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【摘要】本文通过《数学分析》级数敛散性判定教学事例,一题多解,激发学生的思维空间扩大﹑发展。
【关键词】解题依据；深入剖析；用心思考；分析；归纳；总结
如何把学习过程与知识技能的掌握统一起来，是每个教师应做的事情。知识的掌握应由被动接受到主动探究。建构自己的知识结构。本节课是《数学分析》（下册）复习级数收敛判定方法的一个片断案例。通过一题多解激发学生思维，使学生的思维空间扩大、发展。
1.教学过程
1.1提出问题
“准确理解基本概念、深入掌握基本理论”是学好数学的基础。
在充分复习的基础上，再适当精心做题。所谓适当，就是数量上要适当，我不赞成盲目地、大量地做题，每种类型做一两个就可以了，“与其伤其十指，不如断其一指。”我觉得在做数学题时，也应“与其泛泛做十道题，不如深入解剖一两道题，争取彻底掌握这一类型的题。”
怎样才能彻底掌握？怎样才是精心做题？我提倡在做题时要“多分析、多思考、多归纳、多总结。”每当做完一题不要以为大功告成，可以就此搁笔了，因为“会做”并不等于“掌握”，要分析题有哪几个知识点，考哪个概念或定理。分析当初解题过程中每一个主要步骤的依据是什么，分析本题的难点在哪儿。特别要分析当初不会做时，主要原因是什么。是某个定理的条件与结论没有挂上钩？还是这两个概念实际上是等价的，你还没掌握？抑或是某种技巧没能熟练掌握？通过思考本题的求解过程，你对原先掌握的概念又有什么新的体会？思考若本题的条件作了某些变动又会得到什么样的结果。归纳与本题同类型的题其一般解题过程、解题技巧或解题方法，总结求解这类题型的一般规律是什么，总结通过本题的解题过程你又可获得什么新的信息等等。
1.2举例说明
为使同学们有感性认识，现具体举例说明：
问题1判断级数是否收敛
学生1设级数的前n项部分和为Sn,则
Sn=++…=1-+-+…+-=1-
∴Sn=1=S由定义知级数收敛
很多同学做到这里就此搁笔。但是我们可以进一步做如下分析、思考、归纳与总结。
1.2.1本题的知识点有三个：
（1）级数收敛的定义：若级数的n项部分和Sn有极限，则级数收敛。
（2）求数列 的前n项的和Sn，这是本题材求解过程的一个技巧点。
（3）求极限Sn。
1.2.2我们可进一步思考：这道题求Sn为何用拆项相消法求和，因为它即不是等差数列也不是等比数例。
1.2.3再进一步思考：因为ɑn=的分母两数相差1。
∴ɑn=-
通过推理演算：
=(-),…，=(-)
这样就可简化计算Sn
1.3进一步思考：改变本题的条件又如何解呢？
问题2 判断级数是否收敛？
求和的方法与问题1是一致的，在学生解题过程中，教师巡视,了解有部分学生认为第2题与问题1一样，在消项后只剩下首末两项，结果出现如下错误。
学生2
Sn
++…+
=（1-+-+…+-）
=（1-）
∴Sn=级数收敛
教师：好！同学们通过拆项相消法求数列前n项的和Sn。容易出现这样的错误，就这个问题，大家能找到问题的解决方法吗？
学生3在拆项过程中，开始和末尾可以多拆几项，同时应发现，开始剩几个“正项”，最后相应就剩几个“负项”。
如问题2中
Sn=（-+-+-+-+…+-+-）
=（1+--
Sn=
教师：好！看来大家都能用定义判断级数收敛，但是否注意到，用定义去求，要先求级数的前n项部分和是比较麻烦的。现在请大家回忆一下，结合自己掌握的，列出判断级数收敛的方法。
同学们兴奋起来，有的紧张思考，有的热烈讨论，不少同学都能归纳出正项级数与异号级数收敛的判定方法。
1.4进一步思考：问题1有其它解法吗？
学生思考、联系定理、进行解答、老师巡视、了解学生所用方法，在教师的提示下，解答有如下方法：
学生4设级数的前n项部分和为Sn，则
Sn=++…+=1-+-+…+-=1-
=1-＜1有上界。
由定理知级数收敛。
学生4（比较法）∵＜
而级数收敛，∴原级数收敛。
学生5 设un=，取vn=
∵=而级数收敛
∴原级数收敛。
学生6 对一切n>1有=＜＜1
∴由比式判别法，则级数收敛
学生7 ε＞0，由Sn+p-Sn=un+1-un+2+…+un+p
=++…+
=-+-+…+-
=-＜
因此对ε＞0，只需取N=，使得当n>N及任意自然数p,都有un+1-un+2+…+un+p＜＜ε
由柯西收敛准则知，级数收敛。
学生通过积极实践，一题多解、深化认识，思维得到拓展，这就是我们最大的收获。但任何方法都不是万能的，同学们只要大胆、敢于探索，只要我们不断尝试、总结、再尝试，成功一定属于你们。
2.教学反思
2.1通过对典型例题的深入剖析，掌握知识点，探索同类型的解题思维、解题方法，进而做到举一反三。因此，做题、练习一定要善于总结，大家瞧，我们通过做一道题，不仅分析了这个题的知识点、难点，还进一步归纳了判断级数收敛的多种方法。对定理的应用也掌握了。同时掌握了用定义、定理、比较原则、比式判断、柯西收敛准则等多种方法判断级数收敛。这样做题才可说是真正“会做了”、“掌握了”。这样的题有很多很多，关键是看我们能否在做完题后用心去思考、分析、归纳、总结。
2.2由于特定历史文化背景的影响，教学中的“灌输”仍有相当的市场，忽视了对学生主体意识的培养。教师应把重点转移到“学生如何学”上面来，这才能达到“教是为了不教”的境界。
2.3课堂教学有它的脉络、知识结构、学科知识体系是一种脉络，除了这个之外，还应有一个“兴趣的脉络”，让学生带着问题学习，在应用已有知识解决问题的过程中去分析、解决问题，再完善自己的知识结构。老师应放下架子，做一个配角，与学生一起去发现问题、解决问题，同步思维，更要注意分享学生每一次成功的喜悦。问题设置的层层递进、跌宕起伏，使学生自始至终地在兴奋、探究、创造交流的气氛中自主学习，最大限度地激发学生学习的兴趣，取得良好的学习效果。老师只有不断提高自身素质、精心创设问题情境，使学生上一课必有一得，才能让课堂充满学生成长的气息，让学生成为学习的真正主人。
【参考文献】
［１］数学分析，下册.华东师范大学数学系编.高等教育出版社．1985，4，第5次印刷．
［２］数学分析讲义，下册.刘玉琏等编.高等教育出版社．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】解题依据；深入剖析；用心思考；分析；归纳；总结
如何把学习过程与知识技能的掌握统一起来，是每个教师应做的事情。知识的掌握应由被动接受到主动探究。建构自己的知识结构。本节课是《数学分析》（下册）复习级数收敛判定方法的一个片断案例。通过一题多解激发学生思维，使学生的思维空间扩大、发展。
1.教学过程
1.1提出问题
“准确理解基本概念、深入掌握基本理论”是学好数学的基础。
在充分复习的基础上，再适当精心做题。所谓适当，就是数量上要适当，我不赞成盲目地、大量地做题，每种类型做一两个就可以了，“与其伤其十指，不如断其一指。”我觉得在做数学题时，也应“与其泛泛做十道题，不如深入解剖一两道题，争取彻底掌握这一类型的题。”
怎样才能彻底掌握？怎样才是精心做题？我提倡在做题时要“多分析、多思考、多归纳、多总结。”每当做完一题不要以为大功告成，可以就此搁笔了，因为“会做”并不等于“掌握”，要分析题有哪几个知识点，考哪个概念或定理。分析当初解题过程中每一个主要步骤的依据是什么，分析本题的难点在哪儿。特别要分析当初不会做时，主要原因是什么。是某个定理的条件与结论没有挂上钩？还是这两个概念实际上是等价的，你还没掌握？抑或是某种技巧没能熟练掌握？通过思考本题的求解过程，你对原先掌握的概念又有什么新的体会？思考若本题的条件作了某些变动又会得到什么样的结果。归纳与本题同类型的题其一般解题过程、解题技巧或解题方法，总结求解这类题型的一般规律是什么，总结通过本题的解题过程你又可获得什么新的信息等等。
1.2举例说明
为使同学们有感性认识，现具体举例说明：
问题1判断级数是否收敛
学生1设级数的前n项部分和为Sn,则
Sn=++…=1-+-+…+-=1-
∴Sn=1=S由定义知级数收敛
很多同学做到这里就此搁笔。但是我们可以进一步做如下分析、思考、归纳与总结。
1.2.1本题的知识点有三个：
（1）级数收敛的定义：若级数的n项部分和Sn有极限，则级数收敛。
（2）求数列 的前n项的和Sn，这是本题材求解过程的一个技巧点。
（3）求极限Sn。
1.2.2我们可进一步思考：这道题求Sn为何用拆项相消法求和，因为它即不是等差数列也不是等比数例。
1.2.3再进一步思考：因为ɑn=的分母两数相差1。
∴ɑn=-
通过推理演算：
=(-),…，=(-)
这样就可简化计算Sn
1.3进一步思考：改变本题的条件又如何解呢？
问题2 判断级数是否收敛？
求和的方法与问题1是一致的，在学生解题过程中，教师巡视,了解有部分学生认为第2题与问题1一样，在消项后只剩下首末两项，结果出现如下错误。
学生2
Sn
++…+
=（1-+-+…+-）
=（1-）
∴Sn=级数收敛
教师：好！同学们通过拆项相消法求数列前n项的和Sn。容易出现这样的错误，就这个问题，大家能找到问题的解决方法吗？
学生3在拆项过程中，开始和末尾可以多拆几项，同时应发现，开始剩几个“正项”，最后相应就剩几个“负项”。
如问题2中
Sn=（-+-+-+-+…+-+-）
=（1+--
Sn=
教师：好！看来大家都能用定义判断级数收敛，但是否注意到，用定义去求，要先求级数的前n项部分和是比较麻烦的。现在请大家回忆一下，结合自己掌握的，列出判断级数收敛的方法。
同学们兴奋起来，有的紧张思考，有的热烈讨论，不少同学都能归纳出正项级数与异号级数收敛的判定方法。
1.4进一步思考：问题1有其它解法吗？
学生思考、联系定理、进行解答、老师巡视、了解学生所用方法，在教师的提示下，解答有如下方法：
学生4设级数的前n项部分和为Sn，则
Sn=++…+=1-+-+…+-=1-
=1-＜1有上界。
由定理知级数收敛。
学生4（比较法）∵＜
而级数收敛，∴原级数收敛。
学生5 设un=，取vn=
∵=而级数收敛
∴原级数收敛。
学生6 对一切n>1有=＜＜1
∴由比式判别法，则级数收敛
学生7 ε＞0，由Sn+p-Sn=un+1-un+2+…+un+p
=++…+
=-+-+…+-
=-＜
因此对ε＞0，只需取N=，使得当n>N及任意自然数p,都有un+1-un+2+…+un+p＜＜ε
由柯西收敛准则知，级数收敛。
学生通过积极实践，一题多解、深化认识，思维得到拓展，这就是我们最大的收获。但任何方法都不是万能的，同学们只要大胆、敢于探索，只要我们不断尝试、总结、再尝试，成功一定属于你们。
2.教学反思
2.1通过对典型例题的深入剖析，掌握知识点，探索同类型的解题思维、解题方法，进而做到举一反三。因此，做题、练习一定要善于总结，大家瞧，我们通过做一道题，不仅分析了这个题的知识点、难点，还进一步归纳了判断级数收敛的多种方法。对定理的应用也掌握了。同时掌握了用定义、定理、比较原则、比式判断、柯西收敛准则等多种方法判断级数收敛。这样做题才可说是真正“会做了”、“掌握了”。这样的题有很多很多，关键是看我们能否在做完题后用心去思考、分析、归纳、总结。
2.2由于特定历史文化背景的影响，教学中的“灌输”仍有相当的市场，忽视了对学生主体意识的培养。教师应把重点转移到“学生如何学”上面来，这才能达到“教是为了不教”的境界。
2.3课堂教学有它的脉络、知识结构、学科知识体系是一种脉络，除了这个之外，还应有一个“兴趣的脉络”，让学生带着问题学习，在应用已有知识解决问题的过程中去分析、解决问题，再完善自己的知识结构。老师应放下架子，做一个配角，与学生一起去发现问题、解决问题，同步思维，更要注意分享学生每一次成功的喜悦。问题设置的层层递进、跌宕起伏，使学生自始至终地在兴奋、探究、创造交流的气氛中自主学习，最大限度地激发学生学习的兴趣，取得良好的学习效果。老师只有不断提高自身素质、精心创设问题情境，使学生上一课必有一得，才能让课堂充满学生成长的气息，让学生成为学习的真正主人。
【参考文献】
［１］数学分析，下册.华东师范大学数学系编.高等教育出版社．1985，4，第5次印刷．
［２］数学分析讲义，下册.刘玉琏等编.高等教育出版社．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文