本文将主要基于各种新模型研究椭圆曲线上的有效算术以及椭圆曲线与超椭圆曲线上的快速配对计算.在椭圆曲线的有效算术方面,将发展和丰富由徐茂智,赵春来等率先引进的基于局部域上的椭圆曲线的密码体制.徐茂智,赵春来等首先考虑了Qp上的Weierstrass型椭圆曲线,本文将考虑有理函数域Fq((t))上的Weierstrass型椭圆曲线.与Qp上的椭圆曲线相比,在有理函数域的情形得到的加法与二倍公式不需要点的纵坐标的提升.文中进一步发展了局部域上的挠Edwards曲线:ax2+y2=1+dx2y2的理论,这时得到的公式不仅不需要点的坐标的提升,而且它还一致适用于加法与二倍运算.由于二元域上的运算非常便于软硬件的实现,文中研究了二元域上的椭圆曲线的快速算术,提出了二元域上椭圆曲线一种新的对称模型:x2y+xy2+txy+x+y=0,与传统的模型相比,所提的新模型较有效率优势.　　在配对的快速计算方面,本文首先关注一些新模型下配对的有效计算,对二元域上的Edwards曲线:d1(x+y)+d2(x2+y2)=xy+xy(x+y)+x2y2给出了两种计算其上配对的算法.同时也考察了空间曲线Jacobi交:s2十c2=1,as2+d2=1的几何性质,在此基础上给出了计算配对的有效公式.随着硬件技术的发展,敌手攻击能力的增强,在一些重要应用中,太低嵌入次数的曲线已经不能满足安全性需求,从而该文研究了嵌入次数18的Brezing-Weng曲线上的最优配对的构造与实现.在这些研究的基础上,最后还研究了亏格为2的超椭圆曲线:y2=x5+ax上的配对的优化与实现.