【摘要】通过对等价无穷小量代换定理的条件以及结论的讨论,说明了如何正确而合理地运用等价无穷小量代换方法计算函数的极限。
　　【关键词】等价无穷小 替换 极限
　　【中图分类号】O344.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(b)-0212-02
　　
　　等价无穷小代換方法是求极限过程中最常用的方法之一,同时也是高等数学的重要知识点之一,但学生在应用此方法时往往会出现一些常见错误．本文对错误的根源进行了相应的理论分析,并对等价无穷小代换定理作了相应的推广,这对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义。
　　等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法。如果用来替换的无穷小选择恰当的话, 可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则:
　　定理1 设在自变量同一变化过程中的无穷小量且,, 且存在,则
　　证明:
　　
　　推论:设在自变量同一变化过程中的无穷小量且,,且存在,则
　　
　　证明:
　　,即由定理一可得结论。
　　这就是等价无穷小代换的基本定理。注意应用定理的条件:1)同一变化过程中的无穷小量2)3)存在
　　【注1】综上可知等价无穷小替换可用于积、商 形式极限计算
　　【注2】常用公式时,x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～～
　　1-cosx～
　　例一:求
　　解:
　　例二:计算
　　解1:=
　　显然解法中把sin视为等价无穷小,但当x趋于无穷大时sin均不是无穷小。应用等价无穷小求极限是注意是不是无穷小。
　　正确解法:
　　
　　利用有届函数与无穷小之积仍为无穷小。
　　例三:
　　解:由于,令u=x2。
　　原式=
　　注:代换过程中注意应用等量代换。例如时,可以化为,
　　～x-1
　　例四:求
　　解:原式
　　
　　对于例一、例三、例四如果采用其他解法,例如罗比打法则求解比利用等价无穷小代换使求解过程复杂得多。
　　【注1】:当遇到和差形式可以考虑化为乘积形式,根据定理一再代换。
　　【注2】:有些同学这样解
　　
　　这是错误的,因为tanx-sinx与x-x=0并不等价,即对于和差形式的式子引用等价无穷小代换时必须满足一定条件。下面我们看引理。
　　引理:若α～α′,β～β′
　　(1)若α与β不等价,即则α-β～α′-β′
　　(2)若α～β,即则式未必等价。
　　证明:(1)当c≠0时
　　
　　当c=0时
　　
　　当时
　　
　　(2)以例四为例,当x→0时,tanx与x等价,sinx与x等价,但tanx-sinx与x-x并不等价
　　定理二:若α～α′,β～β′
　　且lim′
　　存在则当Aα′±Bβ′≠0,Cα′±Dβ′≠0且存在,则有
　　lim=
　　定理二在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性,从而大大地简化了计算。但要注意条件“”,“Aα′±Bβ′≠0,Cα′±Dβ′≠0”的使用。
　　例五:求
　　解:
　　例六:求
　　解:
　　定理三:若α～α′,β～β′且=A,则
　　
　　证明:
　　
　　例七:求
　　解:
　　
　　所以原式
　　
　　例八:求
　　解:原式
　　
　　总之,恰当应用等价无穷小代换求极限,可以简化我们的求解过程,但同时要注意遵守上面的定理的条件。
　　
　　参考文献
　　[1] 重庆大学,天津大学,同济大学,浙江大学数学教研室主编.高等数学(上册)(第四版).高等教育出版社,2005年1版.
　　[2] 符世斌.幂指函数极限的一种简捷求法.高等数学研究,1999年第9期.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”