科学与工程应用领域中的许多问题最终归结为大规模稀疏线性方程组数值求解问题。如量子色动力学(QCD)中的格点规范理论,流体力学中的Navier-Stokes方程求解,地震反演模拟过程中的Helmholtz偏微分方程求解等。随着科技的快速发展和应用,人们对上述问题的计算的速度和精度要求变得越来越高。尽管计算机的数值模拟的能力和存储性能在不断的提高,且各种迭代方法不断涌现,但仍没有一种高效且适用于各种形态的线性方程组的求解方法。因此,如何高效省时地求解这类方程组已经成为科学计算中的重要课题之一。本文围绕上述问题进行了研究,主要对两类序列线性系统(带位移线性系统和多右端线性系统)求解展开了讨论。研究内容与主要成果如下:1.基于Frommer于2003年给出了位移BiCGstab算法,提出了位移QMRCGstab方法与位移QMRCGstab2方法。这类方法融合拟最小化残差思想(quasi-minimum residual),改善了位移BiCGstab方法的数值行为,消除了残差收敛行为不规则的现象。同时保持了Krylov子空间位移不变性质,使得算法在求解一系列位移方程组所需的矩阵-向量乘的次数等同于求解单个方程组的次数,从而在一定程度上减少了计算量。数值实验表明,这类方法可有效的平滑残差曲线,保证了数值计算的稳定性。2.基于Ahuja等人于2012年提出的RBiCG算法,将其推广并应用到求解带位移的线性方程组中。然而,不同于传统子空间方法,该算法相应的扩张Krylov子空间(即加入循环不变子空间)不再具有位移不变性质。为此,借助于一种简单技巧来保持这个性质,同时设计了一种短递归位移算法(RBiCG-sh)。特别地,在算法实现上,重新设计了位移方程组的近似解的递归式,避免了额外的矩阵-向量乘积,有利于提高算法的执行速度,从而节省一定的计算量。数值实验表明,RBiCG-sh方法可有效且稳定的求解问题。3.基于Morgan于2005年给出的BGMRES-DR算法,首先提出了一种求解多右端线性系统的灵活变型算法。随后引入修正块Arnoldi列向量收缩技术,使得算法在迭代过程中能够检测并处理几乎线性或线性相关列向量,从而避免了算法执行过程中的中断现象。同时结合该列向量收缩技术,能够在一定程度上减少矩阵-向量乘积次数。另一方面,该方法继承了源算法的特征值收缩特性,在处理具有小特征值的棘手问题上更具有竞争优势。最后数值实验验证了DBFGMRES-DR算法的有效性与数值稳定性。4.针对多右端线性方程组求解问题,将GCROT(m,k)算法加以推广,提出了块状GCROT(m,k)(BGCROT(m,k))方法,并且相应的理论分析表明了BGCROT(m,k)方法产生的残差的F-范数是呈递减趋势的。另一方面,为了提高BGCROT(m,k)算法的求解速度,进一步刻画了灵活的BGCROT(m,k)方法。此外,我们再次引入了修正块Arnoldi收缩技巧以避免BGCROT(m,k)迭代过程中的中断现象,进而保证了算法的可行性与稳健性。数值实验表明与其他现有的块迭代方法相比,BGCROT(m,k)方法及相关的变型算法具有收敛快,稳健性高的竞争优势。