本文我们研究椭圆型方程基态解和集中性等若干问题。我们着重研究 Neumann 边值问题、分数阶 Schrodinger 方程、Schrodinger-Poisson 系统和Kirchhoff方程。主要内容安排如下:第一章:我们回顾一些记号和约定,并给出在后面章节中会用到的一些有用的初步结果。第二章:我们研究次线性Neumann问题。与之前关于Dirichlet问题的工作相比,由于相应的变分泛函没有下界,因此一些困难随之产生。我们证明该Neumann问题有无穷多小负能量解,这补充了 Parini和Weth在[93]中关于最小能量解的近期工作。第三章:我们研究非线性分数阶Schrodinger方程L2-标准化解的存在性、不存在性和质量集中。与之前关于Schrodinger方程的工作相比,由于分数阶Laplacian的非局部性,因此我们遇到一些新的挑战。我们先证明了分数阶Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的最佳嵌入常数可以由精确的形式表达出来,这提高了 [57, 58]的工作。做到了以上这些,我们然后建立该方程L2-标准化解的存在性和不存在性。最后通过利用一些精巧的能量估计,在某类势阱下我们给出质量临界情形时的L2-标准化解集中行为的详细分析。第四章:我们研究Schrodinger-Poisson系统。由于它的物理相关性,因此三维Schrodinger-Poisson系统已被广泛研究和充分了解。相反地,本文关注的二维Schrodinger-Poisson系统的信息要少很多。Cingolani和Weth在[36]中已观察到Schrodinger-Poisson系统的变分结构会在二维情形时出现本质差异,这导致其解集会有更丰富的结构。然而[36]的变分方法仅限于p≥4的情形,这排除了一些物理有关的指标。本章我们将去掉这个令人不愉快的限制,并在2 < p < 4的情形下使用一个不同的变分方法探索更复杂的底层泛函几何。第五章:我们研究一类Kirchhoff方程。在适当的假设下,通过变分方法我们证明该方程基态解的存在性。此外我们还调查基态解的集中现象。