论文部分内容阅读
【摘要】在数学学习中，真正的难点不在于对具体知识的理解，而是知识脉络的梳理.习题作为思维启发和思维传递的重要载体，是构建数学思维的最重要的途径.本文以习题对比为核心，谈一谈这一教学方法对于训练学生数学思维能力的重要意义.
【关键词】习题对比;数学思维能力
一直以来，大家都将多做题作为收获成绩的重要途径，太过于关注做题的“量”，而忽略了题目的“质”及其暗含的数学思想.学生们越来越多的关注题目的答案是什么，而不是“如何对题目进行分析”，大家开始通过记忆的方式“积攒”做题的思路和方法，而不是寻找思路的本源从而将方法进行整合.很多学生在做题时，大多依靠“回忆”所带来的“直觉”，一旦无法搜寻到类似的记忆或出现了记忆缺失，考试成绩就会发生较大的波动.因此，笔者非常反对学生考试前几天学生熬夜看书、通宵复习，因为对数学考试的目的不是对记忆的考验，而是学生掌握数学思想和方法的程度的体现.
在提高学生做题“质量”的实践中，笔者特别强调“习题对比”的重要性.习题对比与习题练习不同，它将习题以某些共性为筛选依据，通过“习题系”的方式进行呈现，强调学生对于习题间联系和区别的对比和分析，并从中有所领悟，对抽象的知识有更加具体、全面、深入的了解.因此，本文中，笔者将通过对“习题对比”方法和实例的阐述，具体介绍“习题对比”在加深学生对新知的认知、进行知识整合、掌握数学解题技巧中的作用，从而展示这一方法对于促进学生数学思维能力提升的重要意义.
一、习题对比对加深新知认知的作用
在新知讲解的过程中，习题对比就是通过“习题系”呈现新知与旧知的对比，进而达到对新知更加深入、全面、系统的认知的目的.在具体操作时，笔者通常在“逻辑指导”和“经验指导”两种思维方式的共同作用下，进行习题系的确定.所谓“逻辑指导”，是指将知识进行拆分，确定可能造成学生思维难度的观察角度，并与可用的知识进行对比出题;所谓“经验指导”，是指根据以往的经验，及学生学习的反馈，对“逻辑指导”下产生的方案进行重要程度的排列及进一步的修正和优化.接下来，笔者将通过实例来进行阐述.
案例1：集合表示方法——描述法的习题选取 这一部分的“习题选取”是针对高一数学教学而言，不涉及高三数学复习过程中关于这一知识的习题选取.
在逻辑指导和经验指导的共同作用下，发现学生对于集合描述法的易错点在于对下属两个要素的理解：①要观察的元素;②所观察元素的共同特征.于是，采取对比的方式，将这一知识点和初中、高中已经学过的知识进行对比理解.经过这一过程后，笔者形成了这样的习题对比方案：通过对比{1，2，3，4}和{x|1≤x≤4，x∈Z}，让学生体会描述法和列举法的优缺点;通过{x|1≤x≤4，x∈Z}和{x∈Z|1≤x≤4}、{x|1≤x≤4，x∈Z}和{k|1≤k≤4，k∈Z}、{x|1≤x≤4，x∈Z}和1x|1≤x≤4，x∈Z、A=x∈N61 x∈Z和B=61 x∈Z | x∈N的四组对比，让学生明白观察元素有很多种展现方法，不必拘泥;通过对比{x|1≤x≤4，x∈Z}和{（x，y）|x y=1}让学生进一步体会元素特征中数集和点集的区别.
由此可见，笔者所谓的“习题对比”，其实就是针对每一个训练目标而列举出“习题系”，通过对习题系内题目的对比、分析，让学生能够对所学知识有更加灵活、全面的掌握.在具体的应用中，还会根据学生的反馈、新提出的问题等，对这些习题系进行不断的修正和丰满.
二、习题对比对知识整合的作用
高考与平时的模块考试最大的不同，就在于所包含的知识的广度.在模块考试中，学生已经对可能用到的知识有了预期，在对题目的思考上，已经有了一个基本的方向.但是在高考中，所考核的知识已经不再局限于某一模块的范围，因此，学生的一个很大的困惑，就是他们不知道对于面对的问题，到底有哪些知识可以用.于是，当他们遇到思维的障碍，他们无法判断到底是自己没有将已有的知识运用好，还是有一个自己没想到、可能也想不到的新解法，从而只能选择放弃.针对于这一问题的解决，习题对比彰显了无穷的魅力.在以知识整合为目的的习题对比中，笔者通常使用“同一问题筛选法”来进行“习题系”的确定.所谓“同一问题筛选法”，就是将同样的问题放在高中所有的知识领域里，看是否能够进行结合，从而筛选出对于同一问题有用的知识点，进而再根据已筛选的知识进行题目的选取和对比.接下来，笔者将以“和三角函数有关的求值域”为例，具体阐述如何通过习题对比促进学生的知识整合和思维构建.
案例2：和三角函数有关的求值域 在这一部分的阐述中，笔者假定，学生已经掌握了跟三角函数有关的公式、定义、图像等相关知识，已经掌握了函数y=Asin（ωx φ）的值域的求法（高三总复习用）
这一问题，主要是在讲述函数y=Asin（ωx φ）的值域的过程中出现的.考虑到在高中数学阶段，讲述了非常多的和求值域有关的知识，因此，笔者在讲述函数y=Asin（ωx φ）的值域时，通过习题对比，加深学生对于和值域有关的知识的理解.根据“同一问题筛选法”，笔者形成了一下的习题对比思路：
导数法：求y=cos3x cos2x-1和y=sinx x的值域
二次函数法：求y=cos2x sinx-1的值域
三角函数法：求y=3sinxcosx cos2x-1的值域
对号函数法（包括不等式法）：求y=sinx 1sinx的值域
数形结合法：求y=sinx-1cosx 1的值域
通过上述对比学生会发现，虽然都有三角函数的元素，但是我们要透过题目的现象看透本质，在深入理解各类知识点的联系和区别的基础之上，切中题目要害，从而循序找出正确的思路.
三、习题对比对数学解题技巧的作用
之所以提出“数学解题技巧”这一概念，是由于数学学习过程中，总有一些题目的答案是“非常规”的.学生对于这一类“非常规”的做法非常的看重，认为这是取得关键分数的法宝，从而将这些做法“记录”下来.其实，这些“非常规”的做法都是基于一些数学思想自然而然的想到的，只要学生掌握了一些数学思想和处理技巧，在对题目进行简单的分析之后，这些方法就会呼之欲出. 因此，在对“非常规”解题方法进行讲解时，笔者更加看重习题的对比，希望通过常规解法和非常规解法的比较，让学生领会一些数学技巧和方法，从而学会技巧性解题.
下面，笔者将从几个案例入手，通过习题对比谈一谈“留谁”这一话题进背后的“先易后难”这一解题技巧.
案例3：解析几何——留“x”还是“y”
先来看两道习题：
习题1：设F1，F2分别为椭圆C：x2a2 y2b2=1（a
【关键词】习题对比;数学思维能力
一直以来，大家都将多做题作为收获成绩的重要途径，太过于关注做题的“量”，而忽略了题目的“质”及其暗含的数学思想.学生们越来越多的关注题目的答案是什么，而不是“如何对题目进行分析”，大家开始通过记忆的方式“积攒”做题的思路和方法，而不是寻找思路的本源从而将方法进行整合.很多学生在做题时，大多依靠“回忆”所带来的“直觉”，一旦无法搜寻到类似的记忆或出现了记忆缺失，考试成绩就会发生较大的波动.因此，笔者非常反对学生考试前几天学生熬夜看书、通宵复习，因为对数学考试的目的不是对记忆的考验，而是学生掌握数学思想和方法的程度的体现.
在提高学生做题“质量”的实践中，笔者特别强调“习题对比”的重要性.习题对比与习题练习不同，它将习题以某些共性为筛选依据，通过“习题系”的方式进行呈现，强调学生对于习题间联系和区别的对比和分析，并从中有所领悟，对抽象的知识有更加具体、全面、深入的了解.因此，本文中，笔者将通过对“习题对比”方法和实例的阐述，具体介绍“习题对比”在加深学生对新知的认知、进行知识整合、掌握数学解题技巧中的作用，从而展示这一方法对于促进学生数学思维能力提升的重要意义.
一、习题对比对加深新知认知的作用
在新知讲解的过程中，习题对比就是通过“习题系”呈现新知与旧知的对比，进而达到对新知更加深入、全面、系统的认知的目的.在具体操作时，笔者通常在“逻辑指导”和“经验指导”两种思维方式的共同作用下，进行习题系的确定.所谓“逻辑指导”，是指将知识进行拆分，确定可能造成学生思维难度的观察角度，并与可用的知识进行对比出题;所谓“经验指导”，是指根据以往的经验，及学生学习的反馈，对“逻辑指导”下产生的方案进行重要程度的排列及进一步的修正和优化.接下来，笔者将通过实例来进行阐述.
案例1：集合表示方法——描述法的习题选取 这一部分的“习题选取”是针对高一数学教学而言，不涉及高三数学复习过程中关于这一知识的习题选取.
在逻辑指导和经验指导的共同作用下，发现学生对于集合描述法的易错点在于对下属两个要素的理解：①要观察的元素;②所观察元素的共同特征.于是，采取对比的方式，将这一知识点和初中、高中已经学过的知识进行对比理解.经过这一过程后，笔者形成了这样的习题对比方案：通过对比{1，2，3，4}和{x|1≤x≤4，x∈Z}，让学生体会描述法和列举法的优缺点;通过{x|1≤x≤4，x∈Z}和{x∈Z|1≤x≤4}、{x|1≤x≤4，x∈Z}和{k|1≤k≤4，k∈Z}、{x|1≤x≤4，x∈Z}和1x|1≤x≤4，x∈Z、A=x∈N61 x∈Z和B=61 x∈Z | x∈N的四组对比，让学生明白观察元素有很多种展现方法，不必拘泥;通过对比{x|1≤x≤4，x∈Z}和{（x，y）|x y=1}让学生进一步体会元素特征中数集和点集的区别.
由此可见，笔者所谓的“习题对比”，其实就是针对每一个训练目标而列举出“习题系”，通过对习题系内题目的对比、分析，让学生能够对所学知识有更加灵活、全面的掌握.在具体的应用中，还会根据学生的反馈、新提出的问题等，对这些习题系进行不断的修正和丰满.
二、习题对比对知识整合的作用
高考与平时的模块考试最大的不同，就在于所包含的知识的广度.在模块考试中，学生已经对可能用到的知识有了预期，在对题目的思考上，已经有了一个基本的方向.但是在高考中，所考核的知识已经不再局限于某一模块的范围，因此，学生的一个很大的困惑，就是他们不知道对于面对的问题，到底有哪些知识可以用.于是，当他们遇到思维的障碍，他们无法判断到底是自己没有将已有的知识运用好，还是有一个自己没想到、可能也想不到的新解法，从而只能选择放弃.针对于这一问题的解决，习题对比彰显了无穷的魅力.在以知识整合为目的的习题对比中，笔者通常使用“同一问题筛选法”来进行“习题系”的确定.所谓“同一问题筛选法”，就是将同样的问题放在高中所有的知识领域里，看是否能够进行结合，从而筛选出对于同一问题有用的知识点，进而再根据已筛选的知识进行题目的选取和对比.接下来，笔者将以“和三角函数有关的求值域”为例，具体阐述如何通过习题对比促进学生的知识整合和思维构建.
案例2：和三角函数有关的求值域 在这一部分的阐述中，笔者假定，学生已经掌握了跟三角函数有关的公式、定义、图像等相关知识，已经掌握了函数y=Asin（ωx φ）的值域的求法（高三总复习用）
这一问题，主要是在讲述函数y=Asin（ωx φ）的值域的过程中出现的.考虑到在高中数学阶段，讲述了非常多的和求值域有关的知识，因此，笔者在讲述函数y=Asin（ωx φ）的值域时，通过习题对比，加深学生对于和值域有关的知识的理解.根据“同一问题筛选法”，笔者形成了一下的习题对比思路：
导数法：求y=cos3x cos2x-1和y=sinx x的值域
二次函数法：求y=cos2x sinx-1的值域
三角函数法：求y=3sinxcosx cos2x-1的值域
对号函数法（包括不等式法）：求y=sinx 1sinx的值域
数形结合法：求y=sinx-1cosx 1的值域
通过上述对比学生会发现，虽然都有三角函数的元素，但是我们要透过题目的现象看透本质，在深入理解各类知识点的联系和区别的基础之上，切中题目要害，从而循序找出正确的思路.
三、习题对比对数学解题技巧的作用
之所以提出“数学解题技巧”这一概念，是由于数学学习过程中，总有一些题目的答案是“非常规”的.学生对于这一类“非常规”的做法非常的看重，认为这是取得关键分数的法宝，从而将这些做法“记录”下来.其实，这些“非常规”的做法都是基于一些数学思想自然而然的想到的，只要学生掌握了一些数学思想和处理技巧，在对题目进行简单的分析之后，这些方法就会呼之欲出. 因此，在对“非常规”解题方法进行讲解时，笔者更加看重习题的对比，希望通过常规解法和非常规解法的比较，让学生领会一些数学技巧和方法，从而学会技巧性解题.
下面，笔者将从几个案例入手，通过习题对比谈一谈“留谁”这一话题进背后的“先易后难”这一解题技巧.
案例3：解析几何——留“x”还是“y”
先来看两道习题：
习题1：设F1，F2分别为椭圆C：x2a2 y2b2=1（a