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突破点1：对勾股定理及逆定理的再认识
例1 如图1，已知：在△ABC中，∠B=60°，AC
=70，AB=30. 求：BC的长.
【再认识】勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，它只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此解题中，常常需要构造适当的直角三角形.
【分析】本题中，考虑构造直角三角形. 由条件∠B=60°想到构造含30°角的直角三角形，为此作AD⊥BC于D，则有∠BAD=30°，BD=■AB=15，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解：作AD⊥BC于D.
∵∠B=60°，∴∠BAD=90°-60°=30°.
∴BD=■AB=15.
在直角△ABD中，根据勾股定理，
AD2=AB2-BD2=302-152=675.
在直角△ACD中，根据勾股定理，
CD2=AC2-AD2=702-675=4225，
则CD=65.
∴BC=BD+DC=15+65
=80.
【变式】已知：如图2，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=4，CD=2.
求：四边形ABCD的面积.
【分析】如何构造直角三角形是解本题的关键. 此题中，可以通过连接AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E来构造直角三角形，而结合本题给定角的条件应选后两种方法，再进一步根据本题给定边的条件选第三种方法较为简单.
例2 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=■AB，那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
【再认识】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，它通过三角形三边的数量关系来研究图形的位置关系. 解题时，需找到某两边的平方和等于第三边的平方，从而将数转化为形.
【分析】这道题中有许多隐藏条件，解题时要仔细读题，找出边之间的关系：由FB=■AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a，AF=3a，BF=a，再利用已有的直角三角形分别表示出△DEF的各边的平方，最后利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否直角三角形.
解：设BF=a，则BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a，在直角△BEF中，根据勾股定理，EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2.
在直角△CED中，根据勾股定理，
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.
在直角△ADF中，根据勾股定理，
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2，
∴DF2=EF2+DE2.
根据勾股定理的逆定理，∠DEF=90°.
∴△DEF是直角三角形.
【变式】已知：△ABC的三边分别为m2
-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m>n），判断△ABC是否为直角三角形.
【分析】本题是利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形，只要证明a2+b2=c2即可. 我们把能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，勾股数除了m2
-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m>n）这一组数外，还有n2-1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n为正整数）.
突破点2：对勾股定理及逆定理的再应用
例3 （1） 如图4，图（1）是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积.
（2） 现有一张长为6.5 cm、宽为2 cm的纸片，如图4（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.
（要求：先在图4（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）
【再应用】用面积法验证勾股定理是认识和理解勾股定理的重要手段，通过对图形的割补与拼接，加深对勾股定理的认识，提高解决问题的能力.
【分析】本题第（1）问关键在于找到直角三角形两直角边与小正方形边长间的关系，并且利用两直角边满足的条件得到正方形的面积. 第（2）问中的长方形面积为13，在割补拼接过程中面积不变，所以可借助图4（1）来寻找割补拼接的方法.
解：（1） 设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
则小正方形的边长为a-b.
根据题意，可得：a+b=5. ①
由勾股定理，可得：a2+b2=13. ②
①2-②得2ab=12.
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1.
∴所求的中间小正方形的面积为1.
（2） ∵长方形的面积为6.5×2=13（cm2），
∴要拼成的正方形的面积也等于13（cm2）.
所以可按照图4（1）制作.
由（1）知a+b=5，a-b=1，∴a=3，b=2.
根据题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纸片的长边上截取，截去四个直角三角形后，余下的面积恰为中间小正方形的面积.
于是，得到以下的分割拼接方法：
【变式】已知：如图5（1），长方形ABCD被分割成四部分，其中某些线段的长度如图所示，已知这四部分可以没有重叠、没有空隙地拼成一个正方形.
（1） 求出所拼得正方形的边长，并写出计算过程；
（2） 保持五边形DEFGH的位置不动，在图5（2）中用虚线补全拼接后得到的正方形，并标出图中所有线段的长（在不添加新线段的条件下）.
【分析】（1） 根据在拼接过程中面积保持不变可知，所拼得正方形的面积与矩形ABCD的面积相等. 在图5（1）中分别利用勾股定理在Rt△ABG和Rt△CGH中求出AB、CG的长度，从而求出矩形ABCD的面积.
（2） 由（1）可知，拼接后得到的正方形边长为12，应以DE为一边拼接.
例1 如图1，已知：在△ABC中，∠B=60°，AC
=70，AB=30. 求：BC的长.
【再认识】勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，它只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此解题中，常常需要构造适当的直角三角形.
【分析】本题中，考虑构造直角三角形. 由条件∠B=60°想到构造含30°角的直角三角形，为此作AD⊥BC于D，则有∠BAD=30°，BD=■AB=15，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解：作AD⊥BC于D.
∵∠B=60°，∴∠BAD=90°-60°=30°.
∴BD=■AB=15.
在直角△ABD中，根据勾股定理，
AD2=AB2-BD2=302-152=675.
在直角△ACD中，根据勾股定理，
CD2=AC2-AD2=702-675=4225，
则CD=65.
∴BC=BD+DC=15+65
=80.
【变式】已知：如图2，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=4，CD=2.
求：四边形ABCD的面积.
【分析】如何构造直角三角形是解本题的关键. 此题中，可以通过连接AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E来构造直角三角形，而结合本题给定角的条件应选后两种方法，再进一步根据本题给定边的条件选第三种方法较为简单.
例2 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=■AB，那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
【再认识】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，它通过三角形三边的数量关系来研究图形的位置关系. 解题时，需找到某两边的平方和等于第三边的平方，从而将数转化为形.
【分析】这道题中有许多隐藏条件，解题时要仔细读题，找出边之间的关系：由FB=■AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a，AF=3a，BF=a，再利用已有的直角三角形分别表示出△DEF的各边的平方，最后利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否直角三角形.
解：设BF=a，则BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a，在直角△BEF中，根据勾股定理，EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2.
在直角△CED中，根据勾股定理，
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.
在直角△ADF中，根据勾股定理，
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2，
∴DF2=EF2+DE2.
根据勾股定理的逆定理，∠DEF=90°.
∴△DEF是直角三角形.
【变式】已知：△ABC的三边分别为m2
-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m>n），判断△ABC是否为直角三角形.
【分析】本题是利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形，只要证明a2+b2=c2即可. 我们把能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，勾股数除了m2
-n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m>n）这一组数外，还有n2-1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n为正整数）.
突破点2：对勾股定理及逆定理的再应用
例3 （1） 如图4，图（1）是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积.
（2） 现有一张长为6.5 cm、宽为2 cm的纸片，如图4（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.
（要求：先在图4（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）
【再应用】用面积法验证勾股定理是认识和理解勾股定理的重要手段，通过对图形的割补与拼接，加深对勾股定理的认识，提高解决问题的能力.
【分析】本题第（1）问关键在于找到直角三角形两直角边与小正方形边长间的关系，并且利用两直角边满足的条件得到正方形的面积. 第（2）问中的长方形面积为13，在割补拼接过程中面积不变，所以可借助图4（1）来寻找割补拼接的方法.
解：（1） 设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
则小正方形的边长为a-b.
根据题意，可得：a+b=5. ①
由勾股定理，可得：a2+b2=13. ②
①2-②得2ab=12.
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1.
∴所求的中间小正方形的面积为1.
（2） ∵长方形的面积为6.5×2=13（cm2），
∴要拼成的正方形的面积也等于13（cm2）.
所以可按照图4（1）制作.
由（1）知a+b=5，a-b=1，∴a=3，b=2.
根据题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纸片的长边上截取，截去四个直角三角形后，余下的面积恰为中间小正方形的面积.
于是，得到以下的分割拼接方法：
【变式】已知：如图5（1），长方形ABCD被分割成四部分，其中某些线段的长度如图所示，已知这四部分可以没有重叠、没有空隙地拼成一个正方形.
（1） 求出所拼得正方形的边长，并写出计算过程；
（2） 保持五边形DEFGH的位置不动，在图5（2）中用虚线补全拼接后得到的正方形，并标出图中所有线段的长（在不添加新线段的条件下）.
【分析】（1） 根据在拼接过程中面积保持不变可知，所拼得正方形的面积与矩形ABCD的面积相等. 在图5（1）中分别利用勾股定理在Rt△ABG和Rt△CGH中求出AB、CG的长度，从而求出矩形ABCD的面积.
（2） 由（1）可知，拼接后得到的正方形边长为12，应以DE为一边拼接.