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[摘 要]进行高次方程的数值求解始终是数值运算领域重点研究问题之一，传统运算方法在实际求解时存在求解不完全的弊端，因此，需要加大对高次方程数值求解及天元术的研究。本文主要围绕高次方程数值求解及天元术等展开讨论，具体分析了基于并行计算的高次方程数值求解方法，通过采用稳定性分析和黄金分割法等运算方法，能保证高次方程的求解准确性。同时加大对天元术的研究，可提高其在方程求解上的适用性。
[关键词]高次方程；天元术；数值解法
中图分类号：TP3-4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）06-0006-01
前言：高次方程数值求解方法是我国数学研究重要内容及成果之一，在求解高次方程上有重要意义。由于高次方程普遍运用在工程计算和科研中，如气象预测、天然气勘探和航空航天等领域都有高次方程的运用，因此，有必要注重高次方程数值解法的研究及运用。另外，天元术作为表示高次方程的一种方法，该方法的出现为我国数学计算领域发展注入了活力，需要确保天元术在高次方程求解上的有效运用。
一、高次方程数值解法分析
（一）黄金分割法
相较于切线法和二分法等方程求解方法来讲，黄金分割法凭借其运算简单、收敛效率快等优势被普遍运用在优化计算中，并成为大部分数值求解算法的基础[1]。这一方法主要适用于一维函数数值求解中，不对函数可微性作出要求。黄金分割法计算思想为：当连续函数F（x）在某区间范围内有且仅有唯一实数根时，假设x1=a，x2=b。将x分别带入方程中，如果F（x1）=0或者F（x2）=0，说明x1、x2为需要求得的实数根。反之需要時进行函数值大小的比较，当F（x1）>F（x2）时，设定x1=b-0.618（b-a），从而得到新区间[x1，b]；如果F（x1） （二）并行计算
并行计算是运用效果较好的一种高次方程数值求解方法，为了保证求解结果具有较高精度，需要在实数范围内进行解的搜索过程，这一过程将涉及大量计算。为了解决计算过程中的数值存储问题，本文主要采取二维数组方式进行存储。搜索实数解过程中，要将参与迭代的数据进行分割处理，假设有P个进程参与并行计算，并且迭代的数据个数为m个，需要将得到的数据存储到二维数组中。在计算过程要运用到相邻数据块内其余数据，这时需要在数据块两端增加相应的数据空间，确保相邻数据块运算结果实现有效存储。实际计算时，首先对数组赋予一定数值，之后选用黄金分割法搜索实数解，上述计算过程需要从相邻数据块获取数据，同时应向相邻计算进程提供数据。当任一进程完成数据计算后，会将其安排到下一个区间内来搜索近似解，最终得到准确的计算结果。
（三）稳定性分析
假设函数F（x）在区间[a，b]范围内连续，并且F（a）和F（b）异号，则说明在开区间（a，b）范围内至少存在一点 ，使F（ ）=0。另外，如果函数F（x）在某一闭区间内连续，并且在相应的开区间内可导，说明在上述区间内，存在一点 ，使等式F（b）-F（a）=f（ ）（b-a）成立。假设某一函数F（x）=0具有多个实数解，并且在一定区间内可导，能确定其实数解对应区间范围。按照求导规范对高次方程F（x）进行求导时，一阶求导为零的点分别为x1，x2……，xj，将这些点称为驻点。相邻驻点带入函数中得到的函数值如果为异号，则说明在相邻两个驻点的区间范围内，必然存在实数解；而两驻点对应函数值为同号时，说明这一区间范围内不包括实数解。在实际求解高次方程时，可借助上述定理，得到准确的数值求解结果。
二、有关天元术的研究
（一）天元式表示法
天元术指的是利用文字“元”为未知数符号表达方程的一种方法，是数学计算领域改革发展的重要标志，天元术的出现和运用，为高次方程数值求解提供了有效途经，对数学计算领域整体发展有极大促进作用。在进行天元式表示法分析时，发现天元术需要包括以下两个内容：一是立天元一是某某，近似于当前假设某未知数为x；二是列出方程式，指的是根据已知条件，首先列出方程一边的天元多项式，之后列出与其等价的多项式，称之为同数，最后需要将两者进行如积相消，进而获得一个开方式，类似于现今的一元方程。利用天元式表示高次方程时，主要分元的使用和幂次高低等方面，如天元式最初使用阶段，其中天元多项式利用十九个“元”表示常数项以及未知数的不同幂次，之后将其简化为以“太”表示常数项的列方程方法，分别利用和天元及地元相对位置来表达未知数正次幂与负次幂。
随着天元术的发展，逐渐取消了地元，只利用汉字“太”来表示常数项，或者使用“元”标明未知数一次项，而其他参数的幂次主要“元”、“太”的位置有关。例如，在《测圆海镜》卷中的天元式 便是方程144x2+5184x+248832方程的表达式。有时不需要在天元式中标出“太”或“元”等字，根据高次方程各项系数来得到天元式，并进一步进行之后的高次方程数值求解运算。需要注意的是，天元式大多为单项式或多项式，大多数学著述将开方式称作天元式，并指出其即是一元方程，这种说法是不恰当的，通常来将，在天元术中，进行如积相消后，得到的开方式不使用“太”或者“元”来表示。
（二）天元式运算
天元式运算主要包括以下几种：一是天元式加减法，只将同类项系数进行加减计算便能得到预期计算结果；二是天元式乘法运算。当真数与天元式相乘时，只需要将真数与天元式中各项系数分别相乘即可；天元式与天元幂相乘时，需要将“元”字进行下移处理；当计算天元式与天元式相乘时，运算步骤相对繁琐，应从左行最下层开始，与右行全部相乘，得到第一次积，之后将左行倒数第二层，依次与右行各项系数相乘，得到第二次积，获得的数值需要与第一次积相加，并将计算结果递进一层。按照上述步骤进行乘法运算，乘法计算次数将由天元式层数决定，再次将各个积中相应幂次的系数相加起来，便能求得需要的乘积[2]。
三是在进行天元式除法计算时，与乘法运算方式类似。当天元式除以真数时，只需要将天元式中各项系数分别除以真数；在处理天元式除以天元幂，要将“元”字进行上移处理；而在计算天元式与天元式相除时，需要采取使分母暂时寄下的计算方法，将其转换为乘法计算形式。四是在开方式解法上，通常将解方程的方法称作是开发术，并随着时间推移，逐渐从开平方法发展到可开任意次方。运用在高次方程数值求解上的方法为增乘开方法，促使我国在解方程方面取得较好成就，当根据高次方程列出开方式后，进一步利用开方进行求解。
结论：
综上所述，并行运算在求解复杂高次方程上有一定优势，黄金分割法能有效降低运算难度，通过将两种运算方法相结合并应用在高次方程计算上，可在借助两种数值求解法优势的基础上，提高方程求解效率和准确性，是应用性较好的一种数值求解法。为了保证高次方程求解准确性，还需要运用天元术这一列方程方法，借助文字“元”来表示未知数符号，进一步为高次方程的求解提供基础条件。
参考文献：
[1]范云亮. 韦达高次方程数值解研究[D].西北大学，2016.
[2]郭书春.关于天元术的发展的几个问题[J].高等数学研究，2013，16（04）：120-127.
作者简介：
姓名：崔桂旗性别：男籍贯：山西省长治人学历：本科，就读于长治学院。
学生研究方向：数学史
[关键词]高次方程；天元术；数值解法
中图分类号：TP3-4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）06-0006-01
前言：高次方程数值求解方法是我国数学研究重要内容及成果之一，在求解高次方程上有重要意义。由于高次方程普遍运用在工程计算和科研中，如气象预测、天然气勘探和航空航天等领域都有高次方程的运用，因此，有必要注重高次方程数值解法的研究及运用。另外，天元术作为表示高次方程的一种方法，该方法的出现为我国数学计算领域发展注入了活力，需要确保天元术在高次方程求解上的有效运用。
一、高次方程数值解法分析
（一）黄金分割法
相较于切线法和二分法等方程求解方法来讲，黄金分割法凭借其运算简单、收敛效率快等优势被普遍运用在优化计算中，并成为大部分数值求解算法的基础[1]。这一方法主要适用于一维函数数值求解中，不对函数可微性作出要求。黄金分割法计算思想为：当连续函数F（x）在某区间范围内有且仅有唯一实数根时，假设x1=a，x2=b。将x分别带入方程中，如果F（x1）=0或者F（x2）=0，说明x1、x2为需要求得的实数根。反之需要時进行函数值大小的比较，当F（x1）>F（x2）时，设定x1=b-0.618（b-a），从而得到新区间[x1，b]；如果F（x1）
并行计算是运用效果较好的一种高次方程数值求解方法，为了保证求解结果具有较高精度，需要在实数范围内进行解的搜索过程，这一过程将涉及大量计算。为了解决计算过程中的数值存储问题，本文主要采取二维数组方式进行存储。搜索实数解过程中，要将参与迭代的数据进行分割处理，假设有P个进程参与并行计算，并且迭代的数据个数为m个，需要将得到的数据存储到二维数组中。在计算过程要运用到相邻数据块内其余数据，这时需要在数据块两端增加相应的数据空间，确保相邻数据块运算结果实现有效存储。实际计算时，首先对数组赋予一定数值，之后选用黄金分割法搜索实数解，上述计算过程需要从相邻数据块获取数据，同时应向相邻计算进程提供数据。当任一进程完成数据计算后，会将其安排到下一个区间内来搜索近似解，最终得到准确的计算结果。
（三）稳定性分析
假设函数F（x）在区间[a，b]范围内连续，并且F（a）和F（b）异号，则说明在开区间（a，b）范围内至少存在一点 ，使F（ ）=0。另外，如果函数F（x）在某一闭区间内连续，并且在相应的开区间内可导，说明在上述区间内，存在一点 ，使等式F（b）-F（a）=f（ ）（b-a）成立。假设某一函数F（x）=0具有多个实数解，并且在一定区间内可导，能确定其实数解对应区间范围。按照求导规范对高次方程F（x）进行求导时，一阶求导为零的点分别为x1，x2……，xj，将这些点称为驻点。相邻驻点带入函数中得到的函数值如果为异号，则说明在相邻两个驻点的区间范围内，必然存在实数解；而两驻点对应函数值为同号时，说明这一区间范围内不包括实数解。在实际求解高次方程时，可借助上述定理，得到准确的数值求解结果。
二、有关天元术的研究
（一）天元式表示法
天元术指的是利用文字“元”为未知数符号表达方程的一种方法，是数学计算领域改革发展的重要标志，天元术的出现和运用，为高次方程数值求解提供了有效途经，对数学计算领域整体发展有极大促进作用。在进行天元式表示法分析时，发现天元术需要包括以下两个内容：一是立天元一是某某，近似于当前假设某未知数为x；二是列出方程式，指的是根据已知条件，首先列出方程一边的天元多项式，之后列出与其等价的多项式，称之为同数，最后需要将两者进行如积相消，进而获得一个开方式，类似于现今的一元方程。利用天元式表示高次方程时，主要分元的使用和幂次高低等方面，如天元式最初使用阶段，其中天元多项式利用十九个“元”表示常数项以及未知数的不同幂次，之后将其简化为以“太”表示常数项的列方程方法，分别利用和天元及地元相对位置来表达未知数正次幂与负次幂。
随着天元术的发展，逐渐取消了地元，只利用汉字“太”来表示常数项，或者使用“元”标明未知数一次项，而其他参数的幂次主要“元”、“太”的位置有关。例如，在《测圆海镜》卷中的天元式 便是方程144x2+5184x+248832方程的表达式。有时不需要在天元式中标出“太”或“元”等字，根据高次方程各项系数来得到天元式，并进一步进行之后的高次方程数值求解运算。需要注意的是，天元式大多为单项式或多项式，大多数学著述将开方式称作天元式，并指出其即是一元方程，这种说法是不恰当的，通常来将，在天元术中，进行如积相消后，得到的开方式不使用“太”或者“元”来表示。
（二）天元式运算
天元式运算主要包括以下几种：一是天元式加减法，只将同类项系数进行加减计算便能得到预期计算结果；二是天元式乘法运算。当真数与天元式相乘时，只需要将真数与天元式中各项系数分别相乘即可；天元式与天元幂相乘时，需要将“元”字进行下移处理；当计算天元式与天元式相乘时，运算步骤相对繁琐，应从左行最下层开始，与右行全部相乘，得到第一次积，之后将左行倒数第二层，依次与右行各项系数相乘，得到第二次积，获得的数值需要与第一次积相加，并将计算结果递进一层。按照上述步骤进行乘法运算，乘法计算次数将由天元式层数决定，再次将各个积中相应幂次的系数相加起来，便能求得需要的乘积[2]。
三是在进行天元式除法计算时，与乘法运算方式类似。当天元式除以真数时，只需要将天元式中各项系数分别除以真数；在处理天元式除以天元幂，要将“元”字进行上移处理；而在计算天元式与天元式相除时，需要采取使分母暂时寄下的计算方法，将其转换为乘法计算形式。四是在开方式解法上，通常将解方程的方法称作是开发术，并随着时间推移，逐渐从开平方法发展到可开任意次方。运用在高次方程数值求解上的方法为增乘开方法，促使我国在解方程方面取得较好成就，当根据高次方程列出开方式后，进一步利用开方进行求解。
结论：
综上所述，并行运算在求解复杂高次方程上有一定优势，黄金分割法能有效降低运算难度，通过将两种运算方法相结合并应用在高次方程计算上，可在借助两种数值求解法优势的基础上，提高方程求解效率和准确性，是应用性较好的一种数值求解法。为了保证高次方程求解准确性，还需要运用天元术这一列方程方法，借助文字“元”来表示未知数符号，进一步为高次方程的求解提供基础条件。
参考文献：
[1]范云亮. 韦达高次方程数值解研究[D].西北大学，2016.
[2]郭书春.关于天元术的发展的几个问题[J].高等数学研究，2013，16（04）：120-127.
作者简介：
姓名：崔桂旗性别：男籍贯：山西省长治人学历：本科，就读于长治学院。
学生研究方向：数学史