垃圾分类了吗？
你一周节约多少纸张？……
巧妙地利用学生已有的生活、学习经验来促进其对数学新知的理解与运用，从而促发新经验的生成，这无论是对教师的教学，还是对学生的学习，都能起到事半功倍的效果，从而构建起数学的“活”力课堂。
（浙江省杭州市西溪实验学校 310000）
一、激活“日常生活经验”，把握知识起点
现代社会信息丰富，各种各样的生活现象进入学生的认知领域，成为了他们的日常生活经验，并作为他们数学学习经验的一部分，构成学习新知前的“数学现实”。学生的生活经验就像火把，需要教师去点燃、激活，准确把握数学知识学习的起点。
（一）顺势调用“正确经验”，促进新知生成
生活经验能够帮助学生理解和内化知识。教师在充分了解学生经验的基础上，可以创设学生熟悉的生活情境，促使他们在学习的过程中自然调用生活经验，并在教师引导下，从形象逐渐趋于抽象，促进新知生成。
例如，一年级上“11～20各数的认识”的教学重点是“计数单位十”的建立。传统的教学是通过学生自己数小棒，掌握10进制的摆法，从而引入新知。但笔者在课堂中观察发现，全班只有一名学生出现了10进制的摆法，并且得不到大家的认同，而在教师引导10根扎成一捆后，在巩固环节中还是有学生将11根扎成一捆。这说明，传统教学没有将“计数单位十”与学生的生活经验发生关联，学生还只是表面上的接受，没有很好地深入理解。再次教学该课时，笔者在上课伊始创设了低年级儿童喜爱的“到喜羊羊杂货铺买东西”的生活情境，选取了“香肠、餐巾纸、牛奶、铅笔”等生活中经常是10个一包装的材料，唤醒学生“计数单位十”的生活原型（如图1）。经过一次次的“买卖”，让学生在感性描述中逐步感受到计数单位“十”建立的必要性；尤其是“铅笔”和教材上的小棒更是有异曲同工之处，在帮助喜羊羊整理铅笔的过程中，学生就会不自觉地将10支扎成一捆了。
图1
（二）主动调整“错误经验”，激发学习内需
有时生活经验的模糊和不够准确，也会为数学学习制造“障碍”，形成对知识的错误解读。面对错误的生活经验，教师不能简单回避，也不能强制取代，而应该通过制造矛盾冲突，来激发学生的学习内需，经历原有经验向数学新知不断调整和发展的过程，让学生的认知从模糊逐渐走向清晰。
例如，五年级下”轴对称”的教学难点是进一步认识“两个图形成轴对称”。笔者通过课前调查发现，学生在生活中经常看到的是一个图形的轴对称图形，例如窗花、面具等等；而对于轴对称的另一种形式——两个图形形成轴对称则并不认可。面对学生对“轴对称”的片面解读，笔者借助多媒体课件的动态演示，将人教版教材提供的一个图形的轴对称图形“松树”，按对称轴的两边拉开（如图2），凸显认知矛盾“一个图形变成两个图形了，它们还是轴对称吗？”“再拉开呢？”激发学生不断地去辨析、思考，并通过课件演示沿着对称轴对折、重合验证猜测；接下来，将拉开的两部分再逐渐合拢，最后还原到原来的一个图形。学生在这一过程中将原有经验不断调整，理解了“轴对称可以是一个图形（轴对称图形），也可以是两个图形关于某条直线成轴对称”，并进一步感悟两者的联系，即如果把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看成两个图形，那么也就是两个图形关于这条直线成轴对称。
图2
二、盘活“数学活动经验”，构建知识体系
数学活动经验是指学生在学习数学知识过程中通过参与数学活动积累的经验，包括形成的感性知识、情绪体验和应用意识等等。教师应有意识地将这些经验进行资源整合，通过提炼和提升及时调整运作，帮助学生建构起较为规范和系统的数学知识体系。
（一）类比打通“显性经验”，抓住数学本质
在操作层面的数学活动中，让学生获得显性经验，即学生个人意义的过程性知识，也包括学生大脑中那些未经训练的、不那么严密的数学知识。教师可以通过类比的方法来打通学生的思路，从直观的显性经验中提炼出抽象的数学本质。
例如，在五年级下“真分数、假分数”的教学中，因为教材没有很好地呈现假分数产生的过程，学生难以从本质上理解“假分数的意义”，学习后许多学生仍心存疑惑：平均分成4份，怎么可以取出5份呢？为此，教师通过教材重组，设计了“分饼”的操作活动（如图3），让学生用除法算式表示分饼的过程，用分数表示分饼的结果，使学生经历假分数直观产生的过程，有了显性经验的丰富积累。教师引导学生进一步观察算式，从1个到2个、3个、4个、5个就产生了；再以此类推，6个就产生了，7个就产生了……N个是；最终提炼出真分数和假分数都是分数单位不断累加的结果。
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（二）对比贯穿“隐性经验”，建立数学模型
在思维层面的数学活动中，学生还获得了隐形经验，即获得的成功体验，对数学严谨性和美的感受，应用数学解决问题的策略和数学的思想方法，以及拓展知识应用领域的创新意识等等。教师可以通过对比的方法来贯穿学生的思考，将内在的隐形经验提升为外在的数学模型。
例如，在四年级下“植树问题”的教学中，需要理解三种不同类型的植树情况，即“两端都种”“只种一端”“两端都不种”，造成学生记忆负担较重，往往掌握不够理想。笔者思考，如果将这三种类型都罗列在表格中，进一步挖掘其中蕴含的隐形经验，能否上升为一种更具有普遍意义的数学模型，从而帮助学生更好地解决问题呢？笔者先将不同道路长度的种植情况记录在表格里（见下表所示）：
如道路长度为15米，每隔5米种一棵树，可能是种4棵、3棵、也可能是2棵，算式是15÷5=3。接着，借助表格，先引导学生横向对比思考，不同的道路长度的种植情况，有没有共同点？学生发现，它们都有三种不同的棵数，都运用了数量关系“总数（道路长度）÷每份数（间隔长度）=份数（间隔数）”来解决问题。再引导学生纵向对比思考，为什么对结果的处理，有时候棵数是“商 1”，有时候棵数是“商-1”，而有时候棵数就是“商”？学生结合图形，体会“一一对应”的数学思想。将植树问题较复杂的数学模型还原成最基本的数学模型，即除法模型；三种不同类型，就是根据实际情况对商的处理。以此帮助学生更好地建构知识体系。 三、用活“学科综合经验”，编织知识网络
学科综合经验来自于课内教材提供的数学课程内容，在学习时积累的间接经验；也包括课外主动面对社会生活，在解决实际问题时发展的直接经验。学生学习了新知后，教师要有整体谋划意识，让学生在大背景下活学活用，编织出更为广阔的知识网络。
（一）变式延伸“间接经验”，沟通知识联系
小学数学学习内容可划分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域，这些领域下面又划分出各知识板块，而每个知识板块都要经过若干课时的学习。知识和知识之间并不是孤立存在的，而是相互之间有着千丝万缕的联系。通过变式延伸，可以唤起不同领域、不同板块、不同课时学习时的相关经验，沟通知识之间的彼此联系。
以延伸图形变换的学习经验为例，该经验可以促进学生对“图形与几何”其他板块的学习：在“图形的认识”中可以从“动态”的角度，运用对称变换和旋转变换进一步认识图形特征，如“圆是轴对称图形，有无数条对称轴”，“长方形以长或宽为轴旋转成圆柱”等；在“图形的测量”中有时可以运用平移、旋转变换来灵活解决一些较复杂的周长、面积计算；在“图形与位置”中，也有将图形置于直角坐标系中，研究变换前后图形的位置关系，进一步感受数对的变化特点。又如，解决教材中“乘车限载”这样的综合问题（如图4），不仅要掌握“数与代数”领域的除法计算，还要同时考虑“数学广角”中的统筹安排等。
图4
（二）引导拓展“直接经验”，增强知识应用
“综合与实践”为学生走出课堂，亲身去做数学、学数学、理解数学，提供了契机。教师可以用“任务驱动”的形式合理重组教材内容，从课内引导逐步过渡到课外拓展，保证学生充分的探究时间和空间，让学生选择自己感兴趣的主题，开展同类任务研究，增强一类问题的解决经验。
例如，在四年级上教材的单元学习后，笔者以“明明”为主人公，设计了一系列活动，形成一份具有连贯性、丰富的活动菜单。如果说课内任务是“压缩的精华”，那么课外任务就是“释放的精彩”，一周的探索时间，能让学生更加充分地经历问题解决的过程，获得丰富的直接经验。下表列举了其中部分单元的内容。
单元 课内共同研究任务 课外自主选择任务
四单元 估计学校图书室藏书量 估计学校学生人数
估计新华书店二楼的藏书量
估计游泳馆的座位数量
估计地下车库车的数量……
五单元 有趣的七巧板拼图形 用七巧板设计蝎子
用七巧板设计房子
用七巧板设计小船
用七巧板拼蝴蝶……
六单元 合理设计秋游租车方案 合理设计西湖租船方案
合理设计购买公园门票方案
合理设计银泰购物方案
合理设计必胜客下午茶方案……
七单元 你选择怎样的新年祝福？ 你用什么交通工具上班？
你是怎样使用废水的？
你垃圾分类了吗？
你一周节约多少纸张？……
巧妙地利用学生已有的生活、学习经验来促进其对数学新知的理解与运用，从而促发新经验的生成，这无论是对教师的教学，还是对学生的学习，都能起到事半功倍的效果，从而构建起数学的“活”力课堂。
（浙江省杭州市西溪实验学校 310000）