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案例展示
笔者在一堂高三的试卷讲评课中，讲到这样一道填空题：已知圆C∶x2+y2-6x-4y+10=0，直线l1∶y=mx，直线l2∶3x+2y+10=0，且l1截圆Ｃ所得弦的中点是P，l1，l2的交点是Ｑ，Ａ为原点，求｜ＡP｜·｜ＡＱ｜的值．
为了节省时间，我用投影仪直接出示了本题的两种解法，并略作简要讲解.
解法一：
由y=mxx2+y2-6x-4y+10=0，
得（1+m2）x2-（6+4m）x+10=0
讲解完此题，当我正准备转入下一道题目的讲解时，学生甲主动站起来说：“老师，我有一种更简单的解法.”此时我心里充满了矛盾，因我已讲了两种解法，况且解法二的计算量并不大，若让他说下去，我很可能完不成教学任务；若不让他说下去，他会很难堪，这显然打击了该生参与课堂探究、勇于展示自我的积极性.当然我可以灵活处理：“因时间关系，下课后我俩讨论吧.”但经迅速权衡利弊后，我还是当机立断，鼓励他说下去.他的叙述大致如下：
仔细观察圆心坐标与l2的方程后，竟意外地发现，这道题有一个隐含条件：AC⊥l2，因此延长CA交l2于E，又由垂径定理有CP⊥l1，因此有△ACP∽△AQE，则=，即AP·AQ=AC·AE，用两点间的距离公式与点到直线的距离公式，分别求得AC=，AE=，故AP·AQ=AC·AE=10.因此AP·AQ的值与l1的位置无关，只与圆C、l2及点A的位置有关．
他叙述完后，我说：“甲同学的解法几乎只用到初中所学的平面几何知识，的确简单，令人耳目一新.你能揭示出该法的关键点吗？大家可以相互探讨.”面对如此简捷的解法，学生们兴奋不已，场面异常热烈.
约两分钟后，学生乙说：“此解法的关键点是发现隐藏在数字背后的条件：AC⊥l2，即点A必须在过圆心C且垂直于l2的垂线段CE上（异于C、E）．”
我说：“乙同学一语道破本质，好！请大家继续探究：这个圆C的作用是什么？它是不是最本质的东西？”
又经过几分钟的研究探讨后，大家发现，这个圆C也不是最本质的东西，它只是保证了CP⊥l１．因此，此类题更为本质的叙述形式为:
已知定直线l１和l2外一定点C，过C作CE垂直l2于E，A是线段CE上一定点(异于C、E) ，过A的动直线l1与l2交于Q，过C作CP垂直l1于P，则｜ＡP｜·｜ＡQ｜为定值(该定值为｜ＡC｜·｜ＡＥ｜)．
讨论到这里，学生们惊叹不已：“啊！这么简单！”这纯粹是一道初二的平面几何题，连学过相似三角形知识的初二学生都会感到简单.
我及时总结道：“面对貌似繁难的题，我们不必慌张,也不应满足于比较繁冗的解法，而应沉下心来，细心探究，剥去其层层伪装，揭示其本质，最终可能会发现用最简单最基本的知识和方法也可解决它．正所谓: 删繁就简，归于平易．”
问题剖析
我通过以上的课内互动与探究，让学生们达到了对本题最本质的认识，在对比中加深了对几种解法的理解与掌握.同时，满足了学生想成为一个“发现者”的欲望，保护了学生主动探索的热情，这比多讲几个所谓“经典题”有价值得多.其实，耽误了的教学任务，只要适当调整教学进度，并不难补上.
开放的数学课堂应鼓励学生大胆质疑，为学生创设探究研讨、展示自我的机会与舞台，努力捕捉课堂中学生“灵光”闪现的瞬间.这样的机会若不及时抓住，稍纵即逝.我暗自庆幸，我当时在慌忙之中作了一个非常明智的决定.否则，将会掐灭学生创造性思维的火花，扼杀学生的创新精神，这完全与倡导创新与探究的新课程理念背道而驰.
延伸思考
转变学生的学习方式是新课程改革的重要目标，而学习方式的获取大多是由课堂教学模式决定的.那么，我们应追求怎样的数学课堂呢？我的回答是：我们应追求让学生心灵舒展、师生共融其中的数学课堂.
首先，教师要尊重学生的独特感悟，高度信任学生的能力与潜力.由于受以“灌输”为主的传统课堂的影响，目前教学中的“质疑与探究”形同虚设，仅仅是走过场.更主要的原因就在于一些教师驾驭课堂的能力不强，一怕教学任务完不成，二怕学生乱了套，不敢鼓励学生大胆质疑.再加上课堂上教师的随意点拨或点拨不到位，不能有效引导学生的思维方向.最根本的原因还是教师教育理念的落后，对学生的不信任，对自身能力的不自信.学生才是课堂的真正主人，我们要以学生为中心，引导学生主动地、富有个性地学习，鼓励学生求异、求新、敢想、善想，让学生畅所欲言地发表其独特体验与见解.我们要让每个学生拥有属于自己的发展空间，去发现、去思考、去观察、去动手、去创造，发挥出他们最大的潜能，教师只作适当的点拨和引导，以此点燃学生创新思维的火花.
其次，创设尽可能多的机会让学生去自主探究，应成为中学数学教师的自觉行为与追求.教师要改变过去那种把现成知识、解题过程及步骤直接呈现给学生的简单做法，应把课堂的重心由教师表演解题技巧转到引导学生自身操作上来，放手让学生去尝试探究，在探究的过程中，学生可能会遇到障碍与挫折，可能会白忙一场一无所获，这并不重要，重要的是让学生亲身参与到探究过程的每一个环节中去，初步感受并体验科学研究的艰辛与乐趣.
最后，师生共融课中.新课程理念下的数学课堂鼓励学生自主探究、合作交流、动手实践，在备课时教师要充分运用自己的教学智慧作出多种教学预设，在上课时教师应顺应学生需求不断调整自己的教学行为与方法，让自己真正融入课堂，与学生一起“生成”课堂.正如叶澜教授所说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的旅程．”因此，教案只是教学过程的一个蓝本，真正的课堂远比教案生动、丰富、精彩，即使我们课前作出了多种预设，也难以穷尽课堂上可能会出现的各种情况。
责任编辑罗峰
笔者在一堂高三的试卷讲评课中，讲到这样一道填空题：已知圆C∶x2+y2-6x-4y+10=0，直线l1∶y=mx，直线l2∶3x+2y+10=0，且l1截圆Ｃ所得弦的中点是P，l1，l2的交点是Ｑ，Ａ为原点，求｜ＡP｜·｜ＡＱ｜的值．
为了节省时间，我用投影仪直接出示了本题的两种解法，并略作简要讲解.
解法一：
由y=mxx2+y2-6x-4y+10=0，
得（1+m2）x2-（6+4m）x+10=0
讲解完此题，当我正准备转入下一道题目的讲解时，学生甲主动站起来说：“老师，我有一种更简单的解法.”此时我心里充满了矛盾，因我已讲了两种解法，况且解法二的计算量并不大，若让他说下去，我很可能完不成教学任务；若不让他说下去，他会很难堪，这显然打击了该生参与课堂探究、勇于展示自我的积极性.当然我可以灵活处理：“因时间关系，下课后我俩讨论吧.”但经迅速权衡利弊后，我还是当机立断，鼓励他说下去.他的叙述大致如下：
仔细观察圆心坐标与l2的方程后，竟意外地发现，这道题有一个隐含条件：AC⊥l2，因此延长CA交l2于E，又由垂径定理有CP⊥l1，因此有△ACP∽△AQE，则=，即AP·AQ=AC·AE，用两点间的距离公式与点到直线的距离公式，分别求得AC=，AE=，故AP·AQ=AC·AE=10.因此AP·AQ的值与l1的位置无关，只与圆C、l2及点A的位置有关．
他叙述完后，我说：“甲同学的解法几乎只用到初中所学的平面几何知识，的确简单，令人耳目一新.你能揭示出该法的关键点吗？大家可以相互探讨.”面对如此简捷的解法，学生们兴奋不已，场面异常热烈.
约两分钟后，学生乙说：“此解法的关键点是发现隐藏在数字背后的条件：AC⊥l2，即点A必须在过圆心C且垂直于l2的垂线段CE上（异于C、E）．”
我说：“乙同学一语道破本质，好！请大家继续探究：这个圆C的作用是什么？它是不是最本质的东西？”
又经过几分钟的研究探讨后，大家发现，这个圆C也不是最本质的东西，它只是保证了CP⊥l１．因此，此类题更为本质的叙述形式为:
已知定直线l１和l2外一定点C，过C作CE垂直l2于E，A是线段CE上一定点(异于C、E) ，过A的动直线l1与l2交于Q，过C作CP垂直l1于P，则｜ＡP｜·｜ＡQ｜为定值(该定值为｜ＡC｜·｜ＡＥ｜)．
讨论到这里，学生们惊叹不已：“啊！这么简单！”这纯粹是一道初二的平面几何题，连学过相似三角形知识的初二学生都会感到简单.
我及时总结道：“面对貌似繁难的题，我们不必慌张,也不应满足于比较繁冗的解法，而应沉下心来，细心探究，剥去其层层伪装，揭示其本质，最终可能会发现用最简单最基本的知识和方法也可解决它．正所谓: 删繁就简，归于平易．”
问题剖析
我通过以上的课内互动与探究，让学生们达到了对本题最本质的认识，在对比中加深了对几种解法的理解与掌握.同时，满足了学生想成为一个“发现者”的欲望，保护了学生主动探索的热情，这比多讲几个所谓“经典题”有价值得多.其实，耽误了的教学任务，只要适当调整教学进度，并不难补上.
开放的数学课堂应鼓励学生大胆质疑，为学生创设探究研讨、展示自我的机会与舞台，努力捕捉课堂中学生“灵光”闪现的瞬间.这样的机会若不及时抓住，稍纵即逝.我暗自庆幸，我当时在慌忙之中作了一个非常明智的决定.否则，将会掐灭学生创造性思维的火花，扼杀学生的创新精神，这完全与倡导创新与探究的新课程理念背道而驰.
延伸思考
转变学生的学习方式是新课程改革的重要目标，而学习方式的获取大多是由课堂教学模式决定的.那么，我们应追求怎样的数学课堂呢？我的回答是：我们应追求让学生心灵舒展、师生共融其中的数学课堂.
首先，教师要尊重学生的独特感悟，高度信任学生的能力与潜力.由于受以“灌输”为主的传统课堂的影响，目前教学中的“质疑与探究”形同虚设，仅仅是走过场.更主要的原因就在于一些教师驾驭课堂的能力不强，一怕教学任务完不成，二怕学生乱了套，不敢鼓励学生大胆质疑.再加上课堂上教师的随意点拨或点拨不到位，不能有效引导学生的思维方向.最根本的原因还是教师教育理念的落后，对学生的不信任，对自身能力的不自信.学生才是课堂的真正主人，我们要以学生为中心，引导学生主动地、富有个性地学习，鼓励学生求异、求新、敢想、善想，让学生畅所欲言地发表其独特体验与见解.我们要让每个学生拥有属于自己的发展空间，去发现、去思考、去观察、去动手、去创造，发挥出他们最大的潜能，教师只作适当的点拨和引导，以此点燃学生创新思维的火花.
其次，创设尽可能多的机会让学生去自主探究，应成为中学数学教师的自觉行为与追求.教师要改变过去那种把现成知识、解题过程及步骤直接呈现给学生的简单做法，应把课堂的重心由教师表演解题技巧转到引导学生自身操作上来，放手让学生去尝试探究，在探究的过程中，学生可能会遇到障碍与挫折，可能会白忙一场一无所获，这并不重要，重要的是让学生亲身参与到探究过程的每一个环节中去，初步感受并体验科学研究的艰辛与乐趣.
最后，师生共融课中.新课程理念下的数学课堂鼓励学生自主探究、合作交流、动手实践，在备课时教师要充分运用自己的教学智慧作出多种教学预设，在上课时教师应顺应学生需求不断调整自己的教学行为与方法，让自己真正融入课堂，与学生一起“生成”课堂.正如叶澜教授所说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的旅程．”因此，教案只是教学过程的一个蓝本，真正的课堂远比教案生动、丰富、精彩，即使我们课前作出了多种预设，也难以穷尽课堂上可能会出现的各种情况。
责任编辑罗峰