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数学思想方法的教学是全面落实数学基础知识教学的需要。目前，苏科版数学八年级的数学中出现了一次函数，不少学生就一次函数的应用困惑不少，针对这种现象，下面谈谈几种数学思想方法的理解和应用。
一、数形结合思想
数形结合思想是指将数（量）与形（图）结合起来，分析研究并解决问题的一种思维策略，利用平面直角坐标系，使平面上的点与有序数之间构成一一对应关系，直观形象，为分析问题和解决问题创造了有利条件。
例：某电信公司推广宽带网业务，用户通过宽带网可以享受影视欣赏、股市大户室等服务，其上网费用的收取方式有以下三种：
方案一：每月80元包月；
方案二：每月的上网时间x（h）与上网费用y（元）的函数关系如右图
方案三：以0小时为起点，每小时收取1.6元，月收费不超过120元。
设一用户上网时间为x（h），月上网总费用为y（元）。
（1）根据所给图形，写出方案二中y与x的函数关系式（0≤x≤100）；
（2）试写出方案三中y与x的函数关系式；
（3）试问：此用户每月上网60h，选用哪种方式上网费用最少？
分析：利用数形结合思想求解，根据图象可知函数是一个分段函数，当0≤x≤50时是一个常数函数，当50 解（1）当0≤x≤50时，y=58；当50 58=50k+b118=100k+b
解得k=，b=-2， 故y=x-2，
（2）y=1.6x
∵y≤120， ∴ 1.6x≤120，即x≤75，故x 的取值范围是0≤x≤75.
（3）当x=60时，方案一的上网费用为80元；
方案二的上网费用为×60-2=70（元）；
方案三的上网费用为1.6x=1.6×60=96（元）.
故选用方案二上网，费用最少。
二、分类讨论思想
分类讨论法思想也是一种重要的数学思想，它在初中数学解题中有着广泛的应用，近些年的中考中占有重要的位置，特别在解压轴题时起很重要的作用。
例：某果品公司1月份销售A、B两种水果，A水果的吨数不少于B水果吨数的3倍，A水果每吨的利润为2000元，B水果每吨的利润为3000元，总利润可达90000元。根据1月份的销售情况，2月份公司销售部门提出了三种调价方案：
方案一：A水果每吨利润降低20%，销售量增加50%；B水果每吨利润降低50%，销售量增加80%；
方案二：A水果每吨利润降低25%，销售量增加60%；B水果每吨利润降低40%，销售量增加60%；
方案三：A水果每吨利润降低40%，销售量增加80%；B水果每吨利润降低30%，销售量增加50%；
（1）设1月份销售A种水果x，B种水果y，求y与x的函数关系式（x>0，y>0），并求出自变量x的取值范围；
（2）果品公司2月份提供的三种销售方案都一定比1月份的利润多吗？请说明理由；
（3）如果你是某公司的总经理，从增加利润的目标出发，你会选择哪一种方案？
分析：方案设计是一次函数的综合应用，在解答过程中，应对几种方案进行分类讨论以免漏解.
解（1）2000x+3000y=90000，y=30-x（30≤x<45），
（2）W1=2400x+2700y， W2=2400x+2880y， W3=2160x+3150y，
显然，W3>2000x+3000y=90000，故方案三能增加利润；
W1=2400x+2700×（30-x）=600x+81000，又30≤x<45，
所以W1的最小值为600×30+81000>90000，故方案一也能增加利润.
因为W2>W1，所以三种方案的利润均能比1月份多.
（3）因为W2>W1，故只须比较W2与W3的大小，
W2-W3=240x-270y=240x-270×（30-x）=420x-8100， 又30≤x<45，
所以W2>W3，故应选择方案二。
三、转化思想
数学解题的本质就是转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把一个综合问题转化为几个基本问题。
例：甲、乙两人行走的路程与时间的函数关系分别是正比例函数和一次函数，其图象如图所示，根据图象回答：
（1）甲、乙两人行走的路程s（千米）与时间t（时）的函数关系式；
（2）甲、乙两人的速度各是多少？
（3）谁晚出发，经过几小时可以追上？
解（1）设甲的函数关系式为s1=k1t.
由图可知，点P（5，20）在图象上，
∴20=5k1， k1=4，
∴s1=4t（0≤t≤5）.
乙的图象过点Q（1，0），P（5，20），设乙的函数关系式为s2=k2t+b.由待定系数法可求出k2=5，b=-5，∴s2=5t-5（0≤t≤5）.
（2）甲的速度为=4（千米/时），乙的速度为=5（千米/时）.
（3）乙比甲晚出发，经过4小时追上甲。
通过以上几个例题的分析，要使学生真正理解并掌握重要的数学思想方法，需在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学中，学生对数学思想方法的认识会日趋成熟。
一、数形结合思想
数形结合思想是指将数（量）与形（图）结合起来，分析研究并解决问题的一种思维策略，利用平面直角坐标系，使平面上的点与有序数之间构成一一对应关系，直观形象，为分析问题和解决问题创造了有利条件。
例：某电信公司推广宽带网业务，用户通过宽带网可以享受影视欣赏、股市大户室等服务，其上网费用的收取方式有以下三种：
方案一：每月80元包月；
方案二：每月的上网时间x（h）与上网费用y（元）的函数关系如右图
方案三：以0小时为起点，每小时收取1.6元，月收费不超过120元。
设一用户上网时间为x（h），月上网总费用为y（元）。
（1）根据所给图形，写出方案二中y与x的函数关系式（0≤x≤100）；
（2）试写出方案三中y与x的函数关系式；
（3）试问：此用户每月上网60h，选用哪种方式上网费用最少？
分析：利用数形结合思想求解，根据图象可知函数是一个分段函数，当0≤x≤50时是一个常数函数，当50
解得k=，b=-2， 故y=x-2，
（2）y=1.6x
∵y≤120， ∴ 1.6x≤120，即x≤75，故x 的取值范围是0≤x≤75.
（3）当x=60时，方案一的上网费用为80元；
方案二的上网费用为×60-2=70（元）；
方案三的上网费用为1.6x=1.6×60=96（元）.
故选用方案二上网，费用最少。
二、分类讨论思想
分类讨论法思想也是一种重要的数学思想，它在初中数学解题中有着广泛的应用，近些年的中考中占有重要的位置，特别在解压轴题时起很重要的作用。
例：某果品公司1月份销售A、B两种水果，A水果的吨数不少于B水果吨数的3倍，A水果每吨的利润为2000元，B水果每吨的利润为3000元，总利润可达90000元。根据1月份的销售情况，2月份公司销售部门提出了三种调价方案：
方案一：A水果每吨利润降低20%，销售量增加50%；B水果每吨利润降低50%，销售量增加80%；
方案二：A水果每吨利润降低25%，销售量增加60%；B水果每吨利润降低40%，销售量增加60%；
方案三：A水果每吨利润降低40%，销售量增加80%；B水果每吨利润降低30%，销售量增加50%；
（1）设1月份销售A种水果x，B种水果y，求y与x的函数关系式（x>0，y>0），并求出自变量x的取值范围；
（2）果品公司2月份提供的三种销售方案都一定比1月份的利润多吗？请说明理由；
（3）如果你是某公司的总经理，从增加利润的目标出发，你会选择哪一种方案？
分析：方案设计是一次函数的综合应用，在解答过程中，应对几种方案进行分类讨论以免漏解.
解（1）2000x+3000y=90000，y=30-x（30≤x<45），
（2）W1=2400x+2700y， W2=2400x+2880y， W3=2160x+3150y，
显然，W3>2000x+3000y=90000，故方案三能增加利润；
W1=2400x+2700×（30-x）=600x+81000，又30≤x<45，
所以W1的最小值为600×30+81000>90000，故方案一也能增加利润.
因为W2>W1，所以三种方案的利润均能比1月份多.
（3）因为W2>W1，故只须比较W2与W3的大小，
W2-W3=240x-270y=240x-270×（30-x）=420x-8100， 又30≤x<45，
所以W2>W3，故应选择方案二。
三、转化思想
数学解题的本质就是转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把一个综合问题转化为几个基本问题。
例：甲、乙两人行走的路程与时间的函数关系分别是正比例函数和一次函数，其图象如图所示，根据图象回答：
（1）甲、乙两人行走的路程s（千米）与时间t（时）的函数关系式；
（2）甲、乙两人的速度各是多少？
（3）谁晚出发，经过几小时可以追上？
解（1）设甲的函数关系式为s1=k1t.
由图可知，点P（5，20）在图象上，
∴20=5k1， k1=4，
∴s1=4t（0≤t≤5）.
乙的图象过点Q（1，0），P（5，20），设乙的函数关系式为s2=k2t+b.由待定系数法可求出k2=5，b=-5，∴s2=5t-5（0≤t≤5）.
（2）甲的速度为=4（千米/时），乙的速度为=5（千米/时）.
（3）乙比甲晚出发，经过4小时追上甲。
通过以上几个例题的分析，要使学生真正理解并掌握重要的数学思想方法，需在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学中，学生对数学思想方法的认识会日趋成熟。