“3、4、5”是人们最熟悉的一组勾股数。早在西汉时期，在中华民族编写的天文历算著作《骨髀算经》一书中，我们的祖先就掌握了这组数的关系。因为，若存在三个连续自然数，可以分别表示直角三角形三边的长度，那么：由n2 +（n+1）2=(n+2)2 ,得（n-3）（n＋1）=0，又因为n为自然数，所以这样的勾股数数组有且仅有３、４、５这一组。
　　为表达方便，我们不妨将32+42=52记为（3，4//5），虽然再也找不到其他三个连续的自然数可表示成这一形式，但是，“10、11、12、13、14”这五个连续的自然数显然可以满足： 102+112+122=132+142，如果仍将这五个数记为（10，11，12，//13，14），那么在茫茫自然数的海洋里，还存在着多少个具有这种性质的数组呢？
　　猜想：对于每一个确定的自然数n，一定唯一存在（2n+1）个连续自然数a1，a2，…a2n+1 组成的一组数组，满足a21+ a22 +…+a2n+1 = a2n+2 + a2n+3 +…+a22n+1 。其中，a1=（2n2+n），a2 =（2n2+n+1）……a2n+1=（2n2+3n）。
　　证明：设m、n是两自然数，且m>n,那么（m-n），（m-n+1），…（m-1），m，（m+1），…（m+n）是（2n+1）个连续自然数。
　　其中前（n+1）个连续自然数的平方和为：（m-n）2 +（m-n+1）2 +（m-n+2）2+…+（m-1）2 +m2 =（n+1）m2-n（n+1）m+〔n(n+1)(2n+1)〕／６┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（1）
　　后n个连续自然数的平方和为:
　　（m+1）2 +（m+2）2 +（m+3）2+…+（m+n-1）2 （m+n）2=nm2+n（n+1）m+〔n(n+1)(2n+1) 〕／６┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2）
　　若令（1）、（2）两式相等，可得m=2n（n+1）。显见，当n是某一个确定的自然数时，m亦被唯一确定，所以数组（a1，a2， …an+1// an+2，an+3，…a2n+1）唯一存在，由m=2n（n+1）代入a1= m-n得: a1=（2n2+n），a2 =（2n2+n+1）……a2n+1=（2n2+3n）猜想得证。
　　现在我们可以看到３、４、５这一组数，原来是猜想中n=１的情况。根据上述证明，我们不难写出这样一串有趣的数组（分别令n=1,2,3…）:(3，4//5)、（10，11，12//13，14）、（21，22，23，24//25，26，27）、（36，37，38，39，40//41，42，43，44）、……、（（2n2+n），（2n2+n+1），…，（2n2+2n）//（2n2+2n+1），（2n2+2n+1），…，（2n2+3n））。
　　根据以上猜想的结论，每一位读者可以写出任意一组需要的有趣平方和数组了吧？比如年份题2007个连续自然数的平方和可分为前1004个连续自然数的平方和恰巧等于紧跟着的1003个连续自然数的平方和（令通式中n＝1003即可）,前面2009个连续自然数的平方和恰巧等于紧跟着的2008个（令通式中n＝2008即可）连续自然数的平方和等等！
　　同理，若将1+2=3记为（1，2|3），仿上述分析和证明可见:（4，5，6，|7，8）。（9，10，11，12|13，14，15），（16，17，18，19，20|21，22，23，24）……（n2，（n2+1），…，（n2+n）|（n2+n+1），（n2+n+2）…，（n2+2n））。
　　是否还存在若干个连续自然数，其中前一部分连续自然数的立方（或更高次方）之和，等于后一部分连续自然数的立方（或更高次方）之和呢？请读者自己考虑和探索，本文恕不赘述。
　　
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