本学位论文隶属于Lp-Brunn-Minkowski理论研究领域，该领域是最近十多年来在国际上发展非常迅速而重要的几何学分支之一.本文致力于研究赋值在Lp-BrunnMinkowski理论研究中的应用，尤其是在Busemann-Petty型问题和Shephard型问题中的应用．　　 本文的研究工作可以分为三个方面:　　 类似于凸体的n-1维截面函数是对数凹函数，我们证明了凸体的任意的n-j维截面函数是对数凹函数.然后利用低维截面函数的对数凹性推广了Busemann不等式．作为应用，我们引进了一种新的广义截面体，并建立了关于这种广义截面体的对偶Brunn-Minkowski不等式．　　 在Lp-Brunn-Minkowski理论中，我们给出了Lp对偶仿射表面积(?)-p的概念，并系统地研究了它的性质．同时建立了关于它的仿射等周不等式，Blaschke-Santaló不等式和Brunn-Minkowski不等式．Ludwig将仿射表面积的生成函数由凹函数延伸到凸函数，基于这种思想，我们引进了Lp对偶仿射表面积(?)p的定义．对应于Lp对偶仿射表面积(?)-p的上半连续性，Lp对偶仿射表面积(?)p是下半连续的．同时将仿射等周不等式和Blaschke-Santaló不等式推广到了Lp对偶仿射表面积(?)p，并建立了L对偶仿射表面积(?)p的对偶Brunn-Minkowski不等式.　　 众所周知，截面体算子和投影体算子分别定义了一种SO(n)同变的，n-1正齐次的，连续的Minkoski赋值和径向赋值．在此基础上，Schuster引入了BlaschkeMinkowski同态和径向Blaschke-Minkowski同态，并分别研究了关于他们的Shephard型问题和Busemann-Petty型问题．本文引入了两种更一般的赋值： Lp-BlaschkeMinkowski同态和Lp径向Minkowski同态.利用球面调和、紧群上的卷积以及Legendre多项式的方法，我们完全刻画了Lp-Blaschke-Minkowski同态和Lp径向Minkowski同态.同时我们着力研究了分别关于Lp-Blaschke-Minkowski同态和Lp径向Minkowski同态的Shcphard型问题和Busemann-Petty型问题．从而将Schuster所得到的结果推广到了更大一类的Lp赋值．